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9. 如图，OA，OB，OC都是$\odot O$的半径，$∠ AOB=2∠ BOC$.求证：$∠ ACB=2∠ BAC$.
答案
9. 证明:取$\overset{\frown}{AB}$的中点D,连接OD,则$∠ AOD=∠ DOB=∠ BOC$,又$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=∠ AOD$,$2∠ BAC=∠ BOC$,$\therefore ∠ ACB=2∠ BAC$.
解析
【分析】
要证明两个圆周角的倍数关系，核心是利用圆周角定理建立圆周角与对应圆心角的联系。已知条件给出了圆心角$∠ AOB=2∠ BOC$，待证的$∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，对应圆心角为$∠ AOB$；$∠ BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，对应圆心角为$∠ BOC$。我们可以通过拆分$∠ AOB$为两个相等的圆心角，和$∠ BOC$建立等量关系，再结合圆周角定理即可推导出两个圆周角的倍数关系。
【解析】
证明：取$\overset{\frown}{AB}$的中点D，连接OD，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB}$，可得$∠ AOD=∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
∵ $∠ AOB=2∠ BOC$，
∴ $∠ AOD=∠ DOB=∠ BOC$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=∠ AOD$，$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$即$2∠ BAC=∠ BOC$，
∴ $∠ ACB=2∠ BAC$。
【答案】
$∠ ACB=2∠ BAC$，得证。
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆的性质的基础应用题，重点考查圆周角定理的应用，解题关键是找准圆周角对应的圆心角，结合已知的圆心角的数量关系完成推导，能有效检验学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明两个圆周角的倍数关系，核心是利用圆周角定理建立圆周角与对应圆心角的联系。已知条件给出了圆心角$∠ AOB=2∠ BOC$，待证的$∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，对应圆心角为$∠ AOB$；$∠ BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，对应圆心角为$∠ BOC$。我们可以通过拆分$∠ AOB$为两个相等的圆心角，和$∠ BOC$建立等量关系，再结合圆周角定理即可推导出两个圆周角的倍数关系。
【解析】
证明：取$\overset{\frown}{AB}$的中点D，连接OD，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB}$，可得$∠ AOD=∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
∵ $∠ AOB=2∠ BOC$，
∴ $∠ AOD=∠ DOB=∠ BOC$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=∠ AOD$，$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$即$2∠ BAC=∠ BOC$，
∴ $∠ ACB=2∠ BAC$。
【答案】
$∠ ACB=2∠ BAC$，得证。
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆的性质的基础应用题，重点考查圆周角定理的应用，解题关键是找准圆周角对应的圆心角，结合已知的圆心角的数量关系完成推导，能有效检验学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE，若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为
$52°$
。答案
1. $52°$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件关联相关性质：首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠D的度数，再根据轴对称的性质得到∠AEC与∠D相等，最后结合三角形外角的性质，通过角度的和差关系即可求出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠D + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补）
将∠ABC=64°代入得：
$∠ D=180{}^{\circ }-64{}^{\circ }=116{}^{\circ }$
∵点D与点E关于AC对称
∴$∠ AEC=∠ D=116{}^{\circ }$（轴对称对应角相等）
又
∵∠AEC是△ABE的外角
∴$∠ AEC=∠ ABC+∠ BAE$（三角形外角等于与其不相邻的两个内角和）
∴$∠ BAE=∠ AEC-∠ ABC=116{}^{\circ }-64{}^{\circ }=52{}^{\circ }$
【答案】
$52°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；轴对称的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，需要熟练掌握几何图形的基础性质，找到不同图形性质对应的角度等量关系，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件关联相关性质：首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠D的度数，再根据轴对称的性质得到∠AEC与∠D相等，最后结合三角形外角的性质，通过角度的和差关系即可求出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠D + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补）
