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三、实验与计算
14.小明在测量一块矿石的密度时：
(1)将天平放在水平桌面上，将游码移至标尺左端零刻度线处，指针静止时如图甲所示，应将平衡螺母向
(2)用调好的天平测量该矿石的质量时，当在右盘放入最小的砝码后，指针偏在分度盘中央刻度线左侧，下一步应该
A. 向右调节平衡螺母
B. 向右盘中加砝码
C. 向右移动游码
(3)当天平最终平衡时，右盘中砝码和游码的位置如图乙所示，矿石质量为
(4)因矿石不能放进量筒，小明按图丙所示方法进行测量，矿石从烧杯中取出前后，量筒的示数如图丁所示，则矿石的体积为
(5)小明分析实验过程，发现矿石密度的测量值比真实值
(6)小明想到另一种不用量筒也能测量矿石密度的方法，步骤如下：
①在烧杯中装上适量能将矿石浸没的水，在烧杯液面处做标记1，用天平测出此时烧杯和水的总质量为$m_1$；
②将矿石放进烧杯，在烧杯液面处做标记2，用天平测出此时烧杯、水和矿石的总质量为$m_2$；
③取出矿石，加水到标记2，测出此时烧杯和水的总质量$m_3$；
按此种方法测出矿石的密度为
14.小明在测量一块矿石的密度时：
(1)将天平放在水平桌面上，将游码移至标尺左端零刻度线处，指针静止时如图甲所示，应将平衡螺母向
右
（选填“左”或“右”）调节，使横梁水平平衡；(2)用调好的天平测量该矿石的质量时，当在右盘放入最小的砝码后，指针偏在分度盘中央刻度线左侧，下一步应该
C
（填选项前的字母）；A. 向右调节平衡螺母
B. 向右盘中加砝码
C. 向右移动游码
(3)当天平最终平衡时，右盘中砝码和游码的位置如图乙所示，矿石质量为
62
g；(4)因矿石不能放进量筒，小明按图丙所示方法进行测量，矿石从烧杯中取出前后，量筒的示数如图丁所示，则矿石的体积为
30
$\mathrm{cm}^3$，矿石的密度为2.1
$\mathrm{g/cm}^3$（保留一位小数）。(5)小明分析实验过程，发现矿石密度的测量值比真实值
偏小
（选填“偏大”或“偏小”）；(6)小明想到另一种不用量筒也能测量矿石密度的方法，步骤如下：
①在烧杯中装上适量能将矿石浸没的水，在烧杯液面处做标记1，用天平测出此时烧杯和水的总质量为$m_1$；
②将矿石放进烧杯，在烧杯液面处做标记2，用天平测出此时烧杯、水和矿石的总质量为$m_2$；
③取出矿石，加水到标记2，测出此时烧杯和水的总质量$m_3$；
按此种方法测出矿石的密度为
$\frac{m_2 - m_1}{m_3 - m_1}\rho_{水}$
（用$m_1$、$m_2$、$m_3$和$\rho_{\mathrm{水}}$表示）。答案
(1)右 (2)C (3)62 (4)30 2.1 (5)偏小 (6)$\frac{m_2 - m_1}{m_3 - m_1}\rho_{水}$
解析
【分析】
本题是测量矿石密度的实验题，需结合天平的使用规则、密度公式、实验误差分析及等效替代法来解题：
(1) 天平调平时，指针偏左说明左侧偏重，平衡螺母应向右侧调节；
(2) 测量质量时，放入最小砝码后指针偏左，说明右盘质量略小，此时不能调节平衡螺母，应移动游码；
(3) 矿石质量为砝码总质量与游码对应刻度值之和；
(4) 矿石体积等于量筒中减少的水的体积，再根据密度公式计算密度；
(5) 矿石取出时带出水，导致测得的体积偏大，密度偏小；
(6) 利用等效替代法，矿石体积等于补充水的体积，结合质量关系推导密度表达式。
【解析】
(1) 天平调平：指针静止在分度盘左侧，根据“左偏右调”原则，应将平衡螺母向右调节。
(2) 测量质量：放入最小砝码后指针偏左，说明右盘砝码总质量略小于左盘矿石质量，此时不能调节平衡螺母，应向右移动游码，故选C。
(3) 矿石质量：砝码总质量为$50\ \mathrm{g}+10\ \mathrm{g}=60\ \mathrm{g}$，游码对应刻度为$2\ \mathrm{g}$，故矿石质量$m=60\ \mathrm{g}+2\ \mathrm{g}=62\ \mathrm{g}$。
