1. 由和围成的图形叫作扇形.

1. 组成圆心角的两条半径、圆心角所对的弧

【分析】
本题考查扇形的基础定义，解题时先回忆扇形的构成要素：扇形是圆的一部分，构成扇形需要两类核心要素，一是形成圆心角的两条从圆心出发的半径，二是这两条半径所夹圆心角对应的弧，两类要素共同围成封闭的扇形，直接匹配定义内容填写即可。
【解析】
根据扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形，据此填写对应内容即可。
【答案】
组成圆心角的两条半径、圆心角所对的弧
【知识点】
扇形的定义
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考察对基础几何概念的掌握情况，只要熟记教材中的相关定义就能快速答对，学习中要重视基础概念的积累。
【难度系数】
0.9

2. 若圆的半径为$R$,则$n°$的圆心角所对的弧长$l=$.

2. $\dfrac{nπR}{180}$

【分析】
要计算n°圆心角对应的弧长，我们可以从圆周的角度出发思考：整个圆周对应360°的圆心角，对应长度是圆的周长，因此先求出1°圆心角对应的弧长，再乘以n就能得到n°圆心角对应的弧长，核心是利用弧长占整个圆周长的比例等于对应圆心角占360°的比例来推导。
【解析】
已知半径为R的圆，360°圆心角对应的弧长就是圆的周长，即：
$C=2π R$
则1°圆心角所对的弧长为：
$\frac{2π R}{360}=\frac{π R}{180}$
因此n°圆心角所对的弧长为1°对应弧长的n倍，即：
$l=n×\frac{π R}{180}=\frac{nπ R}{180}$
【答案】
$\dfrac{nπR}{180}$
【知识点】
弧长公式，圆的周长计算
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查弧长公式的推导和记忆，明确弧长和圆心角、圆周长的比例关系就能快速解答，是后续扇形相关计算的基础。
【难度系数】
0.9

3. 若圆的半径为$R$,则$n°$的圆心角所对的扇形面积$S=$.

3. $\dfrac{nπR^2}{360}$

【分析】
解题时首先回忆圆的面积和周角的相关知识：圆心角为360°的扇形就是完整的圆，面积为$π R^2$。要求$n°$圆心角对应的扇形面积，只需要先求出$n°$占周角360°的比例，再用整个圆的面积乘这个占比，即可得到扇形的面积。
【解析】
1. 半径为$R$的圆的面积为$S_{\mathrm{圆}}=π R^2$，整个圆对应的圆心角为$360°$；
2. 可得$1°$的圆心角对应的扇形面积为$\frac{π R^2}{360}$；
3. 因此$n°$的圆心角对应的扇形面积为$n$个$1°$扇形面积之和，即$S=\frac{nπ R^2}{360}$。
【答案】
$\dfrac{nπR^2}{360}$
【知识点】
扇形面积公式、圆的面积计算
【点评】
本题是基础概念题，考查扇形面积公式的推导与记忆，理解扇形面积和同半径圆面积的比例关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9

4. 若$l$表示扇形的弧长，$R$为扇形的半径，则扇形的面积$S=$.

4. $\dfrac{1}{2}lR$

【分析】
解题时可先回忆已学的两个基础公式：用圆心角$n°$和半径$R$表示的扇形面积公式、弧长公式，两个公式均含有共同的未知量$n$和$R$，通过代数变形消去圆心角$n$，即可推导出用弧长$l$和半径$R$表示的扇形面积公式。
【解析】
已知圆心角为$n°$的扇形面积公式为：
$S=\frac{nπ R^2}{360}$ ①
弧长的计算公式为：
$l=\frac{nπ R}{180}$ ②
对②式变形可得：$nπ R=180l$，将该式代入①式：
$\begin{aligned}S&=\frac{nπ R · R}{360}\\&=\frac{180l · R}{360}\\&=\frac{1}{2}lR\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}lR$
【知识点】
弧长公式；扇形面积公式
【点评】
本题为基础公式推导题，考查扇形面积与弧长公式的关联应用，推导得到的公式是扇形面积计算的常用结论，已知弧长和半径时可直接使用简化计算。
【难度系数】
0.9

1. 在$△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ C=90°$，在$△ ABC$的外接圆中，若$\overset{\frown}{AB}$的长为12 cm，则$\overset{\frown}{AC}$的长是（）

A.10 cm
B.9 cm
C.8 cm
D.6 cm

1. C

【分析】
解题时先利用直角三角形的外接圆性质确定外接圆的直径：直角三角形外接圆的直径等于斜边，因此AB为外接圆直径，弧AB是对应圆心角为180°的半圆弧。再通过三角形内角和求出∠B的度数，结合圆周角定理得到弧AC对应的圆心角度数，最后根据同圆内弧长与圆心角成正比的关系，代入已知弧长计算即可得到弧AC的长度。
【解析】
1. 确定外接圆直径：在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形外接圆性质，斜边AB为$△ ABC$外接圆的直径，因此$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角为$180°$。
2. 计算$∠ B$的度数：由三角形内角和为$180°$，得$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-30°-90°=60°$。
3. 求$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角为$∠ B=60°$，因此$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角为$2×60°=120°$。
4. 计算$\overset{\frown}{AC}$的长度：同圆中弧长之比等于对应圆心角之比，设$\overset{\frown}{AC}$长为$l$，则
$\frac{l}{\overset{\frown}{AB}\mathrm{的长}}=\frac{120°}{180°}$
代入$\overset{\frown}{AB}$长12 cm，得$l=12×\frac{120}{180}=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于圆相关的基础应用题，解题核心是快速定位直角三角形外接圆直径，结合圆周角定理建立弧长和圆心角的对应关系，解题时也可先求圆半径再代入弧长公式计算，两种方法都能快速得到结果。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在矩形ABCD中,已知AB=8,BC=6,矩形在直线l上绕其右下角的顶点B顺时针旋转$90°$至图①位置,再继续绕右下角的顶点顺时针旋转$90°$至图②位置,依此类推,这样连续旋转99次后顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ()

