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1. 母题教材P₁₀₃习题T₁₀ 如图,表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶路程 y(km)随时间 x(h)变化的图象,则下列结论错误的是 (
A.轮船的速度为 20 km/h
B.快艇的速度为 40 km/h
C.轮船比快艇先出发 2 h
D.快艇到达乙港用了 6 h
D
)A.轮船的速度为 20 km/h
B.快艇的速度为 40 km/h
C.轮船比快艇先出发 2 h
D.快艇到达乙港用了 6 h
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道结合一次函数图象的行程问题，解题思路如下：首先明确横坐标x表示行驶时间，纵坐标y表示行驶路程；第一步先观察两条图象的起点，判断轮船和快艇的出发时间差；第二步分别找到轮船、快艇行驶完全程的总路程和对应的实际行驶时间，根据速度=路程÷时间的公式计算两者速度；最后逐一核对选项，找出错误的结论即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 分析选项C：由图象可知，轮船在x=0时出发，快艇在x=2h时出发，因此轮船比快艇先出发2h，C选项结论正确，不符合题意。
2. 分析选项A：轮船行驶总路程为160km，总用时8h，因此轮船速度为$160÷8=20\ \mathrm{km/h}$，A选项结论正确，不符合题意。
3. 分析选项B：快艇从2h出发，6h到达乙港，实际行驶时间为$6-2=4\ \mathrm{h}$，行驶总路程160km，因此快艇速度为$160÷4=40\ \mathrm{km/h}$，B选项结论正确，不符合题意。
4. 分析选项D：快艇到达乙港的实际用时为$6-2=4\ \mathrm{h}$，不是6h，因此D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象的应用；行程问题计算
【点评】
本题考查从函数图象中提取有效信息解决实际问题的能力，解题核心是明确横纵坐标的实际意义，结合行程问题的基本公式分析即可，需注意快艇的行驶时间要减去晚出发的时间，是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
这是一道结合一次函数图象的行程问题，解题思路如下：首先明确横坐标x表示行驶时间，纵坐标y表示行驶路程；第一步先观察两条图象的起点，判断轮船和快艇的出发时间差；第二步分别找到轮船、快艇行驶完全程的总路程和对应的实际行驶时间，根据速度=路程÷时间的公式计算两者速度；最后逐一核对选项，找出错误的结论即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 分析选项C：由图象可知，轮船在x=0时出发，快艇在x=2h时出发，因此轮船比快艇先出发2h，C选项结论正确，不符合题意。
2. 分析选项A：轮船行驶总路程为160km，总用时8h，因此轮船速度为$160÷8=20\ \mathrm{km/h}$，A选项结论正确，不符合题意。
3. 分析选项B：快艇从2h出发，6h到达乙港，实际行驶时间为$6-2=4\ \mathrm{h}$，行驶总路程160km，因此快艇速度为$160÷4=40\ \mathrm{km/h}$，B选项结论正确，不符合题意。
4. 分析选项D：快艇到达乙港的实际用时为$6-2=4\ \mathrm{h}$，不是6h，因此D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象的应用；行程问题计算
【点评】
本题考查从函数图象中提取有效信息解决实际问题的能力，解题核心是明确横纵坐标的实际意义，结合行程问题的基本公式分析即可，需注意快艇的行驶时间要减去晚出发的时间，是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
2. [2025 济南]A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,甲、乙两人各自到A地的距离 s(km)与骑车时间 t(h)的关系如图所示,则他们相遇时距离A地
$\frac{300}{7}$
km.答案
2.$\frac{300}{7}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先需要从图象中提取信息，用待定系数法分别求出甲、乙两人到A地的距离s与骑车时间t的一次函数解析式。两人相遇时，他们到A地的距离相等，也就是两个函数的函数值相等，联立两个解析式求出相遇时间，再将时间代入任意一个解析式，就能得到相遇时距离A地的距离。
【解析】
1. 求甲对应的函数解析式
观察图象可知甲的图象过原点，设甲的函数关系式为$s = k_1t$（$k_1≠0$），将点$(2,30)$代入得：
$30 = 2k_1$，解得$k_1=15$，因此甲的解析式为$s=15t$（$t≥0$）。
2. 求乙对应的函数解析式
乙的图象过点$(0,100)$和$(1,80)$，设乙的函数关系式为$s = k_2t + b$（$k_2≠0$），
将$(0,100)$代入得$b=100$，再将$(1,80)$、$b=100$代入得：
$80 = k_2 + 100$，解得$k_2=-20$，因此乙的解析式为$s=-20t+100$（$t≥0$）。
