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12 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(4, 3)$，$B(1, 2)$，$C(3, 1)$。
（1）把$△ ABC$向左平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到$△ A_1B_1C_1$，请在图中画出$△ A_1B_1C_1$。
（2）以点$O$为位似中心在第三象限内画出$△ ABC$的位似图形$△ A_2B_2C_2$，使得$△ ABC$与$△ A_2B_2C_2$的相似比为$1:2$。
（3）连接$CC_1$，请用无刻度的直尺在线段$CC_1$上确定一点$P(m, n)$，使得$m + n = 0$。
（1）把$△ ABC$向左平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到$△ A_1B_1C_1$，请在图中画出$△ A_1B_1C_1$。
（2）以点$O$为位似中心在第三象限内画出$△ ABC$的位似图形$△ A_2B_2C_2$，使得$△ ABC$与$△ A_2B_2C_2$的相似比为$1:2$。
（3）连接$CC_1$，请用无刻度的直尺在线段$CC_1$上确定一点$P(m, n)$，使得$m + n = 0$。
答案
12. 答案分别为图①、图②、图③。
解析
【分析】
1. 解决第(1)问需运用平移的坐标变化规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，先计算平移后三个顶点的坐标，再描点连线即可得到平移后的三角形。
2. 解决第(2)问需掌握以原点为位似中心的位似图形坐标变化规律：若位似比为k，且图形位于原点另一侧，则对应点坐标为原坐标乘-k，结合相似比1:2和第三象限的要求，计算位似后各顶点坐标，再描点连线作图。
3. 解决第(3)问需先明确m+n=0的几何意义：即点在直线y=-x上，因此只需找到线段CC₁与直线y=-x的交点即为所求点P。
【解析】
(1) 根据平移坐标变化规律，向左平移8个单位横坐标减8，向上平移1个单位纵坐标加1：
A₁的坐标为$(4-8, 3+1)=(-4, 4)$，B₁的坐标为$(1-8, 2+1)=(-7, 3)$，C₁的坐标为$(3-8, 1+1)=(-5, 2)$，在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 以原点O为位似中心，相似比为1:2，且△A₂B₂C₂在第三象限，因此各对应点坐标为原坐标乘-2：
A₂的坐标为$(4×(-2), 3×(-2))=(-8, -6)$，B₂的坐标为$(1×(-2), 2×(-2))=(-2, -4)$，C₂的坐标为$(3×(-2), 1×(-2))=(-6, -2)$，在坐标系中描出A₂、B₂、C₂三点，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
(3) $m+n=0$等价于$y=-x$，即点P在二、四象限的角平分线（直线$y=-x$）上，画出直线$y=-x$，它与线段CC₁的交点即为所求的点P。
【答案】
(1)(2)(3)的对应图形分别为图①、图②、图③。
【知识点】
坐标与平移变换，位似图形作图，一次函数图象性质
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的图形变换与一次函数的基本应用，侧重对作图能力和坐标变换规律掌握程度的考查，解题的关键是熟练掌握平移、位似的坐标变化规则，理解直线$y=-x$上点的坐标特征。
【难度系数】
0.7
1. 解决第(1)问需运用平移的坐标变化规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，先计算平移后三个顶点的坐标，再描点连线即可得到平移后的三角形。
2. 解决第(2)问需掌握以原点为位似中心的位似图形坐标变化规律：若位似比为k，且图形位于原点另一侧，则对应点坐标为原坐标乘-k，结合相似比1:2和第三象限的要求，计算位似后各顶点坐标，再描点连线作图。
3. 解决第(3)问需先明确m+n=0的几何意义：即点在直线y=-x上，因此只需找到线段CC₁与直线y=-x的交点即为所求点P。
【解析】
(1) 根据平移坐标变化规律，向左平移8个单位横坐标减8，向上平移1个单位纵坐标加1：
A₁的坐标为$(4-8, 3+1)=(-4, 4)$，B₁的坐标为$(1-8, 2+1)=(-7, 3)$，C₁的坐标为$(3-8, 1+1)=(-5, 2)$，在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 以原点O为位似中心，相似比为1:2，且△A₂B₂C₂在第三象限，因此各对应点坐标为原坐标乘-2：
