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【例1】某生物实验室需要培育一种有益菌.现有60个活体样本,经过两轮培育后,有益菌的总数为24 000个,每轮培育后每个有益菌可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮培育后每个有益菌可分裂出个有益菌.
(2)按照这样的分裂速度,经过三轮培育后有个有益菌.
【点拨】(1)设每轮培育后每个有益菌可分裂出$x$个有益菌.根据题意得$60(1+x)^2=24000$,解得$x_1=19,x_2=-21$(不合题意,舍去).(2)经过三轮培育后,有益菌的个数为$24000×(1+19)=24000×20=480000$.
【解】(1)19 (2)480 000
(1)每轮培育后每个有益菌可分裂出个有益菌.
(2)按照这样的分裂速度,经过三轮培育后有个有益菌.
【点拨】(1)设每轮培育后每个有益菌可分裂出$x$个有益菌.根据题意得$60(1+x)^2=24000$,解得$x_1=19,x_2=-21$(不合题意,舍去).(2)经过三轮培育后,有益菌的个数为$24000×(1+19)=24000×20=480000$.
【解】(1)19 (2)480 000
答案
解：(1)设每轮培育后每个有益菌可分裂出$x$个有益菌。
依题意得：
$60(1+x)^2=24000$
方程两边同除以60，得$(1+x)^2=400$，
解得$x_1=19$，$x_2=-21$。
$\because x＞0$，$\therefore x=-21$不合题意，舍去。
(2)经过三轮培育后，有益菌总数为：
$24000×(1+19)=480000$
答：(1)每轮培育后每个有益菌可分裂出19个有益菌；(2)经过三轮培育后有480000个有益菌。
依题意得：
$60(1+x)^2=24000$
方程两边同除以60，得$(1+x)^2=400$，
解得$x_1=19$，$x_2=-21$。
$\because x＞0$，$\therefore x=-21$不合题意，舍去。
(2)经过三轮培育后，有益菌总数为：
$24000×(1+19)=480000$
答：(1)每轮培育后每个有益菌可分裂出19个有益菌；(2)经过三轮培育后有480000个有益菌。
解析
【分析】
这是一道分裂增长类的一元二次方程应用题，解题思路如下：(1) 解决第一问时，先设每轮每个有益菌分裂出$x$个有益菌，每轮培育后1个有益菌会变为$(1+x)$个，两轮培育后总数量就是初始数量连续两次乘$(1+x)$，据此列出一元二次方程，求解后结合实际意义（分裂个数不能为负数）舍去不符合题意的根即可得到结果；(2) 解决第二问时，三轮培育后的总数量等于两轮培育后的总数量乘$(1+x)$，代入第一问求出的$x$值计算即可。
【解析】
(1) 设每轮培育后每个有益菌可分裂出$x$个有益菌。
依题意得：
$60(1+x)^2=24000$
方程两边同时除以60，得：$(1+x)^2=400$
开平方得：$1+x=\pm20$
解得$x_1=19$，$x_2=-21$
$\because$ 分裂出的有益菌个数为正数，$\therefore x=-21$不合题意，舍去。
(2) 结合(1)的结果，每轮培育后1个有益菌变为$1+19=20$个，因此经过三轮培育后有益菌总数为：
$24000×20=480000$（个）
【答案】
(1) $\boxed{19}$；(2) $\boxed{480000}$
【知识点】
一元二次方程的应用，分裂增长问题，一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的增长类应用题，核心是理清每一轮增长后的数量与初始数量的关系，列方程求解后要注意结合实际问题的取值范围舍去不合理的根，第二问可直接利用前一问的结论简化计算，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
这是一道分裂增长类的一元二次方程应用题，解题思路如下：(1) 解决第一问时，先设每轮每个有益菌分裂出$x$个有益菌，每轮培育后1个有益菌会变为$(1+x)$个，两轮培育后总数量就是初始数量连续两次乘$(1+x)$，据此列出一元二次方程，求解后结合实际意义（分裂个数不能为负数）舍去不符合题意的根即可得到结果；(2) 解决第二问时，三轮培育后的总数量等于两轮培育后的总数量乘$(1+x)$，代入第一问求出的$x$值计算即可。
【解析】
(1) 设每轮培育后每个有益菌可分裂出$x$个有益菌。
依题意得：
$60(1+x)^2=24000$
方程两边同时除以60，得：$(1+x)^2=400$
开平方得：$1+x=\pm20$
解得$x_1=19$，$x_2=-21$
$\because$ 分裂出的有益菌个数为正数，$\therefore x=-21$不合题意，舍去。
(2) 结合(1)的结果，每轮培育后1个有益菌变为$1+19=20$个，因此经过三轮培育后有益菌总数为：
$24000×20=480000$（个）
【答案】
(1) $\boxed{19}$；(2) $\boxed{480000}$
【知识点】
一元二次方程的应用，分裂增长问题，一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的增长类应用题，核心是理清每一轮增长后的数量与初始数量的关系，列方程求解后要注意结合实际问题的取值范围舍去不合理的根，第二问可直接利用前一问的结论简化计算，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
【例2】某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率.