将∠ABC=64°代入得：
$∠ D=180{}^{\circ }-64{}^{\circ }=116{}^{\circ }$
∵点D与点E关于AC对称
∴$∠ AEC=∠ D=116{}^{\circ }$（轴对称对应角相等）
又
∵∠AEC是△ABE的外角
∴$∠ AEC=∠ ABC+∠ BAE$（三角形外角等于与其不相邻的两个内角和）
∴$∠ BAE=∠ AEC-∠ ABC=116{}^{\circ }-64{}^{\circ }=52{}^{\circ }$
【答案】
$52°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；轴对称的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，需要熟练掌握几何图形的基础性质，找到不同图形性质对应的角度等量关系，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
2. 如图,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,已知$∠ ADC=140°$,则$∠ AOC$的度数是 （
A.$80°$
B.$100°$
C.$60°$
D.$40°$
A
）A.$80°$
B.$100°$
C.$60°$
D.$40°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先回忆圆内接四边形的性质和圆周角定理：首先，圆内接四边形的对角互补，已知∠ADC的度数，可先求出它的对角∠ABC的度数；其次，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠AOC是弧AC对应的圆心角，∠ABC是弧AC对应的圆周角，代入∠ABC的度数即可求出∠AOC的大小。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
已知$∠ ADC=140°$，代入得：
$∠ ABC=180° - 140°=40°$。
又
∵ $∠ AOC$是弧AC所对的圆心角，$∠ ABC$是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ AOC=2∠ ABC=2×40°=80°$。
结合题意，本题选择A选项。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查圆相关性质的直接应用，只要熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆圆内接四边形的性质和圆周角定理：首先，圆内接四边形的对角互补，已知∠ADC的度数，可先求出它的对角∠ABC的度数；其次，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠AOC是弧AC对应的圆心角，∠ABC是弧AC对应的圆周角，代入∠ABC的度数即可求出∠AOC的大小。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
已知$∠ ADC=140°$，代入得：
$∠ ABC=180° - 140°=40°$。
又
∵ $∠ AOC$是弧AC所对的圆心角，$∠ ABC$是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ AOC=2∠ ABC=2×40°=80°$。
结合题意，本题选择A选项。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查圆相关性质的直接应用，只要熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AB为$\odot O$的直径，已知$∠ DCB=20°$，则$∠ DBA$的度数是（
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
D
）A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先观察到AB是圆的直径，联想到“直径所对的圆周角为直角”的性质；其次∠DCB和待求的∠DBA可以通过同弧所对的圆周角建立联系：∠DCB与∠DAB都是弧BD所对的圆周角，二者相等，先得到∠DAB的度数；最后在直角三角形中利用两锐角互余即可计算出∠DBA的度数。
【解析】
解：①根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∵∠DCB和∠DAB均为弧BD所对的圆周角，
∴∠DAB=∠DCB=20°。
②
∵AB为⊙O的直径，
∴直径所对的圆周角∠ADB=90°。
③在Rt△ADB中，两个锐角互余，即∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠DBA=90°-∠DAB=90°-20°=70°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用考题，解题的核心是熟练运用同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角这两个性质，再结合直角三角形的角度关系就能快速得出答案，解题时要注意准确找到对应同弧的圆周角，避免找错角。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先观察到AB是圆的直径，联想到“直径所对的圆周角为直角”的性质；其次∠DCB和待求的∠DBA可以通过同弧所对的圆周角建立联系：∠DCB与∠DAB都是弧BD所对的圆周角，二者相等，先得到∠DAB的度数；最后在直角三角形中利用两锐角互余即可计算出∠DBA的度数。
【解析】
解：①根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∵∠DCB和∠DAB均为弧BD所对的圆周角，
∴∠DAB=∠DCB=20°。
②
∵AB为⊙O的直径，