A₂的坐标为$(4×(-2), 3×(-2))=(-8, -6)$，B₂的坐标为$(1×(-2), 2×(-2))=(-2, -4)$，C₂的坐标为$(3×(-2), 1×(-2))=(-6, -2)$，在坐标系中描出A₂、B₂、C₂三点，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
(3) $m+n=0$等价于$y=-x$，即点P在二、四象限的角平分线（直线$y=-x$）上，画出直线$y=-x$，它与线段CC₁的交点即为所求的点P。
【答案】
(1)(2)(3)的对应图形分别为图①、图②、图③。
【知识点】
坐标与平移变换，位似图形作图，一次函数图象性质
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的图形变换与一次函数的基本应用，侧重对作图能力和坐标变换规律掌握程度的考查，解题的关键是熟练掌握平移、位似的坐标变化规则，理解直线$y=-x$上点的坐标特征。
【难度系数】
0.7
13 如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F。
（1）求证：$PC^2 = PE · PF$。
（2）若菱形边长为8，$PE=2$，$EF=6$，求FB的长。
第13题图
（1）求证：$PC^2 = PE · PF$。
（2）若菱形边长为8，$PE=2$，$EF=6$，求FB的长。
第13题图答案
13. (1) 因为四边形ABCD是菱形，所以$DC=DA$，$∠ ADP=∠ CDP$，$DC // AB$。又因为DP是公共边，所以$△ DAP ≌ △ DCP$，所以$PA=PC$，$∠ DAP=∠ DCP$。由$DC // FA$，得$∠ F=∠ DCP$，所以$∠ F=∠ DAP$。又因为$∠ EPA=∠ APF$，所以$△ AEP ∽ △ FAP$，所以$PA^2=PE · PF$，所以$PC^2=PE · PF$。
(2) 因为$PE=2$，$EF=6$，所以$PF=8$。因为$PC^2=PE · PF$，所以$PC^2=16$，所以$PC=4$。
因为$DC // FB$，所以$\frac{FB}{DC}=\frac{PF}{PC}$。又因为$DC=8$，所以$\frac{FB}{8}=\frac{8}{4}$，所以$FB=16$。
(2) 因为$PE=2$，$EF=6$，所以$PF=8$。因为$PC^2=PE · PF$，所以$PC^2=16$，所以$PC=4$。
因为$DC // FB$，所以$\frac{FB}{DC}=\frac{PF}{PC}$。又因为$DC=8$，所以$\frac{FB}{8}=\frac{8}{4}$，所以$FB=16$。
解析
【分析】
（1）要证明$PC^2 = PE · PF$，可先将等积式转化为比例式$\frac{PC}{PE}=\frac{PF}{PC}$，结合菱形性质先证明$△ DAP ≌ △ DCP$，得到$PC=PA$，将待证式转化为$PA^2=PE·PF$，再通过角的等量关系证明$△ AEP ∼ △ FAP$，利用相似三角形对应边成比例即可得证。
（2）已知PE和EF的长度，先求出PF的长度，代入（1）的结论算出PC的长，再结合菱形对边平行的性质，得到$△ DPC ∼ △ BPF$，利用相似三角形对应边成比例即可求出FB的长度。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $DC=DA$，$∠ADP=∠CDP$，$DC // AB$。
在$△ DAP$和$△ DCP$中：
$\begin{cases}DA=DC \\∠ADP=∠CDP \\DP=DP\end{cases}$
∴ $△ DAP ≌ △ DCP$（SAS），
∴ $PA=PC$，$∠DAP=∠DCP$。
∵ $DC // AB$，即$DC // FA$，
∴ $∠F=∠DCP$，
∴ $∠F=∠DAP$。
又
∵ $∠EPA=∠APF$（公共角），
∴ $△ AEP ∼ △ FAP$（AA），
∴ $\frac{PA}{PF}=\frac{PE}{PA}$，即$PA^2=PE·PF$，
又
∵ $PA=PC$，
∴ $PC^2=PE·PF$。
（2）解：
∵ $PE=2$，$EF=6$，
∴ $PF=PE+EF=2+6=8$，
将$PE=2$，$PF=8$代入$PC^2=PE·PF$，得：
$PC^2=2×8=16$，
∴ $PC=4$（线段长度为正，舍去负解）。
∵ $DC // FB$，
∴ $∠DCP=∠F$，$∠CDP=∠FBP$，
∴ $△ DPC ∼ △ BPF$（AA），
∴ $\frac{FB}{DC}=\frac{PF}{PC}$，
∵ 菱形边长为8，即$DC=8$，
∴ $\frac{FB}{8}=\frac{8}{4}$，
