登录
7 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABC放大后得到△BDE。已知点A(2，0)，B(6，0)，则△ABC与△BDE的面积比是
1:9
。答案
7.1:9
解析
【分析】
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：首先明确位似图形属于相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比；其次找到一组对应点A、B，结合坐标求出两点到位似中心O的距离，得到两个三角形的相似比；最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出面积比。
【解析】
解：
∵以原点O为位似中心，将△ABC放大后得到△BDE
∴△ABC∽△BDE，位似比等于对应点到位似中心O的距离之比
已知A(2,0)，B(6,0)，则OA=2，OB=6
∴△ABC与△BDE的相似比为$k=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ BDE}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$
即△ABC与△BDE的面积比是1:9
【答案】
1:9
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的面积比
【点评】
本题是基础题型，重点考查对位似性质和相似三角形性质的掌握，解题的核心是准确求出位似比，牢记相似图形面积比与相似比的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：首先明确位似图形属于相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比；其次找到一组对应点A、B，结合坐标求出两点到位似中心O的距离，得到两个三角形的相似比；最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出面积比。
【解析】
解：
∵以原点O为位似中心，将△ABC放大后得到△BDE
∴△ABC∽△BDE，位似比等于对应点到位似中心O的距离之比
已知A(2,0)，B(6,0)，则OA=2，OB=6
∴△ABC与△BDE的相似比为$k=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ BDE}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$
即△ABC与△BDE的面积比是1:9
【答案】
1:9
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的面积比
【点评】
本题是基础题型，重点考查对位似性质和相似三角形性质的掌握，解题的核心是准确求出位似比，牢记相似图形面积比与相似比的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0, 0)，A(1, 0)，B(2, 3)，C(-1, 2)，若四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA'B'C'的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B'的坐标为
(4, 6)
。答案
8.(4, 6)
解析
【分析】
解题思路如下：1. 位似图形是特殊的相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方，结合题目给出的面积倍数关系，先求出两个四边形的位似比；2. 两个四边形关于原点O位似，以原点为位似中心的位似图形对应点的坐标规律为：若位似比为k，则对应点坐标为原坐标乘以k，同向位似k取正，反向位似k取负；3. 结合题目要求“第一象限内的点B'”，确定取正的位似比，代入原B点坐标计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似
∴ 两个四边形为相似图形，面积比等于位似比的平方
由题意得$\frac{S_{四边形OA'B'C'}}{S_{四边形OABC}}=4$
∴ 位似比$k=\sqrt{4}=2$（要求第一象限内的点，取正位似比）
∵ 以原点为位似中心、位似比为k时，对应点的坐标为原坐标乘k
原B点坐标为$(2,3)$
∴ B'的坐标为$(2×2, 3×2)=(4,6)$
【答案】
$(4,6)$
【知识点】
1.位似图形的性质
2.相似图形面积比与相似比的关系
3.位似图形的坐标变化规律
【点评】
本题是位似图形的基础应用题，解题的关键是掌握位似和相似的关联性质，注意根据象限要求选择位似比的符号，避免漏看条件导致错误。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 位似图形是特殊的相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方，结合题目给出的面积倍数关系，先求出两个四边形的位似比；2. 两个四边形关于原点O位似，以原点为位似中心的位似图形对应点的坐标规律为：若位似比为k，则对应点坐标为原坐标乘以k，同向位似k取正，反向位似k取负；3. 结合题目要求“第一象限内的点B'”，确定取正的位似比，代入原B点坐标计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似
∴ 两个四边形为相似图形，面积比等于位似比的平方
由题意得$\frac{S_{四边形OA'B'C'}}{S_{四边形OABC}}=4$