∴直径所对的圆周角∠ADB=90°。
③在Rt△ADB中，两个锐角互余，即∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠DBA=90°-∠DAB=90°-20°=70°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用考题，解题的核心是熟练运用同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角这两个性质，再结合直角三角形的角度关系就能快速得出答案，解题时要注意准确找到对应同弧的圆周角，避免找错角。
【难度系数】
0.8
4. 如图,已知A,B,C是$\odot O$上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,$OF⊥OC$,交$\odot O$于点F,则$∠BAF$的度数为 （
A.$12.5°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$22.5°$
（第4题） （第5题） （第6题）
B
）A.$12.5°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$22.5°$
（第4题） （第5题） （第6题）答案
4. B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，结合平行四边形性质和同圆半径相等的特点，判断四边形ABCO的形状，推导相关圆心角的度数；第二步，根据OF⊥OC的垂直关系，计算出弧BF对应的圆心角度数；第三步，利用圆周角定理求出∠BAF的度数。首先已知OA、OC都是圆的半径，长度相等，结合平行四边形对边相等的性质，可推出ABCO是菱形，进而得到△OBC是等边三角形，得到∠BOC的度数；再结合垂直关系得到∠COF的度数，相减得到弧BF的圆心角；最后根据圆周角是对应圆心角的一半，即可算出结果。
【解析】
解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，OA、OC均为⊙O的半径，即OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴OA=AB=OB=OC=BC，即△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF=90°，
∴∠BOF=∠COF - ∠BOC=90°-60°=30°，
∠BAF是弧BF对应的圆周角，∠BOF是弧BF对应的圆心角，根据圆周角定理：圆周角度数等于其所对圆心角度数的一半，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BOF=$\frac{1}{2}$×30°=15°。
【答案】B
【知识点】
圆周角定理，菱形的判定与性质，平行四边形的性质
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的典型题型，解题的关键是通过半径相等推出平行四边形ABCO是菱形，进而得到核心的圆心角度数，再结合圆周角定理求解，难度适中，能较好考查学生对多个基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，结合平行四边形性质和同圆半径相等的特点，判断四边形ABCO的形状，推导相关圆心角的度数；第二步，根据OF⊥OC的垂直关系，计算出弧BF对应的圆心角度数；第三步，利用圆周角定理求出∠BAF的度数。首先已知OA、OC都是圆的半径，长度相等，结合平行四边形对边相等的性质，可推出ABCO是菱形，进而得到△OBC是等边三角形，得到∠BOC的度数；再结合垂直关系得到∠COF的度数，相减得到弧BF的圆心角；最后根据圆周角是对应圆心角的一半，即可算出结果。
【解析】
解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，OA、OC均为⊙O的半径，即OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴OA=AB=OB=OC=BC，即△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF=90°，
∴∠BOF=∠COF - ∠BOC=90°-60°=30°，
∠BAF是弧BF对应的圆周角，∠BOF是弧BF对应的圆心角，根据圆周角定理：圆周角度数等于其所对圆心角度数的一半，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BOF=$\frac{1}{2}$×30°=15°。
【答案】B
【知识点】
圆周角定理，菱形的判定与性质，平行四边形的性质
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的典型题型，解题的关键是通过半径相等推出平行四边形ABCO是菱形，进而得到核心的圆心角度数，再结合圆周角定理求解，难度适中，能较好考查学生对多个基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$\odot O$的半径为4，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，连接$OB$，$OC$，若$∠ BAC$与$∠ BOC$互补，则弦$BC$的长为（
A.$3\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
B
）A.$3\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
答案
5. B
解析
【分析】
首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得到∠BOC与∠BAC的数量关系；结合二者互补的条件，即可求出∠BOC的度数。由于OB、OC都是圆的半径，△OBC为等腰三角形，过圆心作BC的垂线，利用垂径定理将弦长计算转化为直角三角形的边长求解即可。
【解析】
根据圆周角定理：同弧BC所对的圆周角∠BAC是圆心角∠BOC的一半，即$∠ BOC=2∠ BAC$。
已知$∠ BAC$与$∠ BOC$互补，因此$∠ BAC + ∠ BOC=180°$，代入$∠ BOC=2∠ BAC$得：
