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7. 如图，A，D是$\odot O$上的两个点，BC是直径.若$∠ D=32°$，则$∠ OAC$的度数为 （
A.$64°$
B.$58°$
C.$72°$
D.$55°$
（第7题）
B
）A.$64°$
B.$58°$
C.$72°$
D.$55°$
（第7题）答案
7. B
解析
【分析】
解题时先观察已知角∠D是圆周角，它所对的弧是弧AC，根据圆周角定理可以求出同弧所对的圆心角∠AOC的度数；再结合OA、OC都是圆的半径，可得△OAC是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，就能求出∠OAC的度数。
【解析】
解：
∵ 圆周角∠D和圆心角∠AOC都对应弧AC，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠AOC = 2∠D = 2×32° = 64°，
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA = OC，即△OAC是等腰三角形，
∴ ∠OAC = ∠OCA，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OAC = $\frac{180° - ∠AOC}{2}$ = $\frac{180° - 64°}{2}$ = 58°。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 等腰三角形性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识的基础综合题，解题关键是准确找到同弧对应的圆周角和圆心角，再结合等腰三角形的性质计算角度，属于常规基础考题。
【难度系数】
0.75
解题时先观察已知角∠D是圆周角，它所对的弧是弧AC，根据圆周角定理可以求出同弧所对的圆心角∠AOC的度数；再结合OA、OC都是圆的半径，可得△OAC是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，就能求出∠OAC的度数。
【解析】
解：
∵ 圆周角∠D和圆心角∠AOC都对应弧AC，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠AOC = 2∠D = 2×32° = 64°，
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA = OC，即△OAC是等腰三角形，
∴ ∠OAC = ∠OCA，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OAC = $\frac{180° - ∠AOC}{2}$ = $\frac{180° - 64°}{2}$ = 58°。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 等腰三角形性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识的基础综合题，解题关键是准确找到同弧对应的圆周角和圆心角，再结合等腰三角形的性质计算角度，属于常规基础考题。
【难度系数】
0.75
8. 如图,四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形,已知$∠ BOD=100°$,则$∠ BCD$的度数为（
A.$50°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$130°$
D
）A.$50°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$130°$
答案
8. D
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：∠BOD是弧BD对应的圆心角，度数为100°，首先依据圆周角定理，可求出同弧BD所对的圆周角∠A的度数；再结合四边形ABCD是圆的内接四边形，利用内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠BCD的度数。
【解析】
1. 求圆周角∠A的度数：
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧BD所对的圆心角∠BOD=100°，因此弧BD所对的圆周角$∠ A = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2} × 100° = 50°$。
2. 求∠BCD的度数：
因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，对角互补，即$∠ A + ∠ BCD = 180°$，因此$∠ BCD = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，易错点是容易忽略圆内接四边形的对角互补，直接将∠A的结果当作∠BCD的度数，解题时要明确所求角与已知圆心角之间的关联，结合性质逐步推导。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：∠BOD是弧BD对应的圆心角，度数为100°，首先依据圆周角定理，可求出同弧BD所对的圆周角∠A的度数；再结合四边形ABCD是圆的内接四边形，利用内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠BCD的度数。
【解析】
1. 求圆周角∠A的度数：
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧BD所对的圆心角∠BOD=100°，因此弧BD所对的圆周角$∠ A = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2} × 100° = 50°$。
2. 求∠BCD的度数：
因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，对角互补，即$∠ A + ∠ BCD = 180°$，因此$∠ BCD = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，易错点是容易忽略圆内接四边形的对角互补，直接将∠A的结果当作∠BCD的度数，解题时要明确所求角与已知圆心角之间的关联，结合性质逐步推导。
【难度系数】
0.7
9. 如图，已知四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且$DC=DE$.
（1）求证：$∠ A=∠ AEB$；
（2）连接$OE$，交$CD$于点$F$，$OE⊥ CD$.求证：$△ ABE$是等边三角形.
（1）求证：$∠ A=∠ AEB$；
（2）连接$OE$，交$CD$于点$F$，$OE⊥ CD$.求证：$△ ABE$是等边三角形.
答案
9. 证明:(1) $\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,$\therefore ∠ A+∠ BCD=180°$.$\because ∠ DCE+∠ BCD=180°$,$\therefore ∠ A=∠ DCE$.$\because DC=DE$,$\therefore ∠ DCE=∠ AEB$,$\therefore ∠ A=∠ AEB$.
