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12 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的端点都在格点（网格线的交点）上。
（1）以点O为位似中心，将△ABC在点O的另一侧放大2倍得到△A'B'C'，画出△A'B'C'，连接AC'、CC'，判定△ACC'的形状。
（2）计算△A'B'C'的面积。
（1）以点O为位似中心，将△ABC在点O的另一侧放大2倍得到△A'B'C'，画出△A'B'C'，连接AC'、CC'，判定△ACC'的形状。
（2）计算△A'B'C'的面积。
答案
12.(1) 如图
,$△ A'B'C'$即为所求。由勾股定理得$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,$CC'=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$,$AC'=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。因为$AC^2+CC'^2=AC'^2$,所以$∠ ACC'=90°$,所以$△ ACC'$为直角三角形。(2) 由图可知,$△ A'B'C'$的面积为$\frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$。
解析
【分析】
（1）首先完成位似作图：以O为位似中心，要在O的另一侧将△ABC放大2倍，需分别连接A、B、C三点与O，延长AO、BO、CO到O的另一侧，使OA'=2OA、OB'=2OB、OC'=2OC，顺次连接三个对应点即可得到△A'B'C'。接下来判断△ACC'的形状：借助网格用勾股定理分别求出AC、CC'、AC'的长度，再通过勾股定理逆定理验证三边的平方关系，即可判断三角形类型。
（2）计算△A'B'C'的面积，可直接观察放大后三角形的底和高，用三角形面积公式计算，也可先求原△ABC的面积，利用位似图形面积比等于相似比的平方求解。
【解析】
（1）①作图：连接AO并延长AO至A'，使OA'=2OA；同理连接BO延长至B'，使OB'=2OB；连接CO延长至C'，使OC'=2OC，顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到△A'B'C'。
②判定△ACC'的形状：
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$CC'=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$，
$AC'=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。
验证三边平方关系：$AC^2+CC'^2=(\sqrt{5})^2+(3\sqrt{5})^2=5+45=50$，$AC'^2=(5\sqrt{2})^2=50$，因此$AC^2+CC'^2=AC'^2$，由勾股定理逆定理可得$∠ ACC'=90°$，故$△ ACC'$是直角三角形。
（2）观察△A'B'C'，底$B'C'=2$个单位长度，对应高为2个单位长度，
则$S_{△ A'B'C'}=\frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$。
【答案】
(1)，$△ A'B'C'$即为所求，$△ ACC'$为直角三角形。
(2) $△ A'B'C'$的面积为2。
【知识点】
位似图形的性质；勾股定理及逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查位似作图、勾股定理逆定理应用和三角形面积计算，要求学生掌握位似图形的作图规则和性质，能熟练借助网格计算线段长度和图形面积，做题时需注意位似图形的作图方向要求。
【难度系数】
0.7
（1）首先完成位似作图：以O为位似中心，要在O的另一侧将△ABC放大2倍，需分别连接A、B、C三点与O，延长AO、BO、CO到O的另一侧，使OA'=2OA、OB'=2OB、OC'=2OC，顺次连接三个对应点即可得到△A'B'C'。接下来判断△ACC'的形状：借助网格用勾股定理分别求出AC、CC'、AC'的长度，再通过勾股定理逆定理验证三边的平方关系，即可判断三角形类型。
（2）计算△A'B'C'的面积，可直接观察放大后三角形的底和高，用三角形面积公式计算，也可先求原△ABC的面积，利用位似图形面积比等于相似比的平方求解。
【解析】
（1）①作图：连接AO并延长AO至A'，使OA'=2OA；同理连接BO延长至B'，使OB'=2OB；连接CO延长至C'，使OC'=2OC，顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到△A'B'C'。
②判定△ACC'的形状：
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$CC'=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$，
$AC'=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。
验证三边平方关系：$AC^2+CC'^2=(\sqrt{5})^2+(3\sqrt{5})^2=5+45=50$，$AC'^2=(5\sqrt{2})^2=50$，因此$AC^2+CC'^2=AC'^2$，由勾股定理逆定理可得$∠ ACC'=90°$，故$△ ACC'$是直角三角形。
（2）观察△A'B'C'，底$B'C'=2$个单位长度，对应高为2个单位长度，
则$S_{△ A'B'C'}=\frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$。
【答案】
(1)
，$△ A'B'C'$即为所求，$△ ACC'$为直角三角形。(2) $△ A'B'C'$的面积为2。
【知识点】