解得$FB=16$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boldsymbol{16}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是常见的几何综合题型，解题时需灵活运用菱形的相关性质，先通过全等转化待证线段，再借助相似证明等积式；第二问可直接复用第一问的结论，结合相似三角形的对应边成比例求解，注意挖掘前后问题的关联性，可简化解题过程。
【难度系数】
0.65
（1）要证明$PC^2 = PE · PF$，可先将等积式转化为比例式$\frac{PC}{PE}=\frac{PF}{PC}$，结合菱形性质先证明$△ DAP ≌ △ DCP$，得到$PC=PA$，将待证式转化为$PA^2=PE·PF$，再通过角的等量关系证明$△ AEP ∼ △ FAP$，利用相似三角形对应边成比例即可得证。
（2）已知PE和EF的长度，先求出PF的长度，代入（1）的结论算出PC的长，再结合菱形对边平行的性质，得到$△ DPC ∼ △ BPF$，利用相似三角形对应边成比例即可求出FB的长度。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $DC=DA$，$∠ADP=∠CDP$，$DC // AB$。
在$△ DAP$和$△ DCP$中：
$\begin{cases}DA=DC \\∠ADP=∠CDP \\DP=DP\end{cases}$
∴ $△ DAP ≌ △ DCP$（SAS），
∴ $PA=PC$，$∠DAP=∠DCP$。
∵ $DC // AB$，即$DC // FA$，
∴ $∠F=∠DCP$，
∴ $∠F=∠DAP$。
又
∵ $∠EPA=∠APF$（公共角），
∴ $△ AEP ∼ △ FAP$（AA），
∴ $\frac{PA}{PF}=\frac{PE}{PA}$，即$PA^2=PE·PF$，
又
∵ $PA=PC$，
∴ $PC^2=PE·PF$。
（2）解：
∵ $PE=2$，$EF=6$，
∴ $PF=PE+EF=2+6=8$，
将$PE=2$，$PF=8$代入$PC^2=PE·PF$，得：
$PC^2=2×8=16$，
∴ $PC=4$（线段长度为正，舍去负解）。
∵ $DC // FB$，
∴ $∠DCP=∠F$，$∠CDP=∠FBP$，
∴ $△ DPC ∼ △ BPF$（AA），
∴ $\frac{FB}{DC}=\frac{PF}{PC}$，
∵ 菱形边长为8，即$DC=8$，
∴ $\frac{FB}{8}=\frac{8}{4}$，
解得$FB=16$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boldsymbol{16}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是常见的几何综合题型，解题时需灵活运用菱形的相关性质，先通过全等转化待证线段，再借助相似证明等积式；第二问可直接复用第一问的结论，结合相似三角形的对应边成比例求解，注意挖掘前后问题的关联性，可简化解题过程。
【难度系数】
0.65
14 如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上一点,且$∠ AED=∠ B$,在DE上取一点F,使$AF=AE$。
(1) 请直接写出图中所有相似的三角形(不必证明)。
(2) 若$AE=2\sqrt{3}$, $BC=3BE$,求$DE· DF$的值。(可以直接使用第(1)小题结论)。
(1) 请直接写出图中所有相似的三角形(不必证明)。
(2) 若$AE=2\sqrt{3}$, $BC=3BE$,求$DE· DF$的值。(可以直接使用第(1)小题结论)。
答案
14. (1) $△ ABE ∽ △ DEA$，$△ AFD ∽ △ DCE$。
(2) 因为$BC=3BE$，设$BE=x$，则$BC=3x$，所以$AD=3x$，$EC=2x$。由$△ ABE ∽ △ DEA$，得$\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{AE}$。因为$AE=2\sqrt{3}$，所以$\frac{2\sqrt{3}}{3x}=\frac{x}{2\sqrt{3}}$，所以$x=2$。因为$△ AFD ∽ △ DCE$，所以$\frac{DE}{AD}=\frac{EC}{DF}$，所以$DE · DF=AD · EC=3x · 2x=6x^2$，所以$DE · DF=24$。
