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14 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=-x+5$与$y$轴交于点$A$,与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像的一个交点为$B(a,4)$,过点$B$作$AB$的垂线$l$。
(1) 求点$A$的坐标及反比例函数的表达式。
(2) 若点$C$在直线$l$上,且$△ ABC$的面积为$5$,求点$C$的坐标。
(3) $P$是直线$l$上一点,连接$PA$,以$P$为位似中心画$△ PDE$,使它与$△ PAB$位似,相似比为$m$。若点$D$、$E$恰好都落在反比例函数图像上,求点$P$的坐标及$m$的值。
(1) 求点$A$的坐标及反比例函数的表达式。
(2) 若点$C$在直线$l$上,且$△ ABC$的面积为$5$,求点$C$的坐标。
(3) $P$是直线$l$上一点,连接$PA$,以$P$为位似中心画$△ PDE$,使它与$△ PAB$位似,相似比为$m$。若点$D$、$E$恰好都落在反比例函数图像上,求点$P$的坐标及$m$的值。
答案
14.(1) 令$x=0$,则$y=-x+5=5$,所以点 A 的坐标为(0, 5)。将点$B(a, 4)$代入$y=-x+5$,解得$a=1$,所以$B(1, 4)$。将点$B(1, 4)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=4$,所以反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 如图
,设直线$l$与$y$轴交于点$M$,直线$y=-x+5$与$x$轴的交点为$N$,可得$N(5, 0)$,$∠ OAN=45°$。因为$A(0, 5)$,$B(1, 4)$,所以$AB=\sqrt{(1-0)^2+(4-5)^2}=\sqrt{2}$。又因为直线$l$是$AB$的垂线,$∠ OAN=45°$,所以$AB=BM=\sqrt{2}$,$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=2$,所以$M(0, 3)$。于是可求得直线$l$的表达式为$y=x+3$。设点$C$的坐标是$(t, t+3)$,因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AM · |x_B-x_C|=\frac{1}{2} × 2 × |1-t|=5$($x_B$,$x_C$分别代表点$B$与点$C$的横坐标),可得点$C$的坐标为$(6, 9)$或$(-4, -1)$。(3) 因为位似图形的对应点与位似中心三点共线,所以点$B$的对应点也在直线$l$上,不妨设为点$E$,则点$A$的对应点是点$D$,所以点$E$是直线$l$与双曲线$y=\frac{4}{x}$的另一个交点,将直线$l$与双曲线的表达式联立得$\begin{cases}y=\dfrac{4}{x},\\y=x+3,\end{cases}$解得$E(-4, -1)$。如图
,又因为$△ PAB ∽ △ PDE$,所以$∠ PAB=∠ PDE$,所以$AB // DE$,所以可得直线$DE$的表达式是$y=-x-5$。因为点$D$也在双曲线$y=\frac{4}{x}$上,所以点$D$是直线$DE$与双曲线$y=\frac{4}{x}$的另一个交点,将直线$DE$与双曲线的表达式联立得$\begin{cases}y=\dfrac{4}{x},\\y=-x-5,\end{cases}$解得$D(-1, -4)$。进一步可求得直线$AD$的表达式是$y=9x+5$,再将直线$AD$的表达式与直线$l$的表达式联立得$\begin{cases}y=9x+5,\\y=x+3,\end{cases}$解得$P$的坐标为$(-\frac{1}{4}, \frac{11}{4})$。因为$AB=\sqrt{2}$,$DE=3\sqrt{2}$,所以$m=\frac{DE}{AB}=3$。解析
【分析】
(1) 求点A坐标时，利用y轴上点横坐标为0的特征，将x=0代入直线解析式即可得到A点坐标；已知点B在直线上，将B的纵坐标代入直线解析式可求出a得到B点坐标，再将B点坐标代入反比例函数即可求出k值，得到反比例函数表达式。
(2) 先根据直线AB的角度特征和垂直关系求出直线l的解析式：直线AB与y轴夹角为45°，l垂直AB，可得l的倾斜角也为45°，结合直线l过B点，求出l与y轴交点M后即可得到l的解析式；再设点C坐标，利用三角形面积公式列含绝对值的方程求解，得到两个符合条件的C点坐标。
(3) 利用位似的性质：对应点连线过位似中心、对应边平行，先联立直线l和反比例函数解析式求出B的对应点E；再由AB//DE求出DE的解析式，联立反比例函数求出D点；最后联立直线AD和直线l的解析式得到位似中心P的坐标，计算AB和DE的长度比即可得到相似比m。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+5$，令$x=0$，得$y=5$，$\therefore$点A的坐标为$(0,5)$。
