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7. 如图，CD是$△ ABC$的中线，E，F分别是AC，DC的中点.若$EF=3$，则BD的长为（
A.6
B.5
C.4
D.3
A
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
7.A
解析
【分析】
解题时先从已知的中点条件入手，E、F分别是AC、DC的中点，符合三角形中位线的判定，可先利用三角形中位线定理求出AD的长度；再结合CD是△ABC的中线，可知AD与BD长度相等，即可求出BD的长。
【解析】
1. 在$△ ADC$中，
∵E是AC的中点，F是DC的中点，
∴EF是$△ ADC$的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AD$，
已知$EF=3$，代入得$AD=2EF=2×3=6$。
2.
∵CD是$△ ABC$的中线，
∴D是AB的中点，即$BD=AD$，
∴$BD=6$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理；三角形中线的定义
【点评】
本题是几何基础题，核心是识别出三角形的中位线，结合中线的性质进行等量代换即可求解，解题时要注意找准中位线对应的第三边，避免混淆边的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的中点条件入手，E、F分别是AC、DC的中点，符合三角形中位线的判定，可先利用三角形中位线定理求出AD的长度；再结合CD是△ABC的中线，可知AD与BD长度相等，即可求出BD的长。
【解析】
1. 在$△ ADC$中，
∵E是AC的中点，F是DC的中点，
∴EF是$△ ADC$的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AD$，
已知$EF=3$，代入得$AD=2EF=2×3=6$。
2.
∵CD是$△ ABC$的中线，
∴D是AB的中点，即$BD=AD$，
∴$BD=6$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理；三角形中线的定义
【点评】
本题是几何基础题，核心是识别出三角形的中位线，结合中线的性质进行等量代换即可求解，解题时要注意找准中位线对应的第三边，避免混淆边的对应关系。
【难度系数】
0.8
8.如图，将长方形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C'，D'处，D'E与BF交于点G。已知∠BGD'=30°，则∠α的度数是 （
A.30°
B.45°
C.74°
D.75°
D
）A.30°
B.45°
C.74°
D.75°
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先利用长方形对边平行的性质，得到AD与BC平行，再结合对顶角相等将已知的∠BGD'转化为∠EGF；接下来根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可知折痕EF两侧的∠DEF与∠D'EF相等，均为α；最后利用平行线的同旁内角互补，得到∠DEG与∠EGF的和为180°，而∠DEG就是2个α的和，代入数值计算即可求出α的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠DEG + ∠EGF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠EGF与∠BGD'是对顶角，
∴∠EGF = ∠BGD' = 30°，
∴∠DEG = 180° - 30° = 150°。
由折叠的性质可得：∠DEF = ∠D'EF = α，
∴∠DEG = ∠DEF + ∠D'EF = 2α = 150°，
解得α = 75°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，对顶角相等
【点评】
本题是几何折叠类基础题，综合考查了平行线、对顶角和折叠的角度性质，解题核心是抓住折叠前后对应角相等，结合平行线的角度关系建立等式求解，解题时注意准确找到对应角的位置关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用长方形对边平行的性质，得到AD与BC平行，再结合对顶角相等将已知的∠BGD'转化为∠EGF；接下来根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可知折痕EF两侧的∠DEF与∠D'EF相等，均为α；最后利用平行线的同旁内角互补，得到∠DEG与∠EGF的和为180°，而∠DEG就是2个α的和，代入数值计算即可求出α的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠DEG + ∠EGF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠EGF与∠BGD'是对顶角，
∴∠EGF = ∠BGD' = 30°，
∴∠DEG = 180° - 30° = 150°。
由折叠的性质可得：∠DEF = ∠D'EF = α，
∴∠DEG = ∠DEF + ∠D'EF = 2α = 150°，
解得α = 75°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，对顶角相等
【点评】
本题是几何折叠类基础题，综合考查了平行线、对顶角和折叠的角度性质，解题核心是抓住折叠前后对应角相等，结合平行线的角度关系建立等式求解，解题时注意准确找到对应角的位置关系。
【难度系数】
0.7
9.若函数$y=(m^2 - 4)x^2 + (m - 2)x + m + 2$是以$x$为自变量的一次函数，则$m$的值为
-2
。答案
9.-2
解析
【分析】
要确定m的值，首先需要明确一次函数的定义：一次函数的一般形式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0），其自变量x的最高次数为1，不存在x的二次项。因此本题需要满足两个条件：一是二次项的系数为0，保证没有二次项；二是一次项的系数不为0，保证函数是一次函数而非常数函数，结合这两个条件求解m即可。
【解析】
根据一次函数的定义，可得：
1. 二次项系数为0：$m^2 - 4 = 0$
解方程得：$m^2 = 4$，即$m=2$或$m=-2$
2. 一次项系数不为0：$m - 2 ≠ 0$
解得：$m ≠ 2$
结合两个条件排除m=2，因此$m=-2$
【答案】
-2
【知识点】
一次函数的定义、解一元二次方程、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是一次函数定义的基础应用题，解题的关键是牢记一次函数需同时满足“二次项系数为0、一次项系数不为0”两个条件，切勿遗漏一次项系数不为0的限制，避免误将m=2作为答案。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，首先需要明确一次函数的定义：一次函数的一般形式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0），其自变量x的最高次数为1，不存在x的二次项。因此本题需要满足两个条件：一是二次项的系数为0，保证没有二次项；二是一次项的系数不为0，保证函数是一次函数而非常数函数，结合这两个条件求解m即可。
【解析】
根据一次函数的定义，可得：