3. 计算相遇时距离A地的距离
两人相遇时到A地的距离相等，因此联立两个解析式：
$15t = -20t + 100$
移项得$35t=100$，解得$t=\frac{20}{7}\ \mathrm{h}$。
将$t=\frac{20}{7}$代入$s=15t$得：$s=15×\frac{20}{7}=\frac{300}{7}\ \mathrm{km}$。
【答案】
$\frac{300}{7}$
【知识点】
一次函数的应用、待定系数法求解析式、一次函数交点的意义
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，核心是能够从函数图象中提取有效信息，正确求出两个一次函数的解析式，理解相遇时两个函数值相等的含义，侧重考察读图能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们首先需要从图象中提取信息，用待定系数法分别求出甲、乙两人到A地的距离s与骑车时间t的一次函数解析式。两人相遇时，他们到A地的距离相等，也就是两个函数的函数值相等，联立两个解析式求出相遇时间，再将时间代入任意一个解析式，就能得到相遇时距离A地的距离。
【解析】
1. 求甲对应的函数解析式
观察图象可知甲的图象过原点，设甲的函数关系式为$s = k_1t$（$k_1≠0$），将点$(2,30)$代入得：
$30 = 2k_1$，解得$k_1=15$，因此甲的解析式为$s=15t$（$t≥0$）。
2. 求乙对应的函数解析式
乙的图象过点$(0,100)$和$(1,80)$，设乙的函数关系式为$s = k_2t + b$（$k_2≠0$），
将$(0,100)$代入得$b=100$，再将$(1,80)$、$b=100$代入得：
$80 = k_2 + 100$，解得$k_2=-20$，因此乙的解析式为$s=-20t+100$（$t≥0$）。
3. 计算相遇时距离A地的距离
两人相遇时到A地的距离相等，因此联立两个解析式：
$15t = -20t + 100$
移项得$35t=100$，解得$t=\frac{20}{7}\ \mathrm{h}$。
将$t=\frac{20}{7}$代入$s=15t$得：$s=15×\frac{20}{7}=\frac{300}{7}\ \mathrm{km}$。
【答案】
$\frac{300}{7}$
【知识点】
一次函数的应用、待定系数法求解析式、一次函数交点的意义
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，核心是能够从函数图象中提取有效信息，正确求出两个一次函数的解析式，理解相遇时两个函数值相等的含义，侧重考察读图能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
3. 情境题方案策略型 春节临近，某网商紧急备货，但目前缺少大量礼品盒，该网商通过调研，发现这种礼品盒的来源有两种方案：
方案一：从纸箱厂订购，购买所需费用$y_1$（单位：元）与礼品盒的数量$x$（单位：盒）满足如图所示的函数关系。
方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这种礼品盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产礼品盒的费用）$y_2$（单位：元）与礼品盒的数量$x$（单位：盒）满足如图所示的函数关系。
请回答下列问题：
(1)方案一中，礼品盒的单价为
(2)求出$y_1$，$y_2$关于$x$的函数表达式。
(3)如何选择方案，才能够更省钱？请说明理由。
方案一：从纸箱厂订购，购买所需费用$y_1$（单位：元）与礼品盒的数量$x$（单位：盒）满足如图所示的函数关系。
方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这种礼品盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产礼品盒的费用）$y_2$（单位：元）与礼品盒的数量$x$（单位：盒）满足如图所示的函数关系。
请回答下列问题：
(1)方案一中，礼品盒的单价为
3
元。(2)求出$y_1$，$y_2$关于$x$的函数表达式。
(3)如何选择方案，才能够更省钱？请说明理由。
答案
3.【解】(1)3
(2)设 $y_1$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_1 = k_1 x$. 因为该函数图象经过点$(500,1\ 500)$,所以$1\ 500=500k_1$,解得 $k_1=3$. 所以 $y_1$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_1=3x$. 设 $y_2$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_2 = k_2 x + b$. 因为该函数图象经过点$(0,1\ 000)$和$(1\ 500,4\ 000)$,所以 $1\ 500k_2 + b = 4\ 000, b=1\ 000$,解得 $k_2=2$. 所以 $y_2$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_2=2x+1\ 000$.