A.$288π$
B.$294π$
C.$300π$
D.$396π$

2. C

【分析】
解题时首先要明确每次旋转时顶点A的运动轨迹是圆心角为90°的圆弧，核心思路是先确定每次旋转对应的旋转半径，再寻找旋转的周期规律，最后结合总旋转次数计算总路程：第一步先根据矩形边长算出对角线长度；第二步分别计算前4次旋转中A经过的弧长，发现每4次旋转为一个周期，一个周期内A经过的路程和固定；第三步计算99次旋转包含的完整周期数和剩余旋转次数，求和即可得到总路程。
【解析】
首先计算矩形对角线长：$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
分析前4次旋转中顶点A的运动情况：
1. 第1次旋转：绕点B顺时针旋转90°，A的运动半径为$AB=8$，弧长$l_1=\frac{90π×8}{180}=4π$；
2. 第2次旋转：绕图①右下角顶点旋转90°，A的运动半径为矩形对角线长10，弧长$l_2=\frac{90π×10}{180}=5π$；
3. 第3次旋转：绕图②右下角顶点旋转90°，A的运动半径为$BC=6$，弧长$l_3=\frac{90π×6}{180}=3π$；
4. 第4次旋转：旋转中心为点A本身，A经过的路程为0。
可得每4次旋转为一个周期，一个周期内A经过的路程和为$4π+5π+3π=12π$。
总旋转次数为99次：$99÷4=24······3$，即包含24个完整周期，剩余3次旋转。
总路程$S=24×12π + 4π+5π+3π=288π+12π=300π$。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，周期规律，矩形的性质
【点评】
本题结合图形旋转考查弧长公式的应用与规律探索，解题关键是准确判断每次旋转时A点对应的旋转半径，找到旋转的周期规律，可有效避免重复计算。
【难度系数】
0.6

3. 如图,有一长为4 cm,宽为3 cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向),木板上的顶点 A 的位置变化为 A→A₁→A₂,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,使木板边沿 A₂C 与桌面成 30°角,则点 A 翻滚到点 A₂ 位置时,经过的路径长为 ()

A.$10π$ cm
B.$3.5π$ cm
C.$4.5π$ cm
D.$2.5π$ cm

3. B

【分析】
要计算点A翻滚到A₂经过的路径长，首先明确点A的运动轨迹是两段不同的圆弧，需分别计算两段弧长再求和：
1. 第一次翻滚：长方形绕点B顺时针旋转90°，此时点A的运动轨迹是以B为圆心、AB长（长方形对角线）为半径的90°圆弧，先利用勾股定理求出对角线长，再用弧长公式计算第一段弧长；
2. 第二次翻滚：长方形绕点C顺时针旋转，由于A₂C与桌面成30°角，可知旋转角为90°-30°=60°，此时点A的运动轨迹是以C为圆心、长方形的宽为半径的60°圆弧，再用弧长公式计算第二段弧长；
最后将两段弧长相加即可得到总路径长。
【解析】
已知长方形长为4cm，宽为3cm，由勾股定理可得长方形的对角线长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$cm。
1. 第一次翻滚：绕点B顺时针旋转90°，点A运动的弧长为：
$l_1=\frac{n_1π r_1}{180}=\frac{90π×5}{180}=2.5π$ cm
2. 第二次翻滚：绕点C顺时针旋转，因为A₂C与桌面成30°角，所以旋转角$n_2=90°-30°=60°$，旋转半径为长方形的宽3cm，点A运动的弧长为：
$l_2=\frac{n_2π r_2}{180}=\frac{60π×3}{180}=π$ cm
总路径长$l=l_1+l_2=2.5π+π=3.5π$ cm。
【答案】
B
【知识点】
弧长的计算，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题解题的关键是准确判断两次旋转的旋转中心、旋转半径和旋转角度，很多同学容易因找错旋转半径或旋转角导致计算错误，解题时可以结合图形模拟翻滚过程，更容易理清各量的关系。
【难度系数】
0.6

4. 如图，在$5×5$的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将$△ AOB$绕点$O$顺时针旋转$90°$得到$△ A'OB'$，则点$A$运动的路径$\overset{\frown}{AA'}$的长为 （）


A.$π$
B.$2π$
C.$4π$
D.$8π$

4. B

【分析】
要求点A运动的路径$\overset{\frown}{AA'}$的长，首先明确该弧是以点O为圆心、OA长为半径，圆心角为旋转角$90°$的扇形的弧。解题思路为：第一步根据旋转的性质确定旋转半径OA的长度，第二步确定弧对应的圆心角度数，第三步代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
由旋转的性质可知，旋转前后对应线段长度相等，即$OA=OA'$。观察网格可得$OA=4$，且旋转角为$90°$，即$\overset{\frown}{AA'}$对应的圆心角$n=90°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），将$n=90$，$r=4$代入得：
$l_{\overset{\frown}{AA'}}=\frac{90×π×4}{180}=2π$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算，旋转的性质
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是结合旋转性质确定弧的半径和对应的圆心角，再熟练运用弧长公式计算即可，考查学生对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.8