将$B(a,4)$代入$y=-x+5$，得$4=-a+5$，解得$a=1$，$\therefore B(1,4)$。
将$B(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×4=4$，$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 如图，设直线$l$与$y$轴交于点$M$，直线$y=-x+5$与$x$轴交点为$N$，令$y=0$得$x=5$，$\therefore N(5,0)$，由$OA=ON=5$得$∠ OAN=45°$。
由$A(0,5)$、$B(1,4)$，得$AB=\sqrt{(1-0)^2+(4-5)^2}=\sqrt{2}$。
$\because l⊥ AB$，$∠ OAN=45°$，$\therefore ∠ AMB=45°$，$AB=BM=\sqrt{2}$，
$\therefore AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=2$，$OM=OA-AM=3$，$\therefore M(0,3)$。
设直线$l$的解析式为$y=kx+b$，代入$B(1,4)$、$M(0,3)$得$k=1$，$b=3$，$\therefore$直线$l$的表达式为$y=x+3$。
设点$C$坐标为$(t,t+3)$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AM· |x_B-x_C|=\frac{1}{2}×2×|1-t|=|1-t|=5$，
解得$t=6$或$t=-4$，对应得$C(6,9)$或$C(-4,-1)$。
(3) 由位似性质，对应点连线过位似中心$P$，对应边平行，$\therefore$点$B$的对应点$E$在直线$l$和反比例函数图像上，$AB// DE$。
联立$\begin{cases}y=\dfrac{4}{x}\\y=x+3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$(对应点B)或$\begin{cases}x=-4\\y=-1\end{cases}$，$\therefore E(-4,-1)$。
$\because AB$解析式为$y=-x+5$，$AB// DE$，$\therefore$设$DE$解析式为$y=-x+c$，代入$E(-4,-1)$得$c=-5$，即$DE:y=-x-5$。
联立$\begin{cases}y=\dfrac{4}{x}\\y=-x-5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-4\\y=-1\end{cases}$(对应点E)或$\begin{cases}x=-1\\y=-4\end{cases}$，$\therefore D(-1,-4)$。
如图，设直线$AD$解析式为$y=mx+n$，代入$A(0,5)$、$D(-1,-4)$得$m=9$，$n=5$，即$AD:y=9x+5$。
联立$\begin{cases}y=9x+5\\y=x+3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-\dfrac{1}{4}\\y=\dfrac{11}{4}\end{cases}$，$\therefore P(-\frac{1}{4},\frac{11}{4})$。
计算得$DE=\sqrt{(-1+4)^2+(-4+1)^2}=3\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{2}$，$\therefore m=\frac{DE}{AB}=3$。
【答案】
14.(1) 令$x=0$,则$y=-x+5=5$,所以点 A 的坐标为(0, 5)。将点$B(a, 4)$代入$y=-x+5$,解得$a=1$,所以$B(1, 4)$。将点$B(1, 4)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=4$,所以反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 如图,设直线$l$与$y$轴交于点$M$,直线$y=-x+5$与$x$轴的交点为$N$,可得$N(5, 0)$,$∠ OAN=45°$。因为$A(0, 5)$,$B(1, 4)$,所以$AB=\sqrt{(1-0)^2+(4-5)^2}=\sqrt{2}$。又因为直线$l$是$AB$的垂线,$∠ OAN=45°$,所以$AB=BM=\sqrt{2}$,$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=2$,所以$M(0, 3)$。于是可求得直线$l$的表达式为$y=x+3$。设点$C$的坐标是$(t, t+3)$,因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AM · |x_B-x_C|=\frac{1}{2} × 2 × |1-t|=5$($x_B$,$x_C$分别代表点$B$与点$C$的横坐标),可得点$C$的坐标为$(6, 9)$或$(-4, -1)$。