(3)令 $3x=2x+1\ 000$,解得 $x=1\ 000$,
所以当 $x=1\ 000$ 时,两种方案同样省钱；
当 $x＜1\ 000$ 时,选择方案一更省钱；
当 $x＞1\ 000$ 时,选择方案二更省钱.
(2)设 $y_1$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_1 = k_1 x$. 因为该函数图象经过点$(500,1\ 500)$,所以$1\ 500=500k_1$,解得 $k_1=3$. 所以 $y_1$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_1=3x$. 设 $y_2$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_2 = k_2 x + b$. 因为该函数图象经过点$(0,1\ 000)$和$(1\ 500,4\ 000)$,所以 $1\ 500k_2 + b = 4\ 000, b=1\ 000$,解得 $k_2=2$. 所以 $y_2$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_2=2x+1\ 000$.
(3)令 $3x=2x+1\ 000$,解得 $x=1\ 000$,
所以当 $x=1\ 000$ 时,两种方案同样省钱；
当 $x＜1\ 000$ 时,选择方案一更省钱；
当 $x＞1\ 000$ 时,选择方案二更省钱.
解析
【分析】
(1) 求方案一的单价可根据“单价=总费用÷数量”，结合y₁图象给出的对应数值直接计算即可。(2) 求一次函数表达式使用待定系数法：y₁是正比例函数，代入图象上已知点就能求出比例系数；y₂是普通一次函数，代入图象上两个已知点，解二元一次方程组即可求出系数。(3) 判断哪种方案省钱，本质是比较相同礼品盒数量下两个函数值的大小，分y₁=y₂、y₁＜y₂、y₁＞y₂三种情况求解对应的x范围，即可得到不同需求下的最优方案。
【解析】
(1) 由图象可知，方案一购买500盒礼品盒总费用为1500元，因此单价为$1500÷500=3$元/盒。
(2) 求$y_1$的函数表达式：
设$y_1 = k_1x$（$k_1≠0$），
∵函数图象经过点$(500,1500)$，
∴代入得$1500=500k_1$，解得$k_1=3$，
∴$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=3x$。
求$y_2$的函数表达式：
设$y_2 = k_2x + b$（$k_2≠0$），
∵函数图象经过点$(0,1000)$和$(1500,4000)$，
∴代入得$\begin{cases}b=1000\\1500k_2 + b=4000\end{cases}$，解得$k_2=2$，
∴$y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2=2x+1000$。
(3) 令$y_1=y_2$，即$3x=2x+1000$，解得$x=1000$：
当$x=1000$时，两种方案费用相等；
当$x＜1000$时，$3x＜2x+1000$，即$y_1＜y_2$，方案一更省钱；
当$x＞1000$时，$3x＞2x+1000$，即$y_1＞y_2$，方案二更省钱。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{y_1=3x}$，$\boldsymbol{y_2=2x+1000}$
(3) 当需要礼品盒数量为1000盒时，两种方案费用相同；当数量小于1000盒时，选择方案一更省钱；当数量大于1000盒时，选择方案二更省钱。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，最优方案选择
【点评】
本题结合生活备货的真实场景考查一次函数的应用，解题核心是先通过待定系数法求出两个方案对应的函数表达式，再通过比较函数值大小确定最优策略，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求方案一的单价可根据“单价=总费用÷数量”，结合y₁图象给出的对应数值直接计算即可。(2) 求一次函数表达式使用待定系数法：y₁是正比例函数，代入图象上已知点就能求出比例系数；y₂是普通一次函数，代入图象上两个已知点，解二元一次方程组即可求出系数。(3) 判断哪种方案省钱，本质是比较相同礼品盒数量下两个函数值的大小，分y₁=y₂、y₁＜y₂、y₁＞y₂三种情况求解对应的x范围，即可得到不同需求下的最优方案。