位似图形的性质；勾股定理及逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查位似作图、勾股定理逆定理应用和三角形面积计算，要求学生掌握位似图形的作图规则和性质，能熟练借助网格计算线段长度和图形面积，做题时需注意位似图形的作图方向要求。
【难度系数】
0.7
13 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系$xOy$，格点（网格线的交点）$A$、$B$、$C$的坐标分别为$(-2,3)$、$(-4,1)$、$(-1,1)$。
（1）画出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_1B_1C_1$。
（2）以$O$为位似中心，在第四象限内将$△ ABC$放大2倍得到$△ A'B'C'$。
（3）在$y$轴上取一点$P$，使$PA'=PC'$，并求点$P$的坐标。
（1）画出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_1B_1C_1$。
（2）以$O$为位似中心，在第四象限内将$△ ABC$放大2倍得到$△ A'B'C'$。
（3）在$y$轴上取一点$P$，使$PA'=PC'$，并求点$P$的坐标。
答案
13.(1) 如图
,$△ A_1B_1C_1$即为所求。(2) 如图
,$△ A'B'C'$即为所求。(3) 如图,设$P(0, p)$。因为$PA'=PC'$,所以$\sqrt{4^2+(p+6)^2}=\sqrt{2^2+(p+2)^2}$,解得$p=-5.5$,所以$P(0, -5.5)$。
解析
【分析】
（1）关于x轴对称的点满足横坐标不变、纵坐标互为相反数，先求出A、B、C的对称点坐标，再描点连线即可得到对称图形。
（2）原点为位似中心、在第四象限放大2倍，即位似比为-2，将原三角形各顶点坐标乘-2得到对应点坐标，在第四象限描点连线得到位似图形。
（3）y轴上的点横坐标为0，设P点坐标为(0,p)，根据PA'=PC'，利用两点间距离公式列方程求解即可得到P点坐标。
【解析】
（1）根据x轴对称的坐标变换规则：横坐标不变，纵坐标取相反数，可得$A_1(-2,-3)$、$B_1(-4,-1)$、$C_1(-1,-1)$，在网格中依次描出三个点并顺次连接，得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）以原点为位似中心，在第四象限将$△ ABC$放大2倍，位似比为$-2$，因此各对应点坐标为原坐标乘$-2$：
$A'(-2×(-2),3×(-2))=(4,-6)$，$B'(-4×(-2),1×(-2))=(8,-2)$，$C'(-1×(-2),1×(-2))=(2,-2)$，在第四象限依次描出三个点并顺次连接，得到$△ A'B'C'$。
（3）设点P的坐标为$(0,p)$，由$PA'=PC'$，结合两点间距离公式可得：
$\sqrt{(4-0)^2+(-6-p)^2}=\sqrt{(2-0)^2+(-2-p)^2}$
两边同时平方得：$16+(p+6)^2=4+(p+2)^2$
展开化简：$16+p^2+12p+36=4+p^2+4p+4$
整理得：$8p=-44$，解得$p=-5.5$。
【答案】
13.(1) 如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 如图,$△ A'B'C'$即为所求。
(3) $P(0, -5.5)$
【知识点】
轴对称的坐标变换；位似图形的性质；两点间距离公式
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系内的图形变换与坐标计算，需要熟练掌握对称、位似的坐标变化规律，能灵活运用距离公式列方程求解未知点坐标，是图形变换类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
（1）关于x轴对称的点满足横坐标不变、纵坐标互为相反数，先求出A、B、C的对称点坐标，再描点连线即可得到对称图形。
（2）原点为位似中心、在第四象限放大2倍，即位似比为-2，将原三角形各顶点坐标乘-2得到对应点坐标，在第四象限描点连线得到位似图形。
（3）y轴上的点横坐标为0，设P点坐标为(0,p)，根据PA'=PC'，利用两点间距离公式列方程求解即可得到P点坐标。
【解析】
（1）根据x轴对称的坐标变换规则：横坐标不变，纵坐标取相反数，可得$A_1(-2,-3)$、$B_1(-4,-1)$、$C_1(-1,-1)$，在网格中依次描出三个点并顺次连接，得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）以原点为位似中心，在第四象限将$△ ABC$放大2倍，位似比为$-2$，因此各对应点坐标为原坐标乘$-2$：
$A'(-2×(-2),3×(-2))=(4,-6)$，$B'(-4×(-2),1×(-2))=(8,-2)$，$C'(-1×(-2),1×(-2))=(2,-2)$，在第四象限依次描出三个点并顺次连接，得到$△ A'B'C'$。
（3）设点P的坐标为$(0,p)$，由$PA'=PC'$，结合两点间距离公式可得：
$\sqrt{(4-0)^2+(-6-p)^2}=\sqrt{(2-0)^2+(-2-p)^2}$
两边同时平方得：$16+(p+6)^2=4+(p+2)^2$
展开化简：$16+p^2+12p+36=4+p^2+4p+4$
整理得：$8p=-44$，解得$p=-5.5$。
【答案】
13.(1) 如图
,$△ A_1B_1C_1$即为所求。(2) 如图
,$△ A'B'C'$即为所求。(3) $P(0, -5.5)$
【知识点】
轴对称的坐标变换；位似图形的性质；两点间距离公式
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系内的图形变换与坐标计算，需要熟练掌握对称、位似的坐标变化规律，能灵活运用距离公式列方程求解未知点坐标，是图形变换类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