(4) 矿石体积：量筒中原有水的体积为$80\ \mathrm{mL}$，取出矿石后量筒中水的体积为$50\ \mathrm{mL}$，则矿石体积$V=80\ \mathrm{mL}-50\ \mathrm{mL}=30\ \mathrm{mL}=30\ \mathrm{cm}^3$；矿石密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{62\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm}^3}\approx2.1\ \mathrm{g/cm}^3$。
(5) 误差分析：矿石从烧杯取出时会带出部分水，导致量筒中减少的水的体积（测得的矿石体积）大于矿石实际体积，根据$\rho=\frac{m}{V}$，质量$m$准确，体积$V$偏大，因此密度测量值比真实值偏小。
(6) 等效替代法：矿石体积等于补充水的体积，补充水的质量为$m_3 - m_1$，则矿石体积$V=\frac{m_3 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}$；矿石质量为$m_2 - m_1$，故矿石密度$\rho=\frac{m_2 - m_1}{V}=\frac{m_2 - m_1}{m_3 - m_1}\rho_{\mathrm{水}}$。
【答案】
(1)右 (2)C (3)62 (4)30；2.1 (5)偏小 (6)$\frac{m_2 - m_1}{m_3 - m_1}\rho_{水}$
【知识点】
天平的使用；密度的计算；实验误差分析
【点评】
本题综合考查密度测量的实验操作、误差分析及表达式推导，需熟练掌握天平使用规则、密度公式及等效替代法的应用，是力学实验的典型题型。
【难度系数】
0.5
本题是测量矿石密度的实验题，需结合天平的使用规则、密度公式、实验误差分析及等效替代法来解题：
(1) 天平调平时，指针偏左说明左侧偏重，平衡螺母应向右侧调节；
(2) 测量质量时，放入最小砝码后指针偏左，说明右盘质量略小，此时不能调节平衡螺母，应移动游码；
(3) 矿石质量为砝码总质量与游码对应刻度值之和；
(4) 矿石体积等于量筒中减少的水的体积，再根据密度公式计算密度；
(5) 矿石取出时带出水，导致测得的体积偏大，密度偏小；
(6) 利用等效替代法，矿石体积等于补充水的体积，结合质量关系推导密度表达式。
【解析】
(1) 天平调平：指针静止在分度盘左侧，根据“左偏右调”原则，应将平衡螺母向右调节。
(2) 测量质量：放入最小砝码后指针偏左，说明右盘砝码总质量略小于左盘矿石质量，此时不能调节平衡螺母，应向右移动游码，故选C。
(3) 矿石质量：砝码总质量为$50\ \mathrm{g}+10\ \mathrm{g}=60\ \mathrm{g}$，游码对应刻度为$2\ \mathrm{g}$，故矿石质量$m=60\ \mathrm{g}+2\ \mathrm{g}=62\ \mathrm{g}$。
(4) 矿石体积：量筒中原有水的体积为$80\ \mathrm{mL}$，取出矿石后量筒中水的体积为$50\ \mathrm{mL}$，则矿石体积$V=80\ \mathrm{mL}-50\ \mathrm{mL}=30\ \mathrm{mL}=30\ \mathrm{cm}^3$；矿石密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{62\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm}^3}\approx2.1\ \mathrm{g/cm}^3$。
(5) 误差分析：矿石从烧杯取出时会带出部分水，导致量筒中减少的水的体积（测得的矿石体积）大于矿石实际体积，根据$\rho=\frac{m}{V}$，质量$m$准确，体积$V$偏大，因此密度测量值比真实值偏小。
(6) 等效替代法：矿石体积等于补充水的体积，补充水的质量为$m_3 - m_1$，则矿石体积$V=\frac{m_3 - m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}$；矿石质量为$m_2 - m_1$，故矿石密度$\rho=\frac{m_2 - m_1}{V}=\frac{m_2 - m_1}{m_3 - m_1}\rho_{\mathrm{水}}$。
【答案】