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，最少购进多少件甲种商品？
【点拨】(1)设年平均下降率为$x$，根据变化前的量$×(1-x)^2=$变化后的量，列出方程求解即可.(2)设购进甲种商品为$y$件，根据资金不超过7800元，列出不等式求解即可.
【解】(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$.
根据题意得，$125(1-x)^2=80$，
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$(不符合题意，舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为20％.
(2)设购进$y$件甲种商品，则购进$(100-y)$件乙种商品.
根据题意得，$(125-25×2)y+80(100-y)≤7800$，解得$y≥40$，
$\therefore y$的最小值为40.
答:最少购进40件甲种商品.
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率.
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，最少购进多少件甲种商品？
【点拨】(1)设年平均下降率为$x$，根据变化前的量$×(1-x)^2=$变化后的量，列出方程求解即可.(2)设购进甲种商品为$y$件，根据资金不超过7800元，列出不等式求解即可.
【解】(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$.
根据题意得，$125(1-x)^2=80$，
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$(不符合题意，舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为20％.
(2)设购进$y$件甲种商品，则购进$(100-y)$件乙种商品.
根据题意得，$(125-25×2)y+80(100-y)≤7800$，解得$y≥40$，
$\therefore y$的最小值为40.
答:最少购进40件甲种商品.
答案
解：
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$。
根据题意得：
$125(1-x)^2 = 80$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（不符合题意，舍去）。
(2) 设购进$y$件甲种商品，则购进$(100-y)$件乙种商品。
2024年甲种商品每件进价为$125-25×2=75$元，
根据题意得：
$75y + 80(100-y) ≤ 7800$
解得$y≥40$，
$\therefore y$的最小值为40。
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%，最少购进40件甲种商品。
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$。
根据题意得：
$125(1-x)^2 = 80$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（不符合题意，舍去）。
(2) 设购进$y$件甲种商品，则购进$(100-y)$件乙种商品。
2024年甲种商品每件进价为$125-25×2=75$元，
根据题意得：
$75y + 80(100-y) ≤ 7800$
解得$y≥40$，
$\therefore y$的最小值为40。
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%，最少购进40件甲种商品。
解析
【分析】
（1）第一问属于平均下降率问题，首先明确2022年到2024年的时间跨度为2年，平均变化率的通用公式为：初始量×(1-下降率)^年数=最终量。已知乙商品初始进价为125元，2024年进价为80元，代入公式即可列出一元二次方程求解，注意下降率的取值范围为0＜x＜1，不符合实际的根需要舍去。
（2）第二问是不等式的实际应用，首先计算2024年甲商品的进价：2022年进价125元，每年下降25元，两年后进价为125-25×2=75元。设购进甲商品y件，则乙商品购进数量为(100-y)件，题干中“总资金不超过7800元”即总进价≤7800元，根据“甲商品总进价+乙商品总进价≤7800”列一元一次不等式，解出y的取值范围后，结合商品数量为正整数的要求，取y的最小值即可。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$。
根据题意列方程：
$125(1-x)^2 = 80$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（下降率不能大于1，不符合题意，舍去）。
(2) 设购进$y$件甲种商品，则购进$(100-y)$件乙种商品。
先计算2024年甲种商品每件进价：$125-25×2=75$（元）
根据总资金不超过7800元的要求列不等式：
$75y + 80(100-y) ≤ 7800$
解不等式：
$75y + 8000 - 80y ≤ 7800$
$-5y ≤ -200$
$y ≥ 40$
因为y为商品购进数量，是正整数，所以y的最小值为40。
