1.已知$△ ABC$,利用直尺和圆规,根据下列要求作图(保留作图痕迹,不要求写作法),并根据要求填空:
(1)作$∠ ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$D$;
(2)作线段$BD$的垂直平分线交$AB$于点$E$,交$BC$于点$F$.
由(1),(2)可得:线段$EF$与线段$BD$的关系为()
A.相等 B.垂直 C.垂直且相等 D.互相垂直平分

1.(1)如图所示
(2)D

【分析】
解题时首先要掌握两个基本尺规作图的方法：①作角平分线：以B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交BA、BC于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过B和该交点作射线交AC于D，即得到角平分线BD；②作线段垂直平分线：分别以B、D为圆心，大于$\frac{1}{2}$BD的长度为半径画弧，两弧交于上下两点，过两点作直线，即得到BD的垂直平分线，交AB于E、BC于F。判断线段关系时，先根据垂直平分线定义得到EF垂直平分BD，再结合角平分线的性质，通过证明三角形全等推导BD也平分EF，即可得出二者的关系。
【解析】
(1)按照角平分线尺规作图步骤作出BD，作图结果如图所示；
(2)按照线段垂直平分线尺规作图步骤作出EF。
推导EF与BD的关系：
①由作图可知EF是BD的垂直平分线，因此$EF⊥ BD$，且EF平分BD；
②设BD与EF交于点O，因为BD平分$∠ ABC$，所以$∠ EBO=∠ FBO$，又$∠ BOE=∠ BOF=90°$，$BO=BO$，可证$△ BOE≌△ BOF(ASA)$，因此$EO=FO$，即BD平分EF。
综上，EF与BD互相垂直平分，故选D。
【答案】
(1)如图所示
(2)D
【知识点】
角平分线作图，垂直平分线作图，全等三角形判定
【点评】
本题是基础几何作图与性质结合的题目，既考查基本尺规作图的操作能力，也考查角平分线、垂直平分线性质和全等三角形判定的应用，掌握基础作图方法和简单几何证明即可求解。
【难度系数】
0.7

2.如图,长方形$ABCD$,$AB=1$,$AD=3$,按要求作图(利用直尺和圆规).
(1)作$∠ BAD$的角平分线,交$BC$于点$Q$;
(2)作$CQ$的垂直平分线,交$CQ$于点$G$,则$GC=\_\_\_\_\_\_$.

2.(1)如图所示
(2)1

【分析】
首先解决第一问作角平分线：按照尺规作角平分线的标准步骤操作即可。第二问求GC的长度，先利用长方形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导得出△ABQ为等腰三角形，求出BQ的长度，再计算出CQ的长度，最后根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线与线段的交点是线段中点，即可求出GC的长度。
【解析】
(1) 角平分线作图步骤：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于两点；②分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离的$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在∠BAD内部交于一点；③过点A和这个交点作射线，交BC于点Q，即为所求的角平分线。
(2) 计算过程：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠BAD=90°，AD//BC，BC=AD=3，
∵AQ平分∠BAD，
∴∠BAQ=∠DAQ=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
∵AD//BC，
∴∠AQB=∠DAQ=45°，
∴∠BAQ=∠AQB，
∴BQ=AB=1，
∴CQ=BC-BQ=3-1=2，
∵G是CQ的垂直平分线与CQ的交点，即G是CQ的中点，
∴GC=$\frac{1}{2}$CQ=1。
【答案】
(1)如图所示
(2)1
【知识点】
角平分线尺规作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质
【点评】
本题结合尺规作图和基础几何性质计算，既考查动手操作能力，也考查对平行线、等腰三角形、垂直平分线等基础定理的理解与应用，解题时需要结合图形特征逐步推导。
【难度系数】
0.7

3.如图,在$△ ABC$中,$AB=5$,$BC=3$,利用直尺和圆规按下列要求作图.
(1)在$AC$上作点$D$,使$BD=BC$;
(2)作$AD$的垂直平分线交$AB$于点$G$,连接$DG$,则$△ BDG$的周长为________.

3.(1)如图5所示 (2)8

【分析】
(1) 要作AC上的点D使得BD=BC，可利用圆的半径处处相等的性质，以B为圆心、BC的长度为半径画弧，弧与AC的交点即为所求点D。
(2) 求△BDG的周长时，先明确周长公式为$C_{△BDG}=BD+DG+BG$。首先由作图得$BD=BC=3$；再根据线段垂直平分线的性质，点G在AD的垂直平分线上，故$GD=GA$，可将DG等量代换为AG，此时$BG+DG=BG+AG=AB=5$，因此△BDG的周长可转化为AB与BC的和，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 作图步骤：将圆规两脚间距调整为BC的长度，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AC边交于点D，点D即为所求。
(2) 计算过程：
∵ 点G在AD的垂直平分线上，
∴ $GD=GA$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
由作图可知$BD=BC=3$，
∴ $C_{△BDG}=BD+DG+BG=BC+GA+BG=BC+AB$。
将$AB=5$，$BC=3$代入得：
$C_{△BDG}=3+5=8$。
【答案】
(1) 如图所示；(2) 8
【知识点】
尺规作图；线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题结合尺规作图和几何性质计算，核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段等量代换，将未知周长转化为已知线段的和，侧重对基础性质的理解和转化思想的应用。
【难度系数】
0.8

4.(教材P59T8改编)如图，A，B，C是新建的三个居民小区，政府拟在与三个居民小区距离相等的地方修建一所学校，要求学校到三个小区的距离相等，请在图中作出学校的位置M.

