登录
4. 如图,已知在半径AC为2,圆心角为$90°$的扇形内,以BC为直径作半圆交AB于点D,连接CD,则阴影部分的面积是 (
A.$\frac{1}{2}π -1$
B.$\frac{1}{2}π -2$
C.$π -2$
D.$π -1$
D
)A.$\frac{1}{2}π -1$
B.$\frac{1}{2}π -2$
C.$π -2$
D.$π -1$
答案
4. D
解析
【分析】
首先识别图形特征：扇形CAB的圆心角为90°，半径AC=BC=2，因此△ACB是等腰直角三角形；BC为半圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得CD⊥AB，即CD是等腰Rt△ACB斜边上的高，可知△ACD与△BCD面积相等。求解阴影面积可采用割补法，将下方小阴影弓形补到AB右侧的空白弓形位置，即可将不规则的阴影面积转化为扇形CAB面积减去△ACD的面积，简化计算。
【解析】
解：由题意可知，AC=BC=2，∠ACB=90°，
①计算扇形CAB的面积：
$S_{扇形CAB}=\frac{90°}{360°}×π× AC^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π$
②计算△ACB的面积：
$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×2×2=2$
③
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
又
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴CD是斜边AB的中线，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ACB}=\frac{1}{2}×2=1$
④通过割补法可得，阴影部分面积 = $S_{扇形CAB}-S_{△ ACD}=π-1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算；等腰直角三角形性质；割补法求阴影面积
【点评】
本题是典型的不规则阴影面积求解问题，核心是利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质，通过割补法将不规则图形面积转化为熟悉的扇形、三角形面积的差，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
首先识别图形特征：扇形CAB的圆心角为90°，半径AC=BC=2，因此△ACB是等腰直角三角形；BC为半圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得CD⊥AB，即CD是等腰Rt△ACB斜边上的高，可知△ACD与△BCD面积相等。求解阴影面积可采用割补法，将下方小阴影弓形补到AB右侧的空白弓形位置，即可将不规则的阴影面积转化为扇形CAB面积减去△ACD的面积，简化计算。
【解析】
解：由题意可知，AC=BC=2，∠ACB=90°，
①计算扇形CAB的面积：
$S_{扇形CAB}=\frac{90°}{360°}×π× AC^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π$
②计算△ACB的面积：
$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×2×2=2$
③
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
又
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴CD是斜边AB的中线，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ACB}=\frac{1}{2}×2=1$
④通过割补法可得，阴影部分面积 = $S_{扇形CAB}-S_{△ ACD}=π-1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算；等腰直角三角形性质；割补法求阴影面积
【点评】
本题是典型的不规则阴影面积求解问题，核心是利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质，通过割补法将不规则图形面积转化为熟悉的扇形、三角形面积的差，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
5. 如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按如图所示顺序折叠，使$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{AC}$都经过圆心O，则阴影部分的面积是$\odot O$面积的（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{5}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
5. B
解析
【分析】
要解决本题，首先利用折叠的性质求出相关圆心角的度数，再通过割补法将不规则的阴影部分面积转化为规则的扇形面积，最后计算阴影面积与整圆面积的比值。具体思考步骤：1. 过圆心作弦AB的垂线，结合折叠性质可得圆心到弦的距离为半径的一半；2. 在直角三角形中推导得出∠AOB的度数，同理得到∠AOC的度数，进而求出∠BOC的度数；3. 观察图形使用割补法，发现阴影部分面积等于圆心角为∠BOC的扇形面积，最后计算比值即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，连接$OA$、$OB$、$OC$，过点$O$作$OD⊥ AB$于点$D$。
1. 由折叠的性质可知，折叠后点$O$落在弧$AB$上，因此$OD=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}r$（$E$为$OD$延长线与$\odot O$的交点）。
2. 在$Rt△ AOD$中，$OD=\frac{1}{2}OA$，因此$∠ OAD=30°$，可得$∠ AOD=60°$，同理$∠ BOD=60°$，故$∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=120°$。
3. 同理可证$∠ AOC=120°$，因此$∠ BOC=360°-∠ AOB-∠ AOC=120°$。
4. 对阴影部分使用割补法，将下方两个小阴影弓形补到扇形$BOC$内的空白弓形处，可得阴影部分面积等于扇形$BOC$的面积。
5. 扇形$BOC$的面积为$S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{120π r^2}{360}=\frac{1}{3}π r^2$，$\odot O$的面积为$S_{\odot O}=π r^2$，因此阴影部分面积是$\odot O$面积的$\frac{\frac{1}{3}π r^2}{π r^2}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；扇形面积计算；割补法求阴影面积
【点评】
本题综合考查了折叠的性质、扇形面积的计算，核心是运用转化思想，把不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积求解，解题的关键是结合折叠性质求出圆心角$∠ BOC$的度数。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先利用折叠的性质求出相关圆心角的度数，再通过割补法将不规则的阴影部分面积转化为规则的扇形面积，最后计算阴影面积与整圆面积的比值。具体思考步骤：1. 过圆心作弦AB的垂线，结合折叠性质可得圆心到弦的距离为半径的一半；2. 在直角三角形中推导得出∠AOB的度数，同理得到∠AOC的度数，进而求出∠BOC的度数；3. 观察图形使用割补法，发现阴影部分面积等于圆心角为∠BOC的扇形面积，最后计算比值即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，连接$OA$、$OB$、$OC$，过点$O$作$OD⊥ AB$于点$D$。
1. 由折叠的性质可知，折叠后点$O$落在弧$AB$上，因此$OD=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}r$（$E$为$OD$延长线与$\odot O$的交点）。
2. 在$Rt△ AOD$中，$OD=\frac{1}{2}OA$，因此$∠ OAD=30°$，可得$∠ AOD=60°$，同理$∠ BOD=60°$，故$∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=120°$。
3. 同理可证$∠ AOC=120°$，因此$∠ BOC=360°-∠ AOB-∠ AOC=120°$。
4. 对阴影部分使用割补法，将下方两个小阴影弓形补到扇形$BOC$内的空白弓形处，可得阴影部分面积等于扇形$BOC$的面积。
5. 扇形$BOC$的面积为$S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{120π r^2}{360}=\frac{1}{3}π r^2$，$\odot O$的面积为$S_{\odot O}=π r^2$，因此阴影部分面积是$\odot O$面积的$\frac{\frac{1}{3}π r^2}{π r^2}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；扇形面积计算；割补法求阴影面积
【点评】
本题综合考查了折叠的性质、扇形面积的计算，核心是运用转化思想，把不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积求解，解题的关键是结合折叠性质求出圆心角$∠ BOC$的度数。
【难度系数】
0.6
6. 如图,四边形ABCD是矩形,AB=4,AD=2√2,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交CD于点E,交AD的延长线于点F,求图中阴影部分的面积.