(3) 因为位似图形的对应点与位似中心三点共线,所以点$B$的对应点也在直线$l$上,不妨设为点$E$,则点$A$的对应点是点$D$,所以点$E$是直线$l$与双曲线$y=\frac{4}{x}$的另一个交点,将直线$l$与双曲线的表达式联立得$\begin{cases}y=\dfrac{4}{x},\\y=x+3,\end{cases}$解得$E(-4, -1)$。如图,又因为$△ PAB ∽ △ PDE$,所以$∠ PAB=∠ PDE$,所以$AB // DE$,所以可得直线$DE$的表达式是$y=-x-5$。因为点$D$也在双曲线$y=\frac{4}{x}$上,所以点$D$是直线$DE$与双曲线$y=\frac{4}{x}$的另一个交点,将直线$DE$与双曲线的表达式联立得$\begin{cases}y=\dfrac{4}{x},\\y=-x-5,\end{cases}$解得$D(-1, -4)$。进一步可求得直线$AD$的表达式是$y=9x+5$,再将直线$AD$的表达式与直线$l$的表达式联立得$\begin{cases}y=9x+5,\\y=x+3,\end{cases}$解得$P$的坐标为$(-\frac{1}{4}, \frac{11}{4})$。因为$AB=\sqrt{2}$,$DE=3\sqrt{2}$,所以$m=\frac{DE}{AB}=3$。
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，三角形面积计算，位似图形的性质
【点评】
本题是函数与几何结合的综合题，前两问考查基础的函数解析式求解、三角形面积计算，难度较低；第三问结合位似图形的性质，需要灵活运用函数交点求法、平行线的特征等知识，对学生综合分析问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 求点A坐标时，利用y轴上点横坐标为0的特征，将x=0代入直线解析式即可得到A点坐标；已知点B在直线上，将B的纵坐标代入直线解析式可求出a得到B点坐标，再将B点坐标代入反比例函数即可求出k值，得到反比例函数表达式。
(2) 先根据直线AB的角度特征和垂直关系求出直线l的解析式：直线AB与y轴夹角为45°，l垂直AB，可得l的倾斜角也为45°，结合直线l过B点，求出l与y轴交点M后即可得到l的解析式；再设点C坐标，利用三角形面积公式列含绝对值的方程求解，得到两个符合条件的C点坐标。
(3) 利用位似的性质：对应点连线过位似中心、对应边平行，先联立直线l和反比例函数解析式求出B的对应点E；再由AB//DE求出DE的解析式，联立反比例函数求出D点；最后联立直线AD和直线l的解析式得到位似中心P的坐标，计算AB和DE的长度比即可得到相似比m。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+5$，令$x=0$，得$y=5$，$\therefore$点A的坐标为$(0,5)$。
将$B(a,4)$代入$y=-x+5$，得$4=-a+5$，解得$a=1$，$\therefore B(1,4)$。
将$B(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×4=4$，$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 如图
，设直线$l$与$y$轴交于点$M$，直线$y=-x+5$与$x$轴交点为$N$，令$y=0$得$x=5$，$\therefore N(5,0)$，由$OA=ON=5$得$∠ OAN=45°$。由$A(0,5)$、$B(1,4)$，得$AB=\sqrt{(1-0)^2+(4-5)^2}=\sqrt{2}$。
$\because l⊥ AB$，$∠ OAN=45°$，$\therefore ∠ AMB=45°$，$AB=BM=\sqrt{2}$，
$\therefore AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=2$，$OM=OA-AM=3$，$\therefore M(0,3)$。
设直线$l$的解析式为$y=kx+b$，代入$B(1,4)$、$M(0,3)$得$k=1$，$b=3$，$\therefore$直线$l$的表达式为$y=x+3$。
设点$C$坐标为$(t,t+3)$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AM· |x_B-x_C|=\frac{1}{2}×2×|1-t|=|1-t|=5$，
解得$t=6$或$t=-4$，对应得$C(6,9)$或$C(-4,-1)$。
(3) 由位似性质，对应点连线过位似中心$P$，对应边平行，$\therefore$点$B$的对应点$E$在直线$l$和反比例函数图像上，$AB// DE$。