【解析】
(1) 由图象可知，方案一购买500盒礼品盒总费用为1500元，因此单价为$1500÷500=3$元/盒。
(2) 求$y_1$的函数表达式：
设$y_1 = k_1x$（$k_1≠0$），
∵函数图象经过点$(500,1500)$，
∴代入得$1500=500k_1$，解得$k_1=3$，
∴$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=3x$。
求$y_2$的函数表达式：
设$y_2 = k_2x + b$（$k_2≠0$），
∵函数图象经过点$(0,1000)$和$(1500,4000)$，
∴代入得$\begin{cases}b=1000\\1500k_2 + b=4000\end{cases}$，解得$k_2=2$，
∴$y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2=2x+1000$。
(3) 令$y_1=y_2$，即$3x=2x+1000$，解得$x=1000$：
当$x=1000$时，两种方案费用相等；
当$x＜1000$时，$3x＜2x+1000$，即$y_1＜y_2$，方案一更省钱；
当$x＞1000$时，$3x＞2x+1000$，即$y_1＞y_2$，方案二更省钱。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{y_1=3x}$，$\boldsymbol{y_2=2x+1000}$
(3) 当需要礼品盒数量为1000盒时，两种方案费用相同；当数量小于1000盒时，选择方案一更省钱；当数量大于1000盒时，选择方案二更省钱。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，最优方案选择
【点评】
本题结合生活备货的真实场景考查一次函数的应用，解题核心是先通过待定系数法求出两个方案对应的函数表达式，再通过比较函数值大小确定最优策略，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
4. 甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠，所挖河渠的长度$y$(m)与挖掘时间$x$(h)之间的函数关系如图所示，以下信息一定正确的有 （
①甲队挖掘20 m，用了2 h；
②开挖6 h后，甲队比乙队多挖掘10 m；
③乙队从开挖2 h后到6 h之间，每小时挖掘5 m；
④开挖4 h后，甲、乙两队所挖河渠长度相等。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）①甲队挖掘20 m，用了2 h；
②开挖6 h后，甲队比乙队多挖掘10 m；
③乙队从开挖2 h后到6 h之间，每小时挖掘5 m；
④开挖4 h后，甲、乙两队所挖河渠长度相等。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.D 【点拨】由题图可知,开挖6 h,甲队一共挖掘60 m,所以甲队的速度为$\frac{60}{6}=10(\mathrm{m/h})$.所以甲队挖掘20 m,用了2 h,故①正确;由题图可知,开挖6 h后,甲队挖掘了60 m,乙队挖掘了50 m,所以甲队比乙队多挖掘10 m,故②正确;由题图可知,乙队从开挖2 h后到6 h之间挖了$50-30=20(\mathrm{m})$,则易知每小时挖掘5 m,故③正确;开挖4 h后,甲队挖了$10×4=40(\mathrm{m})$,乙队挖了$30+5×(4-2)=40(\mathrm{m})$,则开挖4 h后,甲、乙两队所挖河渠长度相等,故④正确.
解析
【分析】
解决本题首先要明确函数图像的横、纵坐标的实际意义：横坐标x代表挖掘时间，纵坐标y代表挖掘河渠的长度。解题思路如下：1. 先分析甲的挖掘规律：甲的图像是过原点的直线，说明匀速挖掘，先计算甲的挖掘速度，验证结论①；2. 读取x=6h时甲、乙对应的y值，计算差值验证结论②；3. 分析乙的分段挖掘规律，用2h到6h的挖掘长度差除以时间差，算出该段乙的挖掘速度，验证结论③；4. 分别计算x=4h时甲、乙的挖掘总长度，对比验证结论④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
