14 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=-x+5$与$y$轴交于点$A$,与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像的一个交点为$B(a,4)$,过点$B$作$AB$的垂线$l$。
(1) 求点$A$的坐标及反比例函数的表达式。
(2) 若点$C$在直线$l$上,且$△ ABC$的面积为$5$,求点$C$的坐标。
(3) $P$是直线$l$上一点,连接$PA$,以$P$为位似中心画$△ PDE$,使它与$△ PAB$位似,相似比为$m$。若点$D$、$E$恰好都落在反比例函数图像上,求点$P$的坐标及$m$的值。

14.(1) 令$x=0$,则$y=-x+5=5$,所以点 A 的坐标为(0, 5)。将点$B(a, 4)$代入$y=-x+5$,解得$a=1$,所以$B(1, 4)$。将点$B(1, 4)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=4$,所以反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 如图,设直线$l$与$y$轴交于点$M$,直线$y=-x+5$与$x$轴的交点为$N$,可得$N(5, 0)$,$∠ OAN=45°$。因为$A(0, 5)$,$B(1, 4)$,所以$AB=\sqrt{(1-0)^2+(4-5)^2}=\sqrt{2}$。又因为直线$l$是$AB$的垂线,$∠ OAN=45°$,所以$AB=BM=\sqrt{2}$,$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=2$,所以$M(0, 3)$。于是可求得直线$l$的表达式为$y=x+3$。设点$C$的坐标是$(t, t+3)$,因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AM · |x_B-x_C|=\frac{1}{2} × 2 × |1-t|=5$($x_B$,$x_C$分别代表点$B$与点$C$的横坐标),可得点$C$的坐标为$(6, 9)$或$(-4, -1)$。
(3) 因为位似图形的对应点与位似中心三点共线,所以点$B$的对应点也在直线$l$上,不妨设为点$E$,则点$A$的对应点是点$D$,所以点$E$是直线$l$与双曲线$y=\frac{4}{x}$的另一个交点,将直线$l$与双曲线的表达式联立得$\begin{cases}y=\dfrac{4}{x},\\y=x+3,\end{cases}$解得$E(-4, -1)$。如图,又因为$△ PAB ∽ △ PDE$,所以$∠ PAB=∠ PDE$,所以$AB // DE$,所以可得直线$DE$的表达式是$y=-x-5$。因为点$D$也在双曲线$y=\frac{4}{x}$上,所以点$D$是直线$DE$与双曲线$y=\frac{4}{x}$的另一个交点,将直线$DE$与双曲线的表达式联立得$\begin{cases}y=\dfrac{4}{x},\\y=-x-5,\end{cases}$解得$D(-1, -4)$。进一步可求得直线$AD$的表达式是$y=9x+5$,再将直线$AD$的表达式与直线$l$的表达式联立得$\begin{cases}y=9x+5,\\y=x+3,\end{cases}$解得$P$的坐标为$(-\frac{1}{4}, \frac{11}{4})$。因为$AB=\sqrt{2}$,$DE=3\sqrt{2}$,所以$m=\frac{DE}{AB}=3$。