(2) 因为$BC=3BE$，设$BE=x$，则$BC=3x$，所以$AD=3x$，$EC=2x$。由$△ ABE ∽ △ DEA$，得$\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{AE}$。因为$AE=2\sqrt{3}$，所以$\frac{2\sqrt{3}}{3x}=\frac{x}{2\sqrt{3}}$，所以$x=2$。因为$△ AFD ∽ △ DCE$，所以$\frac{DE}{AD}=\frac{EC}{DF}$，所以$DE · DF=AD · EC=3x · 2x=6x^2$，所以$DE · DF=24$。
解析
【分析】
(1) 找相似三角形的思路：先利用平行四边形对边平行的性质，得到∠DAE=∠AEB，结合已知∠AED=∠B，根据两角对应相等可判定△ABE∽△DEA；再结合AF=AE推出∠AFE=∠AEF，结合平行四边形对角相等、平行线内错角相等的性质，推导得到对应角相等，即可判定△AFD∽△DCE。
(2) 求DE·DF的思路：线段乘积形式可转化为相似三角形的等积式计算。先设BE=x，根据BC=3BE和平行四边形对边相等的性质表示出AD、EC的长度，利用△ABE∽△DEA的比例关系求出x²的值，再利用△AFD∽△DCE的比例关系交叉相乘得到DE·DF=AD·EC，代入数值即可算出结果。
【解析】
(1) 图中相似三角形为：$△ ABE ∽ △ DEA$，$△ AFD ∽ △ DCE$。
(2) 解：设$BE=x$，
$\because BC=3BE$，$\therefore BC=3x$，
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AD=BC=3x$，$EC=BC-BE=2x$，
由$△ ABE ∽ △ DEA$得：$\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{AE}$，
将$AE=2\sqrt{3}$代入得：$\frac{2\sqrt{3}}{3x}=\frac{x}{2\sqrt{3}}$，
交叉相乘得$3x^2=12$，解得$x^2=4$，
由$△ AFD ∽ △ DCE$得：$\frac{AD}{DE}=\frac{DF}{EC}$，
交叉相乘得$DE · DF = AD · EC$，
代入$AD=3x$、$EC=2x$得：$DE · DF = 3x · 2x =6x^2$，
将$x^2=4$代入得：$6x^2=6×4=24$。
【答案】
(1) $△ ABE ∽ △ DEA$，$△ AFD ∽ △ DCE$
(2) $24$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的典型题型，解题核心是准确识别相似三角形的对应边和对应角，灵活将乘积式转化为相似三角形的等积式简化计算，有助于巩固相似相关的核心知识点。
【难度系数】
0.6
(1) 找相似三角形的思路：先利用平行四边形对边平行的性质，得到∠DAE=∠AEB，结合已知∠AED=∠B，根据两角对应相等可判定△ABE∽△DEA；再结合AF=AE推出∠AFE=∠AEF，结合平行四边形对角相等、平行线内错角相等的性质，推导得到对应角相等，即可判定△AFD∽△DCE。
(2) 求DE·DF的思路：线段乘积形式可转化为相似三角形的等积式计算。先设BE=x，根据BC=3BE和平行四边形对边相等的性质表示出AD、EC的长度，利用△ABE∽△DEA的比例关系求出x²的值，再利用△AFD∽△DCE的比例关系交叉相乘得到DE·DF=AD·EC，代入数值即可算出结果。
【解析】
(1) 图中相似三角形为：$△ ABE ∽ △ DEA$，$△ AFD ∽ △ DCE$。
(2) 解：设$BE=x$，
$\because BC=3BE$，$\therefore BC=3x$，
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AD=BC=3x$，$EC=BC-BE=2x$，
由$△ ABE ∽ △ DEA$得：$\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{AE}$，
将$AE=2\sqrt{3}$代入得：$\frac{2\sqrt{3}}{3x}=\frac{x}{2\sqrt{3}}$，
交叉相乘得$3x^2=12$，解得$x^2=4$，
由$△ AFD ∽ △ DCE$得：$\frac{AD}{DE}=\frac{DF}{EC}$，
交叉相乘得$DE · DF = AD · EC$，
代入$AD=3x$、$EC=2x$得：$DE · DF = 3x · 2x =6x^2$，
将$x^2=4$代入得：$6x^2=6×4=24$。
【答案】
(1) $△ ABE ∽ △ DEA$，$△ AFD ∽ △ DCE$
(2) $24$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的典型题型，解题核心是准确识别相似三角形的对应边和对应角，灵活将乘积式转化为相似三角形的等积式简化计算，有助于巩固相似相关的核心知识点。
【难度系数】
0.6