∴ 位似比$k=\sqrt{4}=2$（要求第一象限内的点，取正位似比）
∵ 以原点为位似中心、位似比为k时，对应点的坐标为原坐标乘k
原B点坐标为$(2,3)$
∴ B'的坐标为$(2×2, 3×2)=(4,6)$
【答案】
$(4,6)$
【知识点】
1.位似图形的性质
2.相似图形面积比与相似比的关系
3.位似图形的坐标变化规律
【点评】
本题是位似图形的基础应用题，解题的关键是掌握位似和相似的关联性质，注意根据象限要求选择位似比的符号，避免漏看条件导致错误。
【难度系数】
0.7
9 如图，$△ ABO$的顶点坐标是$A(2,6)$，$B(3,1)$，$O(0,0)$，以点$O$为位似中心，将$△ ABO$缩小为原来的$\frac{1}{3}$，得到$△ A'B'O$，则点$A'$的坐标为
$(\frac{2}{3}, 2)$或$(-\frac{2}{3}, -2)$
。答案
9.$(\frac{2}{3}, 2)$或$(-\frac{2}{3}, -2)$
解析
【分析】
解题时先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：位似图形对应点的坐标比等于相似比$k$或$-k$，$k$为正时对应点与位似中心（原点）同侧，$k$为负时对应点与位似中心异侧。本题相似比为$\frac{1}{3}$，需要分两种情况讨论点$A'$的坐标，注意不要遗漏异侧的情况。
【解析】
解：$\because$ 以原点$O$为位似中心，将$△ ABO$缩小为原来的$\frac{1}{3}$，即相似比$k=\frac{1}{3}$，
根据平面直角坐标系中位似变换的性质：位似图形对应点的坐标为原坐标乘以$k$或$-k$，
已知点$A$的坐标为$(2,6)$，
① 当位似图形与原图形在原点同侧时，$A'$的坐标为$(2×\frac{1}{3},6×\frac{1}{3})=(\frac{2}{3},2)$；
② 当位似图形与原图形在原点异侧时，$A'$的坐标为$(2×(-\frac{1}{3}),6×(-\frac{1}{3}))=(-\frac{2}{3},-2)$。
综上，点$A'$的坐标为$(\frac{2}{3},2)$或$(-\frac{2}{3},-2)$。
【答案】
$(\frac{2}{3}, 2)$或$(-\frac{2}{3}, -2)$
【知识点】
位似图形的性质、平面直角坐标系中位似变换的坐标规律
【点评】
本题考查位似变换的应用，解题时需注意分类讨论位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：位似图形对应点的坐标比等于相似比$k$或$-k$，$k$为正时对应点与位似中心（原点）同侧，$k$为负时对应点与位似中心异侧。本题相似比为$\frac{1}{3}$，需要分两种情况讨论点$A'$的坐标，注意不要遗漏异侧的情况。
【解析】
解：$\because$ 以原点$O$为位似中心，将$△ ABO$缩小为原来的$\frac{1}{3}$，即相似比$k=\frac{1}{3}$，
根据平面直角坐标系中位似变换的性质：位似图形对应点的坐标为原坐标乘以$k$或$-k$，
已知点$A$的坐标为$(2,6)$，
① 当位似图形与原图形在原点同侧时，$A'$的坐标为$(2×\frac{1}{3},6×\frac{1}{3})=(\frac{2}{3},2)$；
② 当位似图形与原图形在原点异侧时，$A'$的坐标为$(2×(-\frac{1}{3}),6×(-\frac{1}{3}))=(-\frac{2}{3},-2)$。
综上，点$A'$的坐标为$(\frac{2}{3},2)$或$(-\frac{2}{3},-2)$。
【答案】
$(\frac{2}{3}, 2)$或$(-\frac{2}{3}, -2)$
【知识点】
位似图形的性质、平面直角坐标系中位似变换的坐标规律
【点评】
本题考查位似变换的应用，解题时需注意分类讨论位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10 如图,在平面直角坐标系中,点 P 的坐标为$(6, \frac{3}{2})$,$△ ABC$的顶点 A 的坐标为$(4, 3)$。以点 P 为位似中心作$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$位似,相似比为 2,且与$△ ABC$位于点 P 同侧;以点 P 为位似中心作$△ A_2B_2C_2$与$△ A_1B_1C_1$位似,相似比为 2,且与$△ A_1B_1C_1$位于点 P 同侧……按照以上规律作图,点$A_3$的坐标为
$(-10, \frac{27}{2})$
。答案
10.$(-10, \frac{27}{2})$
[提示:由题意可得$AP=\frac{5}{2}$,进而得出$A_1P=2AP=5$,$A_2P=2A_1P=10$,$A_3P=2A_2P=20$。由$P(6, \frac{3}{2})$,$A(4, 3)$,可得直线$AP$的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+6$。设$A_3(m, -\frac{3}{4}m+6)$,所以$A_3P^2=(m-6)^2+(-\frac{3}{4}m+6-\frac{3}{2})^2=20^2$,解得$m=-10$或22(舍),所以$A_3(-10, \frac{27}{2})$。]
[提示:由题意可得$AP=\frac{5}{2}$,进而得出$A_1P=2AP=5$,$A_2P=2A_1P=10$,$A_3P=2A_2P=20$。由$P(6, \frac{3}{2})$,$A(4, 3)$,可得直线$AP$的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+6$。设$A_3(m, -\frac{3}{4}m+6)$,所以$A_3P^2=(m-6)^2+(-\frac{3}{4}m+6-\frac{3}{2})^2=20^2$,解得$m=-10$或22(舍),所以$A_3(-10, \frac{27}{2})$。]
