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5. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，$∠ BCD=30°$，$CD=4\sqrt{3}$，则$S_{\mathrm{阴影}}$等于（
A.$2π$
B.$\dfrac{8}{3}π$
C.$\dfrac{4}{3}π$
D.$\dfrac{3}{8}π$
（第5题）
B
）A.$2π$
B.$\dfrac{8}{3}π$
C.$\dfrac{4}{3}π$
D.$\dfrac{3}{8}π$
（第5题）答案
5. B
解析
【分析】
本题是不规则阴影面积求解问题，可通过割补法转化为规则图形面积计算。首先结合已知的垂直关系，用垂径定理得到CD一半的长度；再利用圆周角定理求出对应圆心角的度数；接着在直角三角形中计算出圆的半径；最后通过等积变形发现阴影部分面积等于扇形OBD的面积，代入扇形面积公式即可求出结果。
【解析】
设AB与CD的交点为E。
1. 根据垂径定理：
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，$CD=4\sqrt{3}$，
∴$CE=ED=\frac{1}{2}CD=2\sqrt{3}$，且弧$BC=$弧$BD$。
2. 根据圆周角定理：
∵$∠ BCD=30°$，同弧$BD$所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ BOD=2∠ BCD=60°$，
∴$Rt△ OED$中，$∠ ODE=30°$。
3. 求半径：设$OE=x$，则$OD=2x$（30°角所对直角边是斜边的一半），由勾股定理得：
$x^2+(2\sqrt{3})^2=(2x)^2$
解得$x=2$，
∴$OD=OB=4$，$EB=OB-OE=4-2=2=OE$。
4. 等积变形：
∵$OE=EB$，$CD⊥ AB$，$△ OED$与$△ BED$等底同高，$△ OEC$与$△ BEC$等底同高，
∴$S_{△ BCD}=S_{△ OCD}$，因此阴影部分面积等于扇形$OBD$的面积。
5. 计算扇形面积：
$S_{扇形OBD}=\frac{60°}{360°}×π× OD^2=\frac{1}{6}×π×4^2=\frac{8}{3}π$
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题重点考查圆的性质与不规则图形面积的求解，解题的核心是利用等积转化思想，将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，降低计算难度。
【难度系数】
0.65
本题是不规则阴影面积求解问题，可通过割补法转化为规则图形面积计算。首先结合已知的垂直关系，用垂径定理得到CD一半的长度；再利用圆周角定理求出对应圆心角的度数；接着在直角三角形中计算出圆的半径；最后通过等积变形发现阴影部分面积等于扇形OBD的面积，代入扇形面积公式即可求出结果。
【解析】
设AB与CD的交点为E。
1. 根据垂径定理：
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，$CD=4\sqrt{3}$，
∴$CE=ED=\frac{1}{2}CD=2\sqrt{3}$，且弧$BC=$弧$BD$。
2. 根据圆周角定理：
∵$∠ BCD=30°$，同弧$BD$所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ BOD=2∠ BCD=60°$，
∴$Rt△ OED$中，$∠ ODE=30°$。
3. 求半径：设$OE=x$，则$OD=2x$（30°角所对直角边是斜边的一半），由勾股定理得：
$x^2+(2\sqrt{3})^2=(2x)^2$
解得$x=2$，
∴$OD=OB=4$，$EB=OB-OE=4-2=2=OE$。
4. 等积变形：
∵$OE=EB$，$CD⊥ AB$，$△ OED$与$△ BED$等底同高，$△ OEC$与$△ BEC$等底同高，
∴$S_{△ BCD}=S_{△ OCD}$，因此阴影部分面积等于扇形$OBD$的面积。
5. 计算扇形面积：
$S_{扇形OBD}=\frac{60°}{360°}×π× OD^2=\frac{1}{6}×π×4^2=\frac{8}{3}π$
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题重点考查圆的性质与不规则图形面积的求解，解题的核心是利用等积转化思想，将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，降低计算难度。
【难度系数】
0.65
6. 如图，四边形ABCD是菱形，若$∠ A=60°$，$AB=2$，扇形EBF的半径为2，圆心角为$60°$，则图中阴影部分的面积是（
A.$\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$
B.$\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$π-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$π-\sqrt{3}$
A
）A.$\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$
B.$\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$π-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$π-\sqrt{3}$
答案
6. A
解析
【分析】
要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法转化为规则图形面积的差求解。首先观察图形特征：①扇形EBF的半径和圆心角已知，可直接计算其面积；②四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，可推出△ABD是边长为2的等边三角形；③结合∠ABD=∠EBF=60°，可证得△ABE≌△DBF，因此扇形与菱形重叠的四边形面积等于等边△ABD的面积，最终阴影面积=扇形EBF的面积 - △ABD的面积。
【解析】
第一步：计算扇形EBF的面积
扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπr^2}{360}$，其中圆心角$n=60°$，半径$r=2$，代入得：
$S_{扇形EBF}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$
第二步：计算等边△ABD的面积
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=2，
又
∵∠A=60°，
∴△ABD是边长为2的等边三角形，
等边三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（a为边长），代入得：
$S_{△ABD}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$
第三步：推导阴影部分面积
∵∠ABD=∠EBF=60°，
∴∠ABD - ∠EBD = ∠EBF - ∠EBD，即∠ABE=∠DBF，
又
∵AB=BD，∠A=∠BDF=60°，
∴△ABE≌△DBF（ASA），
因此重叠部分四边形的面积等于$S_{△ABD}=\sqrt{3}$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形EBF} - S_{△ABD}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算；菱形的性质；等边三角形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是通过全等三角形的性质将不规则的重叠部分面积转化为规则的等边三角形面积，结合割补法即可快速求出结果，需要熟练掌握扇形、菱形和等边三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法转化为规则图形面积的差求解。首先观察图形特征：①扇形EBF的半径和圆心角已知，可直接计算其面积；②四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，可推出△ABD是边长为2的等边三角形；③结合∠ABD=∠EBF=60°，可证得△ABE≌△DBF，因此扇形与菱形重叠的四边形面积等于等边△ABD的面积，最终阴影面积=扇形EBF的面积 - △ABD的面积。
【解析】
第一步：计算扇形EBF的面积
扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπr^2}{360}$，其中圆心角$n=60°$，半径$r=2$，代入得：
$S_{扇形EBF}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$
第二步：计算等边△ABD的面积
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=2，
又
∵∠A=60°，
∴△ABD是边长为2的等边三角形，
等边三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（a为边长），代入得：
$S_{△ABD}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$
第三步：推导阴影部分面积
∵∠ABD=∠EBF=60°，
∴∠ABD - ∠EBD = ∠EBF - ∠EBD，即∠ABE=∠DBF，
又
∵AB=BD，∠A=∠BDF=60°，
∴△ABE≌△DBF（ASA），
因此重叠部分四边形的面积等于$S_{△ABD}=\sqrt{3}$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形EBF} - S_{△ABD}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算；菱形的性质；等边三角形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是通过全等三角形的性质将不规则的重叠部分面积转化为规则的等边三角形面积，结合割补法即可快速求出结果，需要熟练掌握扇形、菱形和等边三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在$△ AOC$中,$OA=3\ \mathrm{cm}$,$OC=1\ \mathrm{cm}$,将$△ AOC$绕点$O$顺时针旋转$90°$后得到$△ BOD$,则边$AC$在旋转过程中所扫过的图形的面积为 （
A.$\dfrac{π}{2}\ \mathrm{cm}^2$
B.$2π\ \mathrm{cm}^2$
C.$\dfrac{17π}{8}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\dfrac{19π}{8}\ \mathrm{cm}^2$
B
）A.$\dfrac{π}{2}\ \mathrm{cm}^2$
B.$2π\ \mathrm{cm}^2$
C.$\dfrac{17π}{8}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\dfrac{19π}{8}\ \mathrm{cm}^2$
答案
7. B
解析
【分析】
要计算边AC在旋转过程中扫过的图形面积，首先结合旋转的性质分析：旋转前后图形全等，对应边相等，旋转角相等。观察扫过的区域可发现，扫过的面积可转化为以OA为半径、旋转角90°的扇形面积，减去以OC为半径、旋转角90°的扇形面积，两个全等三角形的面积会相互抵消，无需额外计算三角形面积。
【解析】
解：
∵△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，
∴△AOC≌△BOD，OA=OB=3cm，OC=OD=1cm，∠AOB=∠COD=90°，
∴$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$。
边AC扫过的图形面积 = $S_{扇形OAB}+S_{△ BOD}-S_{△ AOC}-S_{扇形OCD}$
= $S_{扇形OAB}-S_{扇形OCD}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径）：