解:垂直平分线的交点，作图如图6所示。

【分析】
要找到到A、B、C三个小区距离相等的点，可利用线段垂直平分线的性质推导：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。首先，到A、B两点距离相等的点必然在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点必然在线段BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点同时满足到A、B、C三点的距离相等，该交点就是学校的位置。
【解析】
1. 分别连接线段AB、线段BC；
2. 使用尺规作图，分别作出线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点记为M；
根据线段垂直平分线的性质可得：M在AB的垂直平分线上，故MA=MB；M在BC的垂直平分线上，故MB=MC，因此MA=MB=MC，点M即为符合要求的学校位置。
【答案】

【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线
【点评】
本题结合生活实际考查线段垂直平分线的相关知识，需要学生将实际需求转化为几何条件，熟练运用垂直平分线的性质和作图方法解决问题，属于基础的几何应用题型。
【难度系数】
0.8

5.(教材P71T12改编)如图,有两条国道相交于O点,在$∠ AOB$的内部有两村庄C,D,现要修建一加油站P,使点P到OA,OB的距离相等,且使$PC=PD$,用尺规作图,作出加油站P的位置(不写作法).

解:$CD$的垂直平分线与$∠AOB$的平分线的交点，作图如图7所示。

【分析】
要确定加油站P的位置，可结合题目给出的两个要求逐步推导P所在的轨迹：①要求点P到OA、OB的距离相等，根据角平分线的性质可知，这类点都在∠AOB的角平分线上；②要求PC=PD，根据线段垂直平分线的性质可知，这类点都在线段CD的垂直平分线上。同时满足两个条件的点就是两条轨迹的交点，因此只需作出这两条线，交点即为所求的P点。
【解析】
1. 依据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，因此满足“到OA、OB距离相等”的所有点都在∠AOB的角平分线上；
2. 依据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此满足“PC=PD”的所有点都在线段CD的垂直平分线上；
3. 两条线的交点同时满足两个要求，就是加油站P的位置。
【答案】
CD的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点，作图如图所示。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是几何作图的实际应用类题目，解题核心是将题目中“距离相等”的条件转化为对应的几何轨迹（角平分线、线段垂直平分线），通过求两条轨迹的交点确定所求点的位置，考查对几何性质的理解和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7

6.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC≠ BC$，以$△ ABC$的一边为边作等腰三角形，使它的第三个顶点在$△ ABC$的其它边上，则可以作不同的等腰三角形最多有()

A.4个
B.5个
C.6个
D.7个

6.D
分析:①分别以三边为底有3个(三边垂直平分线)；
②分别以A,B,C为顶角有4个(分别以三个顶点为圆心，腰长为半径画弧)。

【分析】
解这道题我们采用分类讨论的思路，分两类构造符合要求的等腰三角形：第一类是把△ABC的某条边作为等腰三角形的底，此时等腰三角形的第三个顶点在这条边的垂直平分线上，作三边的垂直平分线，找与△ABC其余边的交点即可；第二类是把△ABC的某条边作为等腰三角形的腰，分别以这条边的两个端点为圆心、边长为半径画弧，找弧与△ABC其余边的交点。题中明确AC≠BC，因此这些交点不会重合，分别计数两类的个数再求和即可。
【解析】
我们分两类统计符合要求的等腰三角形：
1. 以△ABC的三边为等腰三角形的底：
①作AC的垂直平分线，与AB交于点$P_3$，可构造等腰$△ PAC$；
②作BC的垂直平分线，与AB交于点$P_1$，可构造等腰$△ PBC$；
③作AB的垂直平分线，与BC交于点$P_2$，可构造等腰$△ PAB$；
此类共3个符合要求的等腰三角形。
2. 以△ABC的三边为等腰三角形的腰：
①以C为圆心、AC长为半径画弧，与AB交于点$P_4$，可构造等腰$△ CAP_4$；
②以C为圆心、BC长为半径画弧，与AB交于点$P_5$，可构造等腰$△ CBP_5$；
③以A为圆心、AC长为半径画弧，与AB交于点$P_6$，可构造等腰$△ ACP_6$；
④以B为圆心、BC长为半径画弧，与AB交于点$P_7$，可构造等腰$△ BCP_7$；
此类共4个符合要求的等腰三角形。
因为$AC≠BC$，上述7个交点均不重合，因此最多可作7个不同的等腰三角形。
【答案】
D

【知识点】
等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形构造的典型题型，需按照“已知边为底、已知边为腰”的分类标准逐一计数，避免漏解和重复，能很好地考查学生的几何作图能力和逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6