1. 二次项系数为0：$m^2 - 4 = 0$
解方程得：$m^2 = 4$，即$m=2$或$m=-2$
2. 一次项系数不为0：$m - 2 ≠ 0$
解得：$m ≠ 2$
结合两个条件排除m=2，因此$m=-2$
【答案】
-2
【知识点】
一次函数的定义、解一元二次方程、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是一次函数定义的基础应用题，解题的关键是牢记一次函数需同时满足“二次项系数为0、一次项系数不为0”两个条件，切勿遗漏一次项系数不为0的限制，避免误将m=2作为答案。
【难度系数】
0.7
10.若关于$x$的方程$\frac{2ax + 3}{a - x} = \frac{5}{4}$的解为$x=2$，则$a$的值为
-2
。答案
10.-2
解析
【分析】
根据方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此我们可以将已知的解x=2代入原分式方程，得到一个只含有未知数a的分式方程，再按照分式方程的求解步骤计算出a的值，最后要检验所得的a的值是否使原方程的分母不为0，排除增根的情况。
【解析】
把x=2代入原方程$\frac{2ax + 3}{a - x} = \frac{5}{4}$，可得：
$\frac{2a×2 + 3}{a - 2} = \frac{5}{4}$
整理得：$\frac{4a + 3}{a - 2} = \frac{5}{4}$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），去分母得：
$4(4a + 3) = 5(a - 2)$
展开括号：
$16a + 12 = 5a - 10$
移项合并同类项：
$16a - 5a = -10 - 12$
$11a = -22$
系数化为1得：
$a = -2$
检验：当$a=-2$时，原方程分母$a - 2 = -2 - 2 = -4 ≠ 0$，因此$a=-2$是方程的解。
【答案】
-2
【知识点】
分式方程的解的定义；解分式方程；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程解的基础应用题，解题核心是利用方程解的性质将含参数的方程转化为常规方程求解，求解后注意检验分母不为0，这是分式类题目易失分的点。
【难度系数】
0.8
根据方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此我们可以将已知的解x=2代入原分式方程，得到一个只含有未知数a的分式方程，再按照分式方程的求解步骤计算出a的值，最后要检验所得的a的值是否使原方程的分母不为0，排除增根的情况。
【解析】
把x=2代入原方程$\frac{2ax + 3}{a - x} = \frac{5}{4}$，可得：
$\frac{2a×2 + 3}{a - 2} = \frac{5}{4}$
整理得：$\frac{4a + 3}{a - 2} = \frac{5}{4}$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），去分母得：
$4(4a + 3) = 5(a - 2)$
展开括号：
$16a + 12 = 5a - 10$
移项合并同类项：
$16a - 5a = -10 - 12$
$11a = -22$
系数化为1得：
$a = -2$
检验：当$a=-2$时，原方程分母$a - 2 = -2 - 2 = -4 ≠ 0$，因此$a=-2$是方程的解。
【答案】
-2
【知识点】
分式方程的解的定义；解分式方程；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程解的基础应用题，解题核心是利用方程解的性质将含参数的方程转化为常规方程求解，求解后注意检验分母不为0，这是分式类题目易失分的点。
【难度系数】
0.8
11.如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=105°，则∠BAC的度数是
25°
。答案
11.25°
解析
【分析】
解题时先运用平行四边形的性质得到边和角的等量关系，再结合等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质推导角之间的数量关系，最后通过三角形内角和定理列方程求解。首先根据平行四边形对角相等、对边相等，得到∠ABC的度数以及AD=BC，结合已知条件推出AE=BE、BC=BE；再设∠BAC为未知数，用含未知数的式子表示出△ABC中另外两个内角的度数；最后利用三角形内角和为180°列方程计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=105°，AD=BC。
∵AD=AE=BE，
∴AE=BE，BC=BE。
设∠BAC=x，
∵AE=BE，
∴∠EBA=∠BAC=x，
∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠BEC=∠BAC+∠EBA=2x。
∵BC=BE，
∴∠ACB=∠BEC=2x。
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，
代入得：$x+2x+105°=180°$，
解得$x=25°$。
【答案】
25°
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将平行四边形、等腰三角形的性质结合考查，解题的核心是通过边的相等关系推导角的数量关系，再用方程思想求解，需要熟练掌握特殊几何图形的性质并灵活转化边角关系。
【难度系数】
0.7
解题时先运用平行四边形的性质得到边和角的等量关系，再结合等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质推导角之间的数量关系，最后通过三角形内角和定理列方程求解。首先根据平行四边形对角相等、对边相等，得到∠ABC的度数以及AD=BC，结合已知条件推出AE=BE、BC=BE；再设∠BAC为未知数，用含未知数的式子表示出△ABC中另外两个内角的度数；最后利用三角形内角和为180°列方程计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=105°，AD=BC。
∵AD=AE=BE，
∴AE=BE，BC=BE。
设∠BAC=x，
∵AE=BE，
∴∠EBA=∠BAC=x，
∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠BEC=∠BAC+∠EBA=2x。
∵BC=BE，
∴∠ACB=∠BEC=2x。
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，
代入得：$x+2x+105°=180°$，
解得$x=25°$。
【答案】
25°
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将平行四边形、等腰三角形的性质结合考查，解题的核心是通过边的相等关系推导角的数量关系，再用方程思想求解，需要熟练掌握特殊几何图形的性质并灵活转化边角关系。
【难度系数】
0.7
12.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于D,E两点,若$BC=8$,$AC=4$,则BE的长为
5
.答案
12.5
13. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F.