【答案】
乙种商品每件进价的年平均下降率为20%，最少购进40件甲种商品。
【知识点】
平均变化率计算、一元二次方程应用、一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了平均变化率公式的运用，也考查了提取题干中等量、不等量关系的能力，解题时要注意结合实际情况舍去不符合逻辑的解，准确把握“不超过”等关键词对应的不等号方向。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于平均下降率问题，首先明确2022年到2024年的时间跨度为2年，平均变化率的通用公式为：初始量×(1-下降率)^年数=最终量。已知乙商品初始进价为125元，2024年进价为80元，代入公式即可列出一元二次方程求解，注意下降率的取值范围为0＜x＜1，不符合实际的根需要舍去。
（2）第二问是不等式的实际应用，首先计算2024年甲商品的进价：2022年进价125元，每年下降25元，两年后进价为125-25×2=75元。设购进甲商品y件，则乙商品购进数量为(100-y)件，题干中“总资金不超过7800元”即总进价≤7800元，根据“甲商品总进价+乙商品总进价≤7800”列一元一次不等式，解出y的取值范围后，结合商品数量为正整数的要求，取y的最小值即可。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$。
根据题意列方程：
$125(1-x)^2 = 80$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（下降率不能大于1，不符合题意，舍去）。
(2) 设购进$y$件甲种商品，则购进$(100-y)$件乙种商品。
先计算2024年甲种商品每件进价：$125-25×2=75$（元）
根据总资金不超过7800元的要求列不等式：
$75y + 80(100-y) ≤ 7800$
解不等式：
$75y + 8000 - 80y ≤ 7800$
$-5y ≤ -200$
$y ≥ 40$
因为y为商品购进数量，是正整数，所以y的最小值为40。
【答案】
乙种商品每件进价的年平均下降率为20%，最少购进40件甲种商品。
【知识点】
平均变化率计算、一元二次方程应用、一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了平均变化率公式的运用，也考查了提取题干中等量、不等量关系的能力，解题时要注意结合实际情况舍去不符合逻辑的解，准确把握“不超过”等关键词对应的不等号方向。
【难度系数】
0.7
1. 为提高“村BA”比赛的热度，主办方发起了转发海报得门票的活动.小王将此消息链接转发给$x$个好友，每个好友收到链接之后，又转发给$x$个互不相同的人，经过这两轮转发，这条链接共被转发110次，则可列方程为 （
A.$x + x = 110$
B.$(1 + x)^2 = 110$
C.$x(1 + x)^2 = 110$
D.$x + x^2 = 110$
D
）A.$x + x = 110$
B.$(1 + x)^2 = 110$
C.$x(1 + x)^2 = 110$
D.$x + x^2 = 110$
答案
1.D
解析
【分析】
首先明确两轮转发各自的次数计算方式：第一轮是小王1个人转发给x个好友，转发次数为x次；第二轮是收到链接的x个好友，每个人各自转发给x个互不相同的人，因此第二轮的转发次数为x乘以x即x²次。题目给出两轮总转发次数为110次，将两轮转发次数相加即可列出对应的方程，解题时要注意区分“总转发次数”和“总接收到链接的人数”，避免混淆概念选错选项。
【解析】
1. 计算第一轮转发次数：小王将链接转发给x个好友，因此第一轮共转发了$ x $次。
2. 计算第二轮转发次数：第一轮收到链接的x个好友，每人又转发给x个不同的人，因此第二轮转发次数为$ x × x = x^2 $次。
3. 列方程：两轮总转发次数为110次，因此总转发次数为两轮相加，可得方程$ x + x^2 = 110 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题建模
【点评】
本题属于传播类实际应用题，解题核心是分清楚每一轮的转发主体和对应的转发数量，要注意题目要求的是总转发次数，而非总接收链接的人数，易错点是误将总人数当成总转发次数错选B选项。
【难度系数】
0.8
首先明确两轮转发各自的次数计算方式：第一轮是小王1个人转发给x个好友，转发次数为x次；第二轮是收到链接的x个好友，每个人各自转发给x个互不相同的人，因此第二轮的转发次数为x乘以x即x²次。题目给出两轮总转发次数为110次，将两轮转发次数相加即可列出对应的方程，解题时要注意区分“总转发次数”和“总接收到链接的人数”，避免混淆概念选错选项。
【解析】
1. 计算第一轮转发次数：小王将链接转发给x个好友，因此第一轮共转发了$ x $次。
2. 计算第二轮转发次数：第一轮收到链接的x个好友，每人又转发给x个不同的人，因此第二轮转发次数为$ x × x = x^2 $次。
3. 列方程：两轮总转发次数为110次，因此总转发次数为两轮相加，可得方程$ x + x^2 = 110 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题建模
【点评】
本题属于传播类实际应用题，解题核心是分清楚每一轮的转发主体和对应的转发数量，要注意题目要求的是总转发次数，而非总接收链接的人数，易错点是误将总人数当成总转发次数错选B选项。
【难度系数】
0.8