1. 计算甲的挖掘速度：由图可知，甲6h共挖掘60m，因此甲的速度为$\frac{60}{6}=10(\mathrm{m/h})$。甲挖掘20m的时间为$20÷10=2(\mathrm{h})$，故①正确；
2. 开挖6h后，甲挖掘长度为60m，乙挖掘长度为50m，甲比乙多挖掘$60-50=10(\mathrm{m})$，故②正确；
3. 乙队开挖2h到6h的时长为$6-2=4(\mathrm{h})$，这段时间挖掘的长度为$50-30=20(\mathrm{m})$，因此该段乙的速度为$\frac{20}{4}=5(\mathrm{m/h})$，故③正确；
4. 开挖4h时：甲的挖掘长度为$10×4=40(\mathrm{m})$；乙的挖掘长度为前2h的30m加上后2h的挖掘量，即$30+5×(4-2)=40(\mathrm{m})$，二者长度相等，故④正确。
综上，4个结论都正确，选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图像应用，工程问题计算，图像信息提取
【点评】
本题考查结合一次函数图像解决实际工程问题，核心是读懂图像中特殊点、线段的实际含义，准确计算不同阶段的工作效率，再逐一验证结论即可，解题时注意乙的挖掘速度是分阶段变化的，避免直接按全程匀速计算出错。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确函数图像的横、纵坐标的实际意义：横坐标x代表挖掘时间，纵坐标y代表挖掘河渠的长度。解题思路如下：1. 先分析甲的挖掘规律：甲的图像是过原点的直线，说明匀速挖掘，先计算甲的挖掘速度，验证结论①；2. 读取x=6h时甲、乙对应的y值，计算差值验证结论②；3. 分析乙的分段挖掘规律，用2h到6h的挖掘长度差除以时间差，算出该段乙的挖掘速度，验证结论③；4. 分别计算x=4h时甲、乙的挖掘总长度，对比验证结论④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
1. 计算甲的挖掘速度：由图可知，甲6h共挖掘60m，因此甲的速度为$\frac{60}{6}=10(\mathrm{m/h})$。甲挖掘20m的时间为$20÷10=2(\mathrm{h})$，故①正确；
2. 开挖6h后，甲挖掘长度为60m，乙挖掘长度为50m，甲比乙多挖掘$60-50=10(\mathrm{m})$，故②正确；
3. 乙队开挖2h到6h的时长为$6-2=4(\mathrm{h})$，这段时间挖掘的长度为$50-30=20(\mathrm{m})$，因此该段乙的速度为$\frac{20}{4}=5(\mathrm{m/h})$，故③正确；
4. 开挖4h时：甲的挖掘长度为$10×4=40(\mathrm{m})$；乙的挖掘长度为前2h的30m加上后2h的挖掘量，即$30+5×(4-2)=40(\mathrm{m})$，二者长度相等，故④正确。
综上，4个结论都正确，选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图像应用，工程问题计算，图像信息提取
【点评】
本题考查结合一次函数图像解决实际工程问题，核心是读懂图像中特殊点、线段的实际含义，准确计算不同阶段的工作效率，再逐一验证结论即可，解题时注意乙的挖掘速度是分阶段变化的，避免直接按全程匀速计算出错。
【难度系数】
0.7
5. ★★★ 已知甲、乙两地相距 480 km，一辆出租车从甲地出发前往乙地，一辆货车沿同一条公路从乙地出发前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距 120 km，货车改变速度继续出发$\frac{2}{3}$ h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早 15 min 到达甲地.如图是两车距各自出发地的距离 y(km)与货车行驶时间 x(h)之间的函数图象，则下列说法：
①$a=120$；
②点 F 的坐标为$(8,0)$；
③出租车从乙地返回甲地的速度为128 km/h；
④出租车原路返回的过程中，货车出发$\frac{125}{17}$ h或$\frac{123}{15}$ h时都与出租车相距 12 km.
其中正确的是
①$a=120$；
②点 F 的坐标为$(8,0)$；
③出租车从乙地返回甲地的速度为128 km/h；
④出租车原路返回的过程中，货车出发$\frac{125}{17}$ h或$\frac{123}{15}$ h时都与出租车相距 12 km.