(1)右 (2)C (3)62 (4)30；2.1 (5)偏小 (6)$\frac{m_2 - m_1}{m_3 - m_1}\rho_{水}$
【知识点】
天平的使用；密度的计算；实验误差分析
【点评】
本题综合考查密度测量的实验操作、误差分析及表达式推导，需熟练掌握天平使用规则、密度公式及等效替代法的应用，是力学实验的典型题型。
【难度系数】
0.5
15.碳纤维是一种力学性能优异的新材料，利用碳纤维可以制造质量为8.9 kg左右的轻量自行车(如图所示)，这种轻量自行车爬坡顺利且较为轻松，不会像一些用铝合金制造的自行车车架，登坡时感到有一种向后拉的力。小明利用一小块碳纤维材料测量碳纤维的密度，他测得该碳纤维材料的质量为32 g，体积为20 cm³。求：
(1)碳纤维材料的密度。
(2)若图中碳纤维自行车车架的质量只有$1.6×10^{3}\ \mathrm{g}$，求车架的体积。
(3)若用锰钢材料制作图中的自行车车架，车架的质量将增加6 300 g，求锰钢材料的密度。
(1)碳纤维材料的密度。
(2)若图中碳纤维自行车车架的质量只有$1.6×10^{3}\ \mathrm{g}$，求车架的体积。
(3)若用锰钢材料制作图中的自行车车架，车架的质量将增加6 300 g，求锰钢材料的密度。
答案
解:(1)碳纤维材料的密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{32\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=1.6\ \mathrm{g/cm}^3$。
(2)图中碳纤维自行车车架的体积$V'=\frac{m'}{\rho}=\frac{1.6×10^3\ \mathrm{g}}{1.6\ \mathrm{g/cm}^3}=1\ 000\ \mathrm{cm}^3$。
(3)若用锰钢材料制作图中的自行车车架,车架的体积不变,车架的质量将增大6 300 g,
则锰钢车架的质量$m''=m'+\Delta m=1\ 600\ \mathrm{g}+6\ 300\ \mathrm{g}=7\ 900\ \mathrm{g}$,
锰钢材料的密度$\rho'=\frac{m''}{V}=\frac{7\ 900\ \mathrm{g}}{1\ 000\ \mathrm{cm}^3}=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$。
(2)图中碳纤维自行车车架的体积$V'=\frac{m'}{\rho}=\frac{1.6×10^3\ \mathrm{g}}{1.6\ \mathrm{g/cm}^3}=1\ 000\ \mathrm{cm}^3$。
(3)若用锰钢材料制作图中的自行车车架,车架的体积不变,车架的质量将增大6 300 g,
则锰钢车架的质量$m''=m'+\Delta m=1\ 600\ \mathrm{g}+6\ 300\ \mathrm{g}=7\ 900\ \mathrm{g}$,
锰钢材料的密度$\rho'=\frac{m''}{V}=\frac{7\ 900\ \mathrm{g}}{1\ 000\ \mathrm{cm}^3}=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
本题考查密度公式的应用，解题思路为：（1）已知碳纤维材料的质量和体积，直接利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算其密度；（2）已知碳纤维车架的质量和已求出的碳纤维密度，利用变形公式$V=\frac{m}{\rho}$计算车架体积；（3）同一车架体积不变，先求出锰钢车架的质量，再结合车架体积，利用密度公式计算锰钢的密度。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，代入碳纤维材料的质量$m_1=32\ \mathrm{g}$、体积$V_1=20\ \mathrm{cm}^3$，可得碳纤维材料的密度：
$\rho=\frac{m_1}{V_1}=\frac{32\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=1.6\ \mathrm{g/cm}^3$；