$∠ BAC + 2∠ BAC=180°$
解得$∠ BAC=60°$，$∠ BOC=120°$。
$\because OB、OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OC=4$，$△ OBC$为等腰三角形。
过点$O$作$OD⊥ BC$于点$D$，根据垂径定理，$D$为$BC$的中点，即$BC=2BD$。
等腰$△ OBC$中，底角$∠ OBD=\frac{180° - 120°}{2}=30°$。
在$Rt△ OBD$中，$OB=4$，$∠ OBD=30°$，则$OD=\frac{1}{2}OB=2$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{OB^2 - OD^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore BC=2BD=4\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的常规综合题，解题核心是利用圆周角定理建立两个角的关系求出圆心角，再结合垂径定理把弦长计算转化为直角三角形的边长求解，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得到∠BOC与∠BAC的数量关系；结合二者互补的条件，即可求出∠BOC的度数。由于OB、OC都是圆的半径，△OBC为等腰三角形，过圆心作BC的垂线，利用垂径定理将弦长计算转化为直角三角形的边长求解即可。
【解析】
根据圆周角定理：同弧BC所对的圆周角∠BAC是圆心角∠BOC的一半，即$∠ BOC=2∠ BAC$。
已知$∠ BAC$与$∠ BOC$互补，因此$∠ BAC + ∠ BOC=180°$，代入$∠ BOC=2∠ BAC$得：
$∠ BAC + 2∠ BAC=180°$
解得$∠ BAC=60°$，$∠ BOC=120°$。
$\because OB、OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OC=4$，$△ OBC$为等腰三角形。
过点$O$作$OD⊥ BC$于点$D$，根据垂径定理，$D$为$BC$的中点，即$BC=2BD$。
等腰$△ OBC$中，底角$∠ OBD=\frac{180° - 120°}{2}=30°$。
在$Rt△ OBD$中，$OB=4$，$∠ OBD=30°$，则$OD=\frac{1}{2}OB=2$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{OB^2 - OD^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore BC=2BD=4\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的常规综合题，解题核心是利用圆周角定理建立两个角的关系求出圆心角，再结合垂径定理把弦长计算转化为直角三角形的边长求解，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图，C，D是以线段AB为直径的$\odot O$上两点，若$CA=CD$，且$∠ ACD=40°$，则$∠ CAB$的度数为 （
A.$10°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
B
）A.$10°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
6. B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据等腰三角形“等边对等角”及三角形内角和，计算出△ACD的底角∠CDA的度数；2. 依据“同弧所对的圆周角相等”，得到∠CBA与∠CDA相等；3. 结合“直径所对的圆周角为直角”，可知△ACB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CAB的度数。
【解析】
解：在△ACD中，
∵ CA=CD，∠ACD=40°，
∴ $∠ CDA=∠ CAD=\frac{180°-∠ ACD}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∵ ∠CDA和∠CBA都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠CBA=∠CDA=70°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ACB中，∠CAB+∠CBA=90°，
∴ ∠CAB=90°-70°=20°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆周角相关定理，结合等腰三角形、直角三角形的性质进行角度推导，这类题是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先根据等腰三角形“等边对等角”及三角形内角和，计算出△ACD的底角∠CDA的度数；2. 依据“同弧所对的圆周角相等”，得到∠CBA与∠CDA相等；3. 结合“直径所对的圆周角为直角”，可知△ACB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CAB的度数。
【解析】
解：在△ACD中，
∵ CA=CD，∠ACD=40°，
∴ $∠ CDA=∠ CAD=\frac{180°-∠ ACD}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∵ ∠CDA和∠CBA都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠CBA=∠CDA=70°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ACB中，∠CAB+∠CBA=90°，
∴ ∠CAB=90°-70°=20°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆周角相关定理，结合等腰三角形、直角三角形的性质进行角度推导，这类题是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