其中正确的是
①②③
.(填序号)答案
5.①②③ 【点拨】由题图可得 $C(4,480)$,设 $OC$ 所在直线的表达式为 $y=kx$,把$(4,480)$代入 $y=kx$ 得 $480=4k$,解得$k=120$,则 $OC$ 所在直线的表达式为 $y=120x$.把$(1,a)$代入 $y=120x$,得 $a=120$,故①正确. 由图象得货车行驶$\frac{3}{2}\ \mathrm{h}$后开始停下来装货物,装完后发现此时与出租车相距120 km. 因为 $a=120$,所以货车装完货物时与乙地相距 120 km,所以此时出租车距离乙地 $120+120=240(\mathrm{km})$,所以出租车距离甲地 $480-240=240(\mathrm{km})$. 把 $y=240$ 代入 $y=120x$,得 $240=120x$,解得 $x=2$,所以货车装完货物时,$x=2$,则 $B(2,120)$. 根据货车改变速度继续出发$\frac{2}{3}\ \mathrm{h}$后与出租车相遇,可得$\frac{2}{3}×$(出租车的速度+货车的速度)$=120\ \mathrm{km}$. 根据题图易知出租车的速度为 120 km/h,所以相遇时,货车的速度为 $120÷\frac{2}{3}-120=60(\mathrm{km/h})$,故可设 $BG$ 所在直线的表达式为 $y=60x+b$,将$(2,120)$代入 $y=60x+b$,得 $120=2×60+b$,解得 $b=0$,所以 $BG$ 所在直线的表达式为 $y=60x$,故货车装完货物后前往甲地的过程中,距其出发地的距离 $y$ (km)与行驶时间 $x$(h)之间的函数关系式为 $y=60x$. 把 $y=480$ 代入 $y=60x$,可得 $480=60x$,解得 $x=8$,所以 $G(8,480)$,所以 $F(8,0)$,故②正确. 根据出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早 15 min 到达甲地,易知 $E(8-\frac{15}{60},0)$,即 $E(\frac{31}{4},0)$,所以出租车原路返回的速度为 $480÷(\frac{31}{4}-4)=128(\mathrm{km/h})$,故③正确. 设在出租车原路返回的过程中,货车出发 $z$ h 与出租车相距12 km,此时货车距离乙地 $60z$ km,出租车距离乙地 $128(z-4)=(128z-512)$ km,分以下两种情况讨论:出租车和货车第二次相遇前相距 12 km 时,可得 $60z-(128z-512)=12$,解得 $z=\frac{125}{17}$;出租车和货车第二次相遇后相距 12 km 时,可得 $(128z-512)-60z=12$,解得 $z=\frac{131}{17}$,故出租车在原路返回的过程中,货车出发$\frac{125}{17}$ h或$\frac{131}{17}$ h时都与出租车相距 12 km,故④错误.
解析
【分析】
首先明确图象的实际意义：折线O-B-G表示货车距乙地（出发地）的距离随行驶时间的变化，折线O-C-E表示出租车距甲地（出发地）的距离随行驶时间的变化，其中OC为出租车去程，CE为出租车返程。解题时先从已知点C入手求出出租车去程的速度，再依次验证4个结论：①通过求OC段的函数解析式代入x=1即可得a的值；②先求出货车装货结束的时间，再结合相遇条件求货车提速后的速度，得到BG段解析式后求出货车到达甲地的时间即可得F点坐标；③根据出租车比货车早15min到达甲地，求出出租车返程的总时间即可计算返程速度；④分返程中两车相遇前、相遇后相距12km两种情况列方程求解，验证给出的时间是否正确。
【解析】
1. 验证①：已知C点坐标为$(4,480)$，设OC段（出租车去程）的函数解析式为$y=kx$，将$(4,480)$代入得$4k=480$，解得$k=120$，即OC解析式为$y=120x$。将$x=1$代入解析式，得$y=120×1=120$，故$a=120$，①正确。
2. 验证②：货车行驶$\frac{3}{2}\ \mathrm{h}$后开始装货，装完货时距乙地120km，此时两车相距120km，因此出租车距乙地$120+120=240\ \mathrm{km}$，距甲地$480-240=240\ \mathrm{km}$。将$y=240$代入OC解析式$y=120x$，得$240=120x$，解得$x=2$，即装货结束时$x=2$，B点坐标为$(2,120)$。
货车提速后$\frac{2}{3}\ \mathrm{h}$与出租车相遇，两车速度和为$120÷\frac{2}{3}=180\ \mathrm{km/h}$，已知出租车速度为$120\ \mathrm{km/h}$，故货车提速后速度为$180-120=60\ \mathrm{km/h}$。
设BG段（货车提速后）的解析式为$y=60x+b$，将$B(2,120)$代入得$120=60×2+b$，解得$b=0$，即BG解析式为$y=60x$。货车到达甲地时$y=480$，代入得$480=60x$，解得$x=8$，故F点坐标为$(8,0)$，②正确。