(2) $\because ∠ A=∠ AEB$,$\therefore △ ABE$是等腰三角形.$\because EO⊥ CD$,$\therefore CF=DF$.$\therefore EO$是$CD$的垂直平分线,$\therefore ED=EC$.$\because DC=DE$,$\therefore DC=DE=EC$,$\therefore △ DCE$是等边三角形,$\therefore ∠ AEB=60°$,$\therefore △ ABE$是等边三角形.
(2) $\because ∠ A=∠ AEB$,$\therefore △ ABE$是等腰三角形.$\because EO⊥ CD$,$\therefore CF=DF$.$\therefore EO$是$CD$的垂直平分线,$\therefore ED=EC$.$\because DC=DE$,$\therefore DC=DE=EC$,$\therefore △ DCE$是等边三角形,$\therefore ∠ AEB=60°$,$\therefore △ ABE$是等边三角形.
解析
【分析】
（1）要证明$∠ A=∠ AEB$，首先利用圆内接四边形对角互补的性质，得到$∠ A$与$∠ BCD$互补，再结合邻补角的性质推出$∠ A=∠ DCE$，最后根据等腰三角形等边对等角的性质，得到$∠ DCE=∠ AEB$，通过等量代换即可完成证明；
（2）由（1）的结论可先判断$△ ABE$是等腰三角形，要证它是等边三角形，只需证明其中一个内角为$60°$即可。已知$OE⊥ CD$，可得$EO$垂直平分$CD$，再由垂直平分线的性质得$ED=EC$，结合已知$DC=DE$，可推出$△ DCE$是等边三角形，得到$∠ AEB=60°$，即可证明$△ ABE$是等边三角形。
【解析】
证明：
(1) $\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ A+∠ BCD=180°$。
$\because ∠ DCE+∠ BCD=180°$，
$\therefore ∠ A=∠ DCE$。
$\because DC=DE$，
$\therefore ∠ DCE=∠ AEB$，
$\therefore ∠ A=∠ AEB$。
(2) $\because ∠ A=∠ AEB$，
$\therefore △ ABE$是等腰三角形。
$\because EO⊥ CD$，
$\therefore CF=DF$，即$EO$是$CD$的垂直平分线，
$\therefore ED=EC$。
$\because DC=DE$，
$\therefore DC=DE=EC$，
$\therefore △ DCE$是等边三角形，
$\therefore ∠ AEB=60°$，
$\therefore △ ABE$是等边三角形。
【答案】
(1) $∠ A=∠ AEB$，证明成立；
(2) $△ ABE$是等边三角形，证明成立。
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质与判定；等边三角形的判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，重点考查相关性质定理的应用，解题的关键是找准角之间的等量关系，逐步推导即可得到结论，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.75
（1）要证明$∠ A=∠ AEB$，首先利用圆内接四边形对角互补的性质，得到$∠ A$与$∠ BCD$互补，再结合邻补角的性质推出$∠ A=∠ DCE$，最后根据等腰三角形等边对等角的性质，得到$∠ DCE=∠ AEB$，通过等量代换即可完成证明；
（2）由（1）的结论可先判断$△ ABE$是等腰三角形，要证它是等边三角形，只需证明其中一个内角为$60°$即可。已知$OE⊥ CD$，可得$EO$垂直平分$CD$，再由垂直平分线的性质得$ED=EC$，结合已知$DC=DE$，可推出$△ DCE$是等边三角形，得到$∠ AEB=60°$，即可证明$△ ABE$是等边三角形。
【解析】
证明：
(1) $\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ A+∠ BCD=180°$。
$\because ∠ DCE+∠ BCD=180°$，
$\therefore ∠ A=∠ DCE$。
$\because DC=DE$，
$\therefore ∠ DCE=∠ AEB$，
$\therefore ∠ A=∠ AEB$。
(2) $\because ∠ A=∠ AEB$，
$\therefore △ ABE$是等腰三角形。
$\because EO⊥ CD$，
$\therefore CF=DF$，即$EO$是$CD$的垂直平分线，
$\therefore ED=EC$。
$\because DC=DE$，
$\therefore DC=DE=EC$，
$\therefore △ DCE$是等边三角形，
$\therefore ∠ AEB=60°$，
$\therefore △ ABE$是等边三角形。
【答案】
(1) $∠ A=∠ AEB$，证明成立；
(2) $△ ABE$是等边三角形，证明成立。
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质与判定；等边三角形的判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，重点考查相关性质定理的应用，解题的关键是找准角之间的等量关系，逐步推导即可得到结论，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.75
10. 如图，$\odot O$的直径$AB=10$，弦$AC=8$，连接$BC$.
（1）尺规作图:作弦$CD$，使$CD=BC$(点$D$不与点$B$重合)，连接$AD$;(保留作图痕迹，不写作法)
（2）在(1)所作的图中，求四边形$ABCD$的周长.