答案
6. 连接AE. 可求得$∠ EAB=∠ AED=45°$,$\therefore S_{阴影}=S_{扇形AEF}+S_{梯形ABCE}-S_{扇形ABE}-S_{△ AED}=S_{梯形ABCE}-S_{△ AED}=\frac{1}{2}×(8-2\sqrt{2})×2\sqrt{2}-\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=8\sqrt{2}-8$
解析
【分析】
本题为不规则阴影面积求解问题，直接计算无法完成，需采用割补法转化为规则图形的面积和差求解。首先连接辅助线AE，AE为扇形半径，因此AE=AB=4；结合矩形的性质可知△ADE为直角三角形，可先在Rt△ADE中求出DE长度与∠DAE、∠BAE的度数，可发现圆心角均为45°的扇形ABE和扇形AEF面积相等，计算时可相互抵消，最终阴影部分面积可转化为梯形ABCE的面积减去△AED的面积，代入对应公式计算即可。
【解析】
解：连接AE，
∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，
∴AE=AB=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠BAD=∠C=90°，CD=AB=4，BC=AD=2√2，
在Rt△ADE中，AE=4，AD=2√2，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
$cos∠DAE=\frac{AD}{AE}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°-45°=45°，
即扇形ABE和扇形AEF的圆心角均为45°，半径均为4，故$S_{扇形ABE}=S_{扇形AEF}$，
则$S_{阴影}=S_{扇形AEF}+S_{梯形ABCE}-S_{扇形ABE}-S_{△AED}=S_{梯形ABCE}-S_{△AED}$，
其中$CE=CD-DE=4-2\sqrt{2}$，
$S_{梯形ABCE}=\frac{1}{2}×(AB+CE)×BC=\frac{1}{2}×(4+4-2\sqrt{2})×2\sqrt{2}=8\sqrt{2}-4$，
$S_{△AED}=\frac{1}{2}×AD×DE=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
∴$S_{阴影}=8\sqrt{2}-4-4=8\sqrt{2}-8$。
【答案】
$8\sqrt{2}-8$
【知识点】
扇形面积计算，矩形的性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是通过作辅助线，结合特殊直角三角形的性质得到角度关系，利用等面积的扇形简化计算，将不规则面积转化为熟悉的梯形、三角形的面积差求解，考查了图形转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
本题为不规则阴影面积求解问题，直接计算无法完成，需采用割补法转化为规则图形的面积和差求解。首先连接辅助线AE，AE为扇形半径，因此AE=AB=4；结合矩形的性质可知△ADE为直角三角形，可先在Rt△ADE中求出DE长度与∠DAE、∠BAE的度数，可发现圆心角均为45°的扇形ABE和扇形AEF面积相等，计算时可相互抵消，最终阴影部分面积可转化为梯形ABCE的面积减去△AED的面积，代入对应公式计算即可。
【解析】
解：连接AE，
∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，
∴AE=AB=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠BAD=∠C=90°，CD=AB=4，BC=AD=2√2，
在Rt△ADE中，AE=4，AD=2√2，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
$cos∠DAE=\frac{AD}{AE}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°-45°=45°，
即扇形ABE和扇形AEF的圆心角均为45°，半径均为4，故$S_{扇形ABE}=S_{扇形AEF}$，
则$S_{阴影}=S_{扇形AEF}+S_{梯形ABCE}-S_{扇形ABE}-S_{△AED}=S_{梯形ABCE}-S_{△AED}$，
其中$CE=CD-DE=4-2\sqrt{2}$，
$S_{梯形ABCE}=\frac{1}{2}×(AB+CE)×BC=\frac{1}{2}×(4+4-2\sqrt{2})×2\sqrt{2}=8\sqrt{2}-4$，
$S_{△AED}=\frac{1}{2}×AD×DE=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
∴$S_{阴影}=8\sqrt{2}-4-4=8\sqrt{2}-8$。
【答案】
$8\sqrt{2}-8$
【知识点】
扇形面积计算，矩形的性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是通过作辅助线，结合特殊直角三角形的性质得到角度关系，利用等面积的扇形简化计算，将不规则面积转化为熟悉的梯形、三角形的面积差求解，考查了图形转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
