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【例1】在$△ ABC$内找一点$P$，使$P$到$A$，$C$两点的距离相等，并且$P$到$AC$的距离等于$P$到$BC$的距离，下列尺规作图正确的是（
D
）答案
D
解析
【分析】
要确定满足条件的点P，我们可以把题目要求拆成两个条件分别分析：①P到A、C两点距离相等，根据线段垂直平分线的判定，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此P必须在AC的垂直平分