（1）尺规作图:作弦$CD$，使$CD=BC$(点$D$不与点$B$重合)，连接$AD$;(保留作图痕迹，不写作法)
（2）在(1)所作的图中，求四边形$ABCD$的周长.
答案
10. （1）图略 以点$C$为圆心,$CB$为半径画弧,交$\odot O$于点$D$,线段$CD$即为所求.
（2）连接$BD$,$OC$交于点$E$,设$OE=x$,构建方程求出$x$即可解决问题.$\therefore$四边形$ABCD$的周长$=6+6+10+\frac{14}{5}=\frac{124}{5}$.
（2）连接$BD$,$OC$交于点$E$,设$OE=x$,构建方程求出$x$即可解决问题.$\therefore$四边形$ABCD$的周长$=6+6+10+\frac{14}{5}=\frac{124}{5}$.
解析
【分析】
（1）尺规作图作弦CD=BC，只需以点C为圆心，BC的长度为半径画弧，与⊙O的另一个交点即为点D，连接CD即可完成作图。
（2）求四边形ABCD的周长，首先利用直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理计算出BC的长度，由作图可知CD=BC，因此只需再求出AD的长度即可。根据等弦对等弧，结合垂径定理可得OC垂直平分BD，设OE=x，分别在Rt△OBE和Rt△BCE中用勾股定理表示BE²，列方程求出x的值，再利用三角形中位线定理可得AD=2OE，即可求出AD的长度，最后将四边长度相加得到周长。
【解析】
（1）作图：以点C为圆心，CB长为半径画弧，交⊙O于不与点B重合的点D，连接CD，即为所求（作图痕迹略）。
（2）解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
由作图可知$CD=BC=6$。
连接BD、OC，两线段交于点E，
∵BC=CD，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
根据垂径定理可得：OC⊥BD，且BE=DE，
∵OC、OB均为⊙O的半径，
∴$OC=OB=\frac{1}{2}AB=5$，
设$OE=x$，则$CE=OC-OE=5-x$，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：$BE^2=OB^2-OE^2=25-x^2$，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：$BE^2=BC^2-CE^2=6^2-(5-x)^2=11+10x-x^2$，
联立两式得：$25-x^2=11+10x-x^2$，
化简解得：$x=\frac{7}{5}$，
∵O为AB的中点，E为BD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴$AD=2OE=2×\frac{7}{5}=\frac{14}{5}$，
∴四边形ABCD的周长为：
$AB+BC+CD+AD=10+6+6+\frac{14}{5}=\frac{124}{5}$。
【答案】
（1）作图见解析；
（2）$\frac{124}{5}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与圆的性质计算结合考查，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解未知线段，是圆的基础综合题型。
【难度系数】
0.65
（1）尺规作图作弦CD=BC，只需以点C为圆心，BC的长度为半径画弧，与⊙O的另一个交点即为点D，连接CD即可完成作图。
（2）求四边形ABCD的周长，首先利用直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理计算出BC的长度，由作图可知CD=BC，因此只需再求出AD的长度即可。根据等弦对等弧，结合垂径定理可得OC垂直平分BD，设OE=x，分别在Rt△OBE和Rt△BCE中用勾股定理表示BE²，列方程求出x的值，再利用三角形中位线定理可得AD=2OE，即可求出AD的长度，最后将四边长度相加得到周长。
【解析】
（1）作图：以点C为圆心，CB长为半径画弧，交⊙O于不与点B重合的点D，连接CD，即为所求（作图痕迹略）。
（2）解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
由作图可知$CD=BC=6$。
连接BD、OC，两线段交于点E，
∵BC=CD，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
根据垂径定理可得：OC⊥BD，且BE=DE，
∵OC、OB均为⊙O的半径，
∴$OC=OB=\frac{1}{2}AB=5$，
设$OE=x$，则$CE=OC-OE=5-x$，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：$BE^2=OB^2-OE^2=25-x^2$，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：$BE^2=BC^2-CE^2=6^2-(5-x)^2=11+10x-x^2$，
联立两式得：$25-x^2=11+10x-x^2$，
化简解得：$x=\frac{7}{5}$，
∵O为AB的中点，E为BD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴$AD=2OE=2×\frac{7}{5}=\frac{14}{5}$，
∴四边形ABCD的周长为：
$AB+BC+CD+AD=10+6+6+\frac{14}{5}=\frac{124}{5}$。
【答案】
（1）作图见解析；
（2）$\frac{124}{5}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与圆的性质计算结合考查，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解未知线段，是圆的基础综合题型。
【难度系数】
0.65