解析
【分析】
本题可根据位似的性质求解：首先，位似图形的对应点连线经过位似中心，因此所有A的对应点都在直线AP上；其次，对应点到位似中心的距离之比等于相似比，据此可先求出直线AP的解析式，再计算PA的长度，推出PA₃的长度，最后设A₃坐标，结合两点间距离公式列方程求解，结合“同侧”的条件舍去不符合的解即可得到结果。
【解析】
步骤1：求直线AP的解析式
设直线AP的解析式为$y=kx+b$，将$A(4,3)$、$P(6,\frac{3}{2})$代入得：
$\begin{cases}4k + b = 3 \\6k + b = \frac{3}{2}\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$-2k=\frac{3}{2}$，解得$k=-\frac{3}{4}$，代入$4k + b =3$得：$4×(-\frac{3}{4})+b=3$，解得$b=6$，因此直线AP的解析式为$y=-\frac{3}{4}x + 6$。
步骤2：计算PA及$PA_3$的长度
根据两点间距离公式，$PA=\sqrt{(6-4)^2 + (\frac{3}{2}-3)^2}=\sqrt{2^2 + (-\frac{3}{2})^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。
由题意每次位似相似比为2，且位于同侧，因此$PA_1=2PA=5$，$PA_2=2PA_1=10$，$PA_3=2PA_2=20$。
步骤3：求$A_3$的坐标
因$A_3$在直线AP上，设$A_3(m, -\frac{3}{4}m +6)$，由$PA_3=20$得：
$(m-6)^2 + (-\frac{3}{4}m +6 - \frac{3}{2})^2 = 20^2$
化简得：$(m-6)^2 + (-\frac{3}{4}m + \frac{9}{2})^2 = 400$，展开整理得$m^2 -12m -220=0$，解得$m=-10$或$m=22$。
由于$△ ABC$与所作图形均在点P同侧，点A的横坐标4＜6（点P的横坐标），因此取$m=-10$，代入直线解析式得$y=-\frac{3}{4}×(-10)+6=\frac{27}{2}$，即$A_3(-10,\frac{27}{2})$。
【答案】
$\boldsymbol{(-10, \dfrac{27}{2})}$
【知识点】
位似的性质；一次函数解析式求解；两点间距离公式
【点评】
本题属于规律型的位似图形应用问题，解题的核心是抓住位似图形“对应点连线过位似中心、对应点到位似中心距离比等于相似比”的性质，同时要注意结合“同侧”的限制条件舍去增根，对计算能力也有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题可根据位似的性质求解：首先，位似图形的对应点连线经过位似中心，因此所有A的对应点都在直线AP上；其次，对应点到位似中心的距离之比等于相似比，据此可先求出直线AP的解析式，再计算PA的长度，推出PA₃的长度，最后设A₃坐标，结合两点间距离公式列方程求解，结合“同侧”的条件舍去不符合的解即可得到结果。
【解析】
步骤1：求直线AP的解析式
设直线AP的解析式为$y=kx+b$，将$A(4,3)$、$P(6,\frac{3}{2})$代入得：
$\begin{cases}4k + b = 3 \\6k + b = \frac{3}{2}\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$-2k=\frac{3}{2}$，解得$k=-\frac{3}{4}$，代入$4k + b =3$得：$4×(-\frac{3}{4})+b=3$，解得$b=6$，因此直线AP的解析式为$y=-\frac{3}{4}x + 6$。
步骤2：计算PA及$PA_3$的长度
根据两点间距离公式，$PA=\sqrt{(6-4)^2 + (\frac{3}{2}-3)^2}=\sqrt{2^2 + (-\frac{3}{2})^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。
由题意每次位似相似比为2，且位于同侧，因此$PA_1=2PA=5$，$PA_2=2PA_1=10$，$PA_3=2PA_2=20$。
步骤3：求$A_3$的坐标
因$A_3$在直线AP上，设$A_3(m, -\frac{3}{4}m +6)$，由$PA_3=20$得：
$(m-6)^2 + (-\frac{3}{4}m +6 - \frac{3}{2})^2 = 20^2$
化简得：$(m-6)^2 + (-\frac{3}{4}m + \frac{9}{2})^2 = 400$，展开整理得$m^2 -12m -220=0$，解得$m=-10$或$m=22$。
由于$△ ABC$与所作图形均在点P同侧，点A的横坐标4＜6（点P的横坐标），因此取$m=-10$，代入直线解析式得$y=-\frac{3}{4}×(-10)+6=\frac{27}{2}$，即$A_3(-10,\frac{27}{2})$。
【答案】
$\boldsymbol{(-10, \dfrac{27}{2})}$
【知识点】
位似的性质；一次函数解析式求解；两点间距离公式
【点评】
本题属于规律型的位似图形应用问题，解题的核心是抓住位似图形“对应点连线过位似中心、对应点到位似中心距离比等于相似比”的性质，同时要注意结合“同侧”的限制条件舍去增根，对计算能力也有一定要求。