3. 验证③：出租车比货车早15min（即$\frac{15}{60}=\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$）到达甲地，故出租车到达甲地的时间为$8-\frac{1}{4}=\frac{31}{4}\ \mathrm{h}$。出租车4h到达乙地，因此返程总时间为$\frac{31}{4}-4=\frac{15}{4}\ \mathrm{h}$，返程速度为$480÷\frac{15}{4}=128\ \mathrm{km/h}$，③正确。
4. 验证④：设出租车返程过程中，货车出发$z$ h时两车相距12km（$z＞4$），此时货车距乙地$60z$ km，出租车距乙地$128(z-4)=(128z-512)$km：
相遇前相距12km：$60z-(128z-512)=12$，解得$z=\frac{125}{17}$；
相遇后相距12km：$(128z-512)-60z=12$，解得$z=\frac{131}{17}$。
题目中给出的第二个时间$\frac{123}{15}$错误，故④错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
一次函数的应用；行程问题；分段函数
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，需要准确理解图象各段对应的实际意义，结合路程、速度、时间的关系逐步推导，解题时注意分类讨论两车相距固定距离的两种位置情况，易错点是对两车位置关系的分析和返程时间的计算。
【难度系数】
0.6
首先明确图象的实际意义：折线O-B-G表示货车距乙地（出发地）的距离随行驶时间的变化，折线O-C-E表示出租车距甲地（出发地）的距离随行驶时间的变化，其中OC为出租车去程，CE为出租车返程。解题时先从已知点C入手求出出租车去程的速度，再依次验证4个结论：①通过求OC段的函数解析式代入x=1即可得a的值；②先求出货车装货结束的时间，再结合相遇条件求货车提速后的速度，得到BG段解析式后求出货车到达甲地的时间即可得F点坐标；③根据出租车比货车早15min到达甲地，求出出租车返程的总时间即可计算返程速度；④分返程中两车相遇前、相遇后相距12km两种情况列方程求解，验证给出的时间是否正确。
【解析】
1. 验证①：已知C点坐标为$(4,480)$，设OC段（出租车去程）的函数解析式为$y=kx$，将$(4,480)$代入得$4k=480$，解得$k=120$，即OC解析式为$y=120x$。将$x=1$代入解析式，得$y=120×1=120$，故$a=120$，①正确。
2. 验证②：货车行驶$\frac{3}{2}\ \mathrm{h}$后开始装货，装完货时距乙地120km，此时两车相距120km，因此出租车距乙地$120+120=240\ \mathrm{km}$，距甲地$480-240=240\ \mathrm{km}$。将$y=240$代入OC解析式$y=120x$，得$240=120x$，解得$x=2$，即装货结束时$x=2$，B点坐标为$(2,120)$。
货车提速后$\frac{2}{3}\ \mathrm{h}$与出租车相遇，两车速度和为$120÷\frac{2}{3}=180\ \mathrm{km/h}$，已知出租车速度为$120\ \mathrm{km/h}$，故货车提速后速度为$180-120=60\ \mathrm{km/h}$。
设BG段（货车提速后）的解析式为$y=60x+b$，将$B(2,120)$代入得$120=60×2+b$，解得$b=0$，即BG解析式为$y=60x$。货车到达甲地时$y=480$，代入得$480=60x$，解得$x=8$，故F点坐标为$(8,0)$，②正确。
3. 验证③：出租车比货车早15min（即$\frac{15}{60}=\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$）到达甲地，故出租车到达甲地的时间为$8-\frac{1}{4}=\frac{31}{4}\ \mathrm{h}$。出租车4h到达乙地，因此返程总时间为$\frac{31}{4}-4=\frac{15}{4}\ \mathrm{h}$，返程速度为$480÷\frac{15}{4}=128\ \mathrm{km/h}$，③正确。
4. 验证④：设出租车返程过程中，货车出发$z$ h时两车相距12km（$z＞4$），此时货车距乙地$60z$ km，出租车距乙地$128(z-4)=(128z-512)$km：
相遇前相距12km：$60z-(128z-512)=12$，解得$z=\frac{125}{17}$；
相遇后相距12km：$(128z-512)-60z=12$，解得$z=\frac{131}{17}$。
题目中给出的第二个时间$\frac{123}{15}$错误，故④错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
一次函数的应用；行程问题；分段函数
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，需要准确理解图象各段对应的实际意义，结合路程、速度、时间的关系逐步推导，解题时注意分类讨论两车相距固定距离的两种位置情况，易错点是对两车位置关系的分析和返程时间的计算。
【难度系数】
0.6