$S_{扇形OAB}=\frac{90π×3^2}{360}=\frac{9π}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$S_{扇形OCD}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
∴扫过的面积 = $\frac{9π}{4}-\frac{π}{4}=2π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算
【点评】
本题的核心是将不规则的扫过面积转化为规则扇形的面积差，利用旋转全等的性质抵消重复的三角形面积，简化计算，解题时要准确识别旋转对应的半径和圆心角。
【难度系数】
0.65
要计算边AC在旋转过程中扫过的图形面积，首先结合旋转的性质分析：旋转前后图形全等，对应边相等，旋转角相等。观察扫过的区域可发现，扫过的面积可转化为以OA为半径、旋转角90°的扇形面积，减去以OC为半径、旋转角90°的扇形面积，两个全等三角形的面积会相互抵消，无需额外计算三角形面积。
【解析】
解：
∵△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，
∴△AOC≌△BOD，OA=OB=3cm，OC=OD=1cm，∠AOB=∠COD=90°，
∴$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$。
边AC扫过的图形面积 = $S_{扇形OAB}+S_{△ BOD}-S_{△ AOC}-S_{扇形OCD}$
= $S_{扇形OAB}-S_{扇形OCD}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径）：
$S_{扇形OAB}=\frac{90π×3^2}{360}=\frac{9π}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$S_{扇形OCD}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
∴扫过的面积 = $\frac{9π}{4}-\frac{π}{4}=2π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算
【点评】
本题的核心是将不规则的扫过面积转化为规则扇形的面积差，利用旋转全等的性质抵消重复的三角形面积，简化计算，解题时要准确识别旋转对应的半径和圆心角。
【难度系数】
0.65
1. 如图,在圆心角为$90°$的扇形$OAB$中,若半径$OA=2$,$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点,$D$,$E$分别是$OA$, $OB$的中点,则图中阴影部分的面积为
$\dfrac{π}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}$
.(结果保留$π$)答案
1. $\dfrac{π}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
计算不规则阴影部分面积通常采用割补法，将其转化为规则图形面积的和差求解。首先连接辅助线OC，由C是弧AB中点可得∠AOC=∠COB=45°，我们可以将阴影面积拆分为扇形OBC的面积与△ODC的面积之和，再减去左下角空白△ODE的面积，即可算出结果。
【解析】
连接OC，
∵ 扇形OAB的圆心角∠AOB=90°，半径OA=OB=OC=2，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $∠ COB=∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$，
∵ D、E分别是OA、OB的中点，
∴ $OD=OE=\frac{1}{2}OA=1$，
1. 计算扇形OBC的面积：
$S_{扇形OBC}=\frac{45°}{360°}×π× OC^2=\frac{1}{8}×π×4=\frac{π}{2}$
2. 计算$△ ODC$的面积：
$S_{△ ODC}=\frac{1}{2}× OD× OC×\sin45°=\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
3. 计算空白$△ ODE$的面积：
$\because ∠ AOB=90°$，
$\therefore S_{△ ODE}=\frac{1}{2}× OD× OE=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$
4. 阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OBC}+S_{△ ODC}-S_{△ ODE}=\frac{π}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{π}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，三角形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题核心考查不规则图形面积的求解，解题关键是合理添加辅助线，将未知的阴影面积转化为已知的扇形、三角形面积的和差，需要熟练掌握特殊角度三角形和扇形的面积计算公式。
【难度系数】
0.6
计算不规则阴影部分面积通常采用割补法，将其转化为规则图形面积的和差求解。首先连接辅助线OC，由C是弧AB中点可得∠AOC=∠COB=45°，我们可以将阴影面积拆分为扇形OBC的面积与△ODC的面积之和，再减去左下角空白△ODE的面积，即可算出结果。
【解析】
连接OC，
∵ 扇形OAB的圆心角∠AOB=90°，半径OA=OB=OC=2，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $∠ COB=∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$，
∵ D、E分别是OA、OB的中点，
∴ $OD=OE=\frac{1}{2}OA=1$，
1. 计算扇形OBC的面积：
$S_{扇形OBC}=\frac{45°}{360°}×π× OC^2=\frac{1}{8}×π×4=\frac{π}{2}$
2. 计算$△ ODC$的面积：