【难度系数】
0.5
11 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系$xOy$, $△ ABC$的顶点和$A_1$均为格点(网格线的交点)。已知点$A_1$的坐标为$(2,6)$。
(1) 在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$,并写出点$D$的坐标。
(2) 以点$O$为位似中心,将$△ ABC$放大得到$△ A_1B_1C_1$,使得点$A$的对应点为$A_1$,请在所给的网格图中画出$△ A_1B_1C_1$。
(1) 在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$,并写出点$D$的坐标。
(2) 以点$O$为位似中心,将$△ ABC$放大得到$△ A_1B_1C_1$,使得点$A$的对应点为$A_1$,请在所给的网格图中画出$△ A_1B_1C_1$。
答案
11.(1) 如图
所示,点 D 即为边AB的中点,因为A(-1, -3), B(-3, 1),所以点 D 的坐标为(-2, -1)。(2) 如图
所示,$△ A_1B_1C_1$即为所求作的三角形。解析
【分析】
(1) 求AB中点D：首先根据网格确定点A、B的坐标，再利用中点坐标公式（两点横、纵坐标的平均值为中点对应坐标）计算出D的坐标，最后在网格中描出点D即可。
(2) 作位似图形$△ A_1B_1C_1$：首先根据点A和对应点$A_1$的坐标，计算出以原点为位似中心的位似比，再根据位似变换的坐标规律，求出点B、C的对应点$B_1$、$C_1$的坐标，在网格中描出三点后顺次连接，即可得到所求的$△ A_1B_1C_1$。
【解析】
(1) 由网格可得点A坐标为$(-1,-3)$，点B坐标为$(-3,1)$。
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
代入A、B的坐标计算点D的坐标：
横坐标：$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，纵坐标：$\frac{-3+1}{2}=-1$，即$D(-2,-1)$，在网格中描出该点即可。
(2) 已知点$A(-1,-3)$的对应点为$A_1(2,6)$，位似中心为原点O，设位似变换的比例系数为$k$，则有$-1· k=2$，$-3· k=6$，解得$k=-2$，即位似比为2，原图形各点坐标乘以$-2$即为对应点坐标。
可得点$B(-3,1)$的对应点$B_1$坐标为$(-3×(-2),1×(-2))=(6,-2)$，点$C(-2,2)$的对应点$C_1$坐标为$(-2×(-2),2×(-2))=(4,-2)$。
在网格中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
(1) 如图所示,点 D 即为边AB的中点,点 D 的坐标为$\boldsymbol{(-2, -1)}$。
(2) 如图所示,$△ A_1B_1C_1$即为所求作的三角形。
【知识点】
1. 中点坐标公式
2. 位似变换的性质
3. 网格作图
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查了中点计算和位似作图，属于基础题型，解题的关键是掌握中点坐标的计算方法，以及原点为位似中心时对应点的坐标变化规律，作图时注意格点位置的准确性即可。
【难度系数】
0.8
(1) 求AB中点D：首先根据网格确定点A、B的坐标，再利用中点坐标公式（两点横、纵坐标的平均值为中点对应坐标）计算出D的坐标，最后在网格中描出点D即可。
(2) 作位似图形$△ A_1B_1C_1$：首先根据点A和对应点$A_1$的坐标，计算出以原点为位似中心的位似比，再根据位似变换的坐标规律，求出点B、C的对应点$B_1$、$C_1$的坐标，在网格中描出三点后顺次连接，即可得到所求的$△ A_1B_1C_1$。
【解析】
(1) 由网格可得点A坐标为$(-1,-3)$，点B坐标为$(-3,1)$。
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
代入A、B的坐标计算点D的坐标：
横坐标：$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，纵坐标：$\frac{-3+1}{2}=-1$，即$D(-2,-1)$，在网格中描出该点即可。
(2) 已知点$A(-1,-3)$的对应点为$A_1(2,6)$，位似中心为原点O，设位似变换的比例系数为$k$，则有$-1· k=2$，$-3· k=6$，解得$k=-2$，即位似比为2，原图形各点坐标乘以$-2$即为对应点坐标。
可得点$B(-3,1)$的对应点$B_1$坐标为$(-3×(-2),1×(-2))=(6,-2)$，点$C(-2,2)$的对应点$C_1$坐标为$(-2×(-2),2×(-2))=(4,-2)$。
在网格中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
(1) 如图
所示,点 D 即为边AB的中点,点 D 的坐标为$\boldsymbol{(-2, -1)}$。(2) 如图
所示,$△ A_1B_1C_1$即为所求作的三角形。【知识点】
1. 中点坐标公式
2. 位似变换的性质
3. 网格作图
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查了中点计算和位似作图，属于基础题型，解题的关键是掌握中点坐标的计算方法，以及原点为位似中心时对应点的坐标变化规律，作图时注意格点位置的准确性即可。
【难度系数】
0.8