(1)求证:AE=CF;
(2)若∠AOE=70°,∠EAD=3∠EAO,求∠BCA的度数.
(1)求证:AE=CF;
(2)若∠AOE=70°,∠EAD=3∠EAO,求∠BCA的度数.
答案
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵AE⊥BD,CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°.
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS).
∴AE=CF.
(2)解:∠BCA的度数是40°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵AE⊥BD,CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°.
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS).
∴AE=CF.
(2)解:∠BCA的度数是40°.
解析
【分析】
(1) 要证明AE=CF，可通过证明两条线段所在的△AEO和△CFO全等来推导。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质得到OA=OC，再结合AE⊥BD、CF⊥BD得到一组直角相等，加上对顶角∠AOE=∠COF，即可用AAS判定两三角形全等，从而得到对应边AE=CF。
(2) 要求∠BCA的度数，结合平行四边形对边平行的性质，可知∠BCA与∠CAD是内错角，二者相等，因此只需计算∠CAD的度数即可。先在Rt△AEO中，利用直角三角形两锐角互余求出∠EAO的度数，再根据∠EAD=3∠EAO算出∠EAD，用∠EAD减去∠EAO即可得到∠CAD的度数，进而得到∠BCA的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴ OA=OC。
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴ ∠AEO=∠CFO=90°。
又
∵ ∠AOE=∠COF（对顶角相等），
∴ △AEO≌△CFO（AAS），
∴ AE=CF。
(2) 解：
∵ AE⊥BD，
∴ ∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，∠AOE=70°，
∴ ∠EAO=90°-∠AOE=90°-70°=20°。
∵ ∠EAD=3∠EAO，
∴ ∠EAD=3×20°=60°，
∴ ∠CAD=∠EAD - ∠EAO=60°-20°=40°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠BCA=∠CAD=40°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{40°}$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础题，核心考查平行四边形性质的应用，解题时要注意结合已知条件选择合适的全等判定方法，同时利用平行线的性质进行角度的转化，即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明AE=CF，可通过证明两条线段所在的△AEO和△CFO全等来推导。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质得到OA=OC，再结合AE⊥BD、CF⊥BD得到一组直角相等，加上对顶角∠AOE=∠COF，即可用AAS判定两三角形全等，从而得到对应边AE=CF。
(2) 要求∠BCA的度数，结合平行四边形对边平行的性质，可知∠BCA与∠CAD是内错角，二者相等，因此只需计算∠CAD的度数即可。先在Rt△AEO中，利用直角三角形两锐角互余求出∠EAO的度数，再根据∠EAD=3∠EAO算出∠EAD，用∠EAD减去∠EAO即可得到∠CAD的度数，进而得到∠BCA的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴ OA=OC。
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴ ∠AEO=∠CFO=90°。
又
∵ ∠AOE=∠COF（对顶角相等），
∴ △AEO≌△CFO（AAS），
∴ AE=CF。
(2) 解：
∵ AE⊥BD，
∴ ∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，∠AOE=70°，
∴ ∠EAO=90°-∠AOE=90°-70°=20°。
∵ ∠EAD=3∠EAO，
∴ ∠EAD=3×20°=60°，
∴ ∠CAD=∠EAD - ∠EAO=60°-20°=40°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠BCA=∠CAD=40°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{40°}$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础题，核心考查平行四边形性质的应用，解题时要注意结合已知条件选择合适的全等判定方法，同时利用平行线的性质进行角度的转化，即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