$S_{△ ODC}=\frac{1}{2}× OD× OC×\sin45°=\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
3. 计算空白$△ ODE$的面积：
$\because ∠ AOB=90°$，
$\therefore S_{△ ODE}=\frac{1}{2}× OD× OE=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$
4. 阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OBC}+S_{△ ODC}-S_{△ ODE}=\frac{π}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{π}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，三角形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题核心考查不规则图形面积的求解，解题关键是合理添加辅助线，将未知的阴影面积转化为已知的扇形、三角形面积的和差，需要熟练掌握特殊角度三角形和扇形的面积计算公式。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,若$∠ C=90°$,$AC=BC=2$,$D$是$AB$的中点,以点$A$,$B$为圆心,$AD$,$BD$长为半径画弧,分别交$AC$,$BC$于点$E$,$F$,则图中阴影部分的面积为
$2-\dfrac{π}{2}$
.(结果保留$π$)答案
2. $2-\dfrac{π}{2}$
解析
【分析】
阴影部分为不规则图形，采用割补法求解：用等腰直角三角形ABC的面积减去两个空白扇形的面积即可。首先先计算三角形的总面积，再分析两个扇形的特征：△ABC是等腰直角三角形，∠A、∠B均为45°，两个扇形半径相等（均等于AD、BD的长度），两个扇形的圆心角之和为90°，可合并为一个圆心角90°的扇形计算面积，最后作差得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 计算$\mathrm{Rt}△ABC$的面积：
已知$∠C=90°$，$AC=BC=2$，
则$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×2×2=2$。
2. 计算扇形的半径和圆心角总和：
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∵D是AB中点，
∴$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，即两个扇形的半径$r=\sqrt{2}$。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴$∠A=∠B=45°$，两个扇形圆心角之和为$45°+45°=90°$。
3. 计算两个扇形的面积和：
$S_{扇形和}=\frac{90°}{360°}×π×r^2=\frac{1}{4}×π×(\sqrt{2})^2=\frac{π}{2}$。
4. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{扇形和}=2-\frac{π}{2}$。
【答案】
$2-\dfrac{π}{2}$
【知识点】
等腰直角三角形性质、扇形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题是几何面积计算的常考题型，解题核心是灵活运用割补法，将两个零散的扇形合并计算，可有效简化运算过程。
【难度系数】
0.7
阴影部分为不规则图形，采用割补法求解：用等腰直角三角形ABC的面积减去两个空白扇形的面积即可。首先先计算三角形的总面积，再分析两个扇形的特征：△ABC是等腰直角三角形，∠A、∠B均为45°，两个扇形半径相等（均等于AD、BD的长度），两个扇形的圆心角之和为90°，可合并为一个圆心角90°的扇形计算面积，最后作差得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 计算$\mathrm{Rt}△ABC$的面积：
已知$∠C=90°$，$AC=BC=2$，
则$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×2×2=2$。
2. 计算扇形的半径和圆心角总和：
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∵D是AB中点，
∴$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，即两个扇形的半径$r=\sqrt{2}$。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴$∠A=∠B=45°$，两个扇形圆心角之和为$45°+45°=90°$。
3. 计算两个扇形的面积和：
$S_{扇形和}=\frac{90°}{360°}×π×r^2=\frac{1}{4}×π×(\sqrt{2})^2=\frac{π}{2}$。
4. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{扇形和}=2-\frac{π}{2}$。
【答案】
$2-\dfrac{π}{2}$
【知识点】
等腰直角三角形性质、扇形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题是几何面积计算的常考题型，解题核心是灵活运用割补法，将两个零散的扇形合并计算，可有效简化运算过程。
【难度系数】
0.7
3. 如图,等边三角形ABC的边长为2,以点A为圆心,1为半径作圆分别交边AB,AC于点D,E,再以点C为圆心,CD长为半径作圆交边BC于点F,连接EF,图中阴影部分的面积为
$\dfrac{π}{12}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{4}$
.(结果保留π)答案
3. $\dfrac{π}{12}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
