1. 一次函数$y=5x+3$的图象经过的象限是（）

A.第一、二、三象限
B.第二、三、四象限
C.第一、二、四象限
D.第一、三、四象限

A

对于一次函数y=kx+b（k≠0），本题中k=5＞0，函数图象从左向右上升，必然经过第一、三象限；又b=3＞0，说明图象与y轴交于正半轴，因此图象还经过第二象限，即该一次函数图象经过第一、二、三象限。

2. 如图,数轴上点 C 表示的数是 2,BC⊥OC于点 C,且 BC=1,连接 OB,以点 O 为圆心,OB长为半径画弧与数轴交于点 A,则点 A 表示的数是()

A.$\sqrt{5}$
B.$-\sqrt{5}$
C.$2-\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}-2$

A

由点C表示的数是2，可得OC=2。因为BC⊥OC，所以△OCB为直角三角形，根据勾股定理计算得OB=√(OC²+BC²)=√(2²+1²)=√5。由作图规则可知OA=OB=√5，点A位于数轴正半轴，因此点A表示的数是√5。

3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，要把$□ ABCD$变成矩形，需要添加的条件是()

A.$AB=BC$
B.$AC=BD$
C.$AC ⊥ BD$
D.$AD=BC$

B

根据矩形的判定定理逐一分析选项：
1. 选项A：$AB=BC$是平行四边形邻边相等的条件，可判定平行四边形为菱形，不符合要求；
2. 选项B：对角线相等的平行四边形是矩形，$AC=BD$满足该判定条件，可将$□ ABCD$变为矩形；
3. 选项C：$AC⊥ BD$是平行四边形对角线互相垂直的条件，可判定平行四边形为菱形，不符合要求；
4. 选项D：平行四边形本身就满足对边相等$AD=BC$，该条件无法将平行四边形变为矩形。
综上，符合要求的条件是选项B。

4. 将二次根式 $ A_0=\sqrt{(n+1)(n-3)+4} \ (n≥ 3,且n为整数) $输入到一个二次根式程序里进行运行，得到以下结果：运行1次得到 $ A_1=\sqrt{(n+3)A_0+4} $，运行2次得到 $ A_2=\sqrt{(n+5)A_1+4} $，运行3次得到 $ A_3=\sqrt{(n+7)A_2+4} $，…，运行k次得到 $ A_k=\sqrt{(n+2k+1)A_{k-1}+4} $，…，按此规律运行。有下列说法：
①当 $ n=3 $ 时，$ A_4=10 $；
②若 $ A_{100}=2025 $，则 $ n=1826 $；
③若 $ A_k=2025 $，则运行次数 $ k $ 的值有1012种情况。
其中正确的个数是()

A.0
B.1
C.2
D.3

C

首先化简初始二次根式：
$A_0=\sqrt{(n+1)(n-3)+4}=\sqrt{n^2-2n+1}=\sqrt{(n-1)^2}$，由$n\ge3$得$A_0=n-1$。
依次代入运算规则推导：
$A_1=\sqrt{(n+3)A_0+4}=\sqrt{(n+3)(n-1)+4}=\sqrt{n^2+2n+1}=n+1$，
$A_2=\sqrt{(n+5)A_1+4}=\sqrt{(n+5)(n+1)+4}=\sqrt{n^2+6n+9}=n+3$，
归纳得通项公式：$A_k = n + 2k -1$。
1. 验证①：当$n=3$时，$A_4=3+2×4-1=10$，①正确。
2. 验证②：若$A_{100}=2025$，代入通项得$n+2×100-1=2025$，解得$n=2025-199=1826$，②正确。
3. 验证③：若$A_k=2025$，则$n+2k-1=2025$，即$n=2026-2k$，由$n\ge3$得$2026-2k\ge3$，$k\le1011.5$。运行次数$k$为正整数，取值为$1,2,\dots,1011$，共1011种情况，③错误。
综上正确的说法共2个。

5. 计算：$\sqrt{(1-\sqrt{2})^2} - ( \frac{\sqrt{2}}{2} )^{-1} =$ 。

$\boldsymbol{-1}$

解：
原式$=|1-\sqrt{2}| - \frac{2}{\sqrt{2}}$
$\because 1＜\sqrt{2}$，
$\therefore |1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，且$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
$\therefore$ 原式$=\sqrt{2}-1 - \sqrt{2}=-1$
最终

6. 当$k=$时,关于$x$的一次函数$y=(k-2)x-4+k^2$又是正比例函数.

$\boldsymbol{-2}$

解：
由正比例函数的定义可知，该函数需满足常数项为0，且一次项系数不为0，因此列条件：
$\begin{cases}k^2 - 4 = 0 \\k - 2 ≠ 0\end{cases}$
由$k^2 -4=0$解得$k=\pm2$，
结合$k-2≠0$即$k≠2$，可得$k=-2$。
最终

7. 如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,点E为AB的中点,连接OE.若AC=12,BD=16,则OE的长为.

$\boldsymbol{5}$

解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$，$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×16=8$。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵ 点E为AB的中点，
∴ OE是Rt△AOB斜边AB上的中线，
∴ $OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。

8. 如图，一次函数$y=kx+4$的图象经过点$A(1,2)$，则关于$x$的不等式$kx+4＞2$的解集为。

$\boldsymbol{x＜1}$

解：
将点$A(1,2)$代入$y=kx+4$，得：
$k + 4 = 2$
解得$k=-2$。
把$k=-2$代入不等式$kx+4＞2$，得：
$-2x + 4 ＞ 2$
移项得：$-2x ＞ -2$
系数化为1，得：$x ＜ 1$
最终

9. 如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E，F分别在边BC，AB上，连接DF，点A和点E关于直线DF对称，点G在边BC上，连接DE，DG，将△CDG沿DG折叠，点C恰好落在线段DE上的点H处，连接FH，则BE=，FH=。 第9题图

$BE=\boldsymbol{2},\quad FH=\boldsymbol{\frac{2\sqrt{61}}{3}}$

解：
1. 求BE的长度：
因为点A和点E关于直线DF对称，所以DE=AD=10。
在矩形ABCD中，CD=AB=6，∠C=90°，BC=AD=10。
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{DE^2-CD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
所以BE=BC-EC=10-8=22. 求FH的长度：设AF=x，由对称性得EF=AF=x，FB=AB-AF=6-x。在Rt△BEF中，由勾股定理得：$BE^2 + FB^2 = EF^2$代入数值：$2^2 + (6-x)^2 = x^2$展开化简得：$4 + 36 -12x +x^2 = x^2$解得$x=\frac{10}{3}$，即$EF=\frac{10}{3}$。由折叠△CDG得DH=CD=6，所以HE=DE-DH=10-6=4。由∠BEF + ∠BFE=90°，且$cos∠BEF=\frac{BE}{EF}=\frac{3}{5}$，$cos∠DEC=\frac{EC}{DE}=\frac{4}{5}$，可得∠BEF + ∠DEC=90°，因此∠FED=180°-90°=90°，即EF⊥DE。在Rt△FEH中，由勾股定理得：$FH=\sqrt{EF^2 + EH^2}=\sqrt{(\frac{10}{3})^2 + 4^2}=\sqrt{\frac{100}{9}+16}=\sqrt{\frac{244}{9}}=\frac{2\sqrt{61}}{3}$最终