(2) 已知碳纤维车架的质量$m_2=1.6×10^3\ \mathrm{g}=1600\ \mathrm{g}$，车架体积与碳纤维材料密度相关，根据$V=\frac{m}{\rho}$，可得车架体积：
$V_2=\frac{m_2}{\rho}=\frac{1600\ \mathrm{g}}{1.6\ \mathrm{g/cm}^3}=1000\ \mathrm{cm}^3$；
(3) 锰钢车架体积与碳纤维车架体积相同，即$V_3=V_2=1000\ \mathrm{cm}^3$，锰钢车架的质量$m_3=m_2+\Delta m=1600\ \mathrm{g}+6300\ \mathrm{g}=7900\ \mathrm{g}$，再根据密度公式，锰钢材料的密度：
$\rho_{\mathrm{锰}}=\frac{m_3}{V_3}=\frac{7900\ \mathrm{g}}{1000\ \mathrm{cm}^3}=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1) 碳纤维材料的密度为$1.6\ \mathrm{g/cm}^3$；(2) 车架的体积为$1000\ \mathrm{cm}^3$；(3) 锰钢材料的密度为$7.9\ \mathrm{g/cm}^3$
【知识点】
密度公式应用、密度计算
【点评】
本题是密度章节的基础计算题，主要考查密度公式及其变形公式的应用，解题时需注意单位统一，以及同一车架体积不变的隐含条件，难度较低，适合巩固密度相关知识。
【难度系数】
0.7
本题考查密度公式的应用，解题思路为：（1）已知碳纤维材料的质量和体积，直接利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算其密度；（2）已知碳纤维车架的质量和已求出的碳纤维密度，利用变形公式$V=\frac{m}{\rho}$计算车架体积；（3）同一车架体积不变，先求出锰钢车架的质量，再结合车架体积，利用密度公式计算锰钢的密度。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，代入碳纤维材料的质量$m_1=32\ \mathrm{g}$、体积$V_1=20\ \mathrm{cm}^3$，可得碳纤维材料的密度：
$\rho=\frac{m_1}{V_1}=\frac{32\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=1.6\ \mathrm{g/cm}^3$；
(2) 已知碳纤维车架的质量$m_2=1.6×10^3\ \mathrm{g}=1600\ \mathrm{g}$，车架体积与碳纤维材料密度相关，根据$V=\frac{m}{\rho}$，可得车架体积：
$V_2=\frac{m_2}{\rho}=\frac{1600\ \mathrm{g}}{1.6\ \mathrm{g/cm}^3}=1000\ \mathrm{cm}^3$；
(3) 锰钢车架体积与碳纤维车架体积相同，即$V_3=V_2=1000\ \mathrm{cm}^3$，锰钢车架的质量$m_3=m_2+\Delta m=1600\ \mathrm{g}+6300\ \mathrm{g}=7900\ \mathrm{g}$，再根据密度公式，锰钢材料的密度：
$\rho_{\mathrm{锰}}=\frac{m_3}{V_3}=\frac{7900\ \mathrm{g}}{1000\ \mathrm{cm}^3}=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1) 碳纤维材料的密度为$1.6\ \mathrm{g/cm}^3$；(2) 车架的体积为$1000\ \mathrm{cm}^3$；(3) 锰钢材料的密度为$7.9\ \mathrm{g/cm}^3$
【知识点】
密度公式应用、密度计算
【点评】
本题是密度章节的基础计算题，主要考查密度公式及其变形公式的应用，解题时需注意单位统一，以及同一车架体积不变的隐含条件，难度较低，适合巩固密度相关知识。
【难度系数】
0.7