本题为不规则图形面积求解问题，采用割补法解题，思路如下：1. 先明确已知条件：等边△ABC边长为2，故各内角为60°，AD=AE=1，可推出D是AB中点，CD为等边三角形的高，且平分∠ACB；2. 阴影面积可转化为等边△ABC的面积减去各空白区域的面积：空白区域分别为扇形ADE、“△BCD减去扇形CDF的部分”、△CEF；3. 分别计算各规则图形的面积，再按和差关系计算即可得到阴影面积。
【解析】
解：
1. 计算等边△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$
2. 计算扇形ADE的面积：
$\because∠ A=60°$，半径$AD=1$
$\therefore S_{\mathrm{扇形}ADE}=\frac{60°}{360°}×π×1^2=\frac{π}{6}$
3. 求CD长度及∠DCB的度数：
$\because AD=1$，$AB=2$，$\therefore D$是$AB$中点
等边三角形三线合一，$\therefore CD⊥ AB$，$CD$平分$∠ ACB$
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$
4. 计算扇形CDF的面积：
$\because$ 扇形以$C$为圆心，$CD$为半径，$\therefore CF=CD=\sqrt{3}$，圆心角$∠ DCF=30°$
$\therefore S_{\mathrm{扇形}CDF}=\frac{30°}{360°}×π×(\sqrt{3})^2=\frac{π}{4}$
5. 计算$△ CEF$的面积：
$CE=AC-AE=2-1=1$，$CF=\sqrt{3}$，$∠ ECF=60°$
过E作BC边上的高，高为$CE·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore S_{△ CEF}=\frac{1}{2}× CF×\mathrm{高}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$
6. 计算阴影面积：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}ADE}-(S_{△ BCD}-S_{\mathrm{扇形}CDF})-S_{△ CEF}$
代入数值化简：
$S_{\mathrm{阴影}}=\sqrt{3}-\frac{π}{6}-(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{4})-\frac{3}{4}=\frac{π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{π}{12}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形的性质，割补法求面积
【点评】
本题核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差，需要熟练掌握等边三角形的性质、扇形面积公式，解题时要理清各图形之间的覆盖关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
本题为不规则图形面积求解问题，采用割补法解题，思路如下：1. 先明确已知条件：等边△ABC边长为2，故各内角为60°，AD=AE=1，可推出D是AB中点，CD为等边三角形的高，且平分∠ACB；2. 阴影面积可转化为等边△ABC的面积减去各空白区域的面积：空白区域分别为扇形ADE、“△BCD减去扇形CDF的部分”、△CEF；3. 分别计算各规则图形的面积，再按和差关系计算即可得到阴影面积。
【解析】
解：
1. 计算等边△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$
2. 计算扇形ADE的面积：
$\because∠ A=60°$，半径$AD=1$
$\therefore S_{\mathrm{扇形}ADE}=\frac{60°}{360°}×π×1^2=\frac{π}{6}$
3. 求CD长度及∠DCB的度数：
$\because AD=1$，$AB=2$，$\therefore D$是$AB$中点
等边三角形三线合一，$\therefore CD⊥ AB$，$CD$平分$∠ ACB$
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$
4. 计算扇形CDF的面积：
$\because$ 扇形以$C$为圆心，$CD$为半径，$\therefore CF=CD=\sqrt{3}$，圆心角$∠ DCF=30°$
$\therefore S_{\mathrm{扇形}CDF}=\frac{30°}{360°}×π×(\sqrt{3})^2=\frac{π}{4}$
5. 计算$△ CEF$的面积：
$CE=AC-AE=2-1=1$，$CF=\sqrt{3}$，$∠ ECF=60°$
过E作BC边上的高，高为$CE·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore S_{△ CEF}=\frac{1}{2}× CF×\mathrm{高}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$
6. 计算阴影面积：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}ADE}-(S_{△ BCD}-S_{\mathrm{扇形}CDF})-S_{△ CEF}$
代入数值化简：
$S_{\mathrm{阴影}}=\sqrt{3}-\frac{π}{6}-(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{4})-\frac{3}{4}=\frac{π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{π}{12}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形的性质，割补法求面积
【点评】
本题核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差，需要熟练掌握等边三角形的性质、扇形面积公式，解题时要理清各图形之间的覆盖关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