联立$\begin{cases}y=\dfrac{4}{x}\\y=x+3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$(对应点B)或$\begin{cases}x=-4\\y=-1\end{cases}$，$\therefore E(-4,-1)$。
$\because AB$解析式为$y=-x+5$，$AB// DE$，$\therefore$设$DE$解析式为$y=-x+c$，代入$E(-4,-1)$得$c=-5$，即$DE:y=-x-5$。
联立$\begin{cases}y=\dfrac{4}{x}\\y=-x-5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-4\\y=-1\end{cases}$(对应点E)或$\begin{cases}x=-1\\y=-4\end{cases}$，$\therefore D(-1,-4)$。
如图
，设直线$AD$解析式为$y=mx+n$，代入$A(0,5)$、$D(-1,-4)$得$m=9$，$n=5$，即$AD:y=9x+5$。联立$\begin{cases}y=9x+5\\y=x+3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-\dfrac{1}{4}\\y=\dfrac{11}{4}\end{cases}$，$\therefore P(-\frac{1}{4},\frac{11}{4})$。
计算得$DE=\sqrt{(-1+4)^2+(-4+1)^2}=3\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{2}$，$\therefore m=\frac{DE}{AB}=3$。
【答案】
14.(1) 令$x=0$,则$y=-x+5=5$,所以点 A 的坐标为(0, 5)。将点$B(a, 4)$代入$y=-x+5$,解得$a=1$,所以$B(1, 4)$。将点$B(1, 4)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=4$,所以反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 如图
,设直线$l$与$y$轴交于点$M$,直线$y=-x+5$与$x$轴的交点为$N$,可得$N(5, 0)$,$∠ OAN=45°$。因为$A(0, 5)$,$B(1, 4)$,所以$AB=\sqrt{(1-0)^2+(4-5)^2}=\sqrt{2}$。又因为直线$l$是$AB$的垂线,$∠ OAN=45°$,所以$AB=BM=\sqrt{2}$,$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=2$,所以$M(0, 3)$。于是可求得直线$l$的表达式为$y=x+3$。设点$C$的坐标是$(t, t+3)$,因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AM · |x_B-x_C|=\frac{1}{2} × 2 × |1-t|=5$($x_B$,$x_C$分别代表点$B$与点$C$的横坐标),可得点$C$的坐标为$(6, 9)$或$(-4, -1)$。(3) 因为位似图形的对应点与位似中心三点共线,所以点$B$的对应点也在直线$l$上,不妨设为点$E$,则点$A$的对应点是点$D$,所以点$E$是直线$l$与双曲线$y=\frac{4}{x}$的另一个交点,将直线$l$与双曲线的表达式联立得$\begin{cases}y=\dfrac{4}{x},\\y=x+3,\end{cases}$解得$E(-4, -1)$。如图
,又因为$△ PAB ∽ △ PDE$,所以$∠ PAB=∠ PDE$,所以$AB // DE$,所以可得直线$DE$的表达式是$y=-x-5$。因为点$D$也在双曲线$y=\frac{4}{x}$上,所以点$D$是直线$DE$与双曲线$y=\frac{4}{x}$的另一个交点,将直线$DE$与双曲线的表达式联立得$\begin{cases}y=\dfrac{4}{x},\\y=-x-5,\end{cases}$解得$D(-1, -4)$。进一步可求得直线$AD$的表达式是$y=9x+5$,再将直线$AD$的表达式与直线$l$的表达式联立得$\begin{cases}y=9x+5,\\y=x+3,\end{cases}$解得$P$的坐标为$(-\frac{1}{4}, \frac{11}{4})$。因为$AB=\sqrt{2}$,$DE=3\sqrt{2}$,所以$m=\frac{DE}{AB}=3$。【知识点】
一次函数与反比例函数综合，三角形面积计算，位似图形的性质
【点评】
本题是函数与几何结合的综合题，前两问考查基础的函数解析式求解、三角形面积计算，难度较低；第三问结合位似图形的性质，需要灵活运用函数交点求法、平行线的特征等知识，对学生综合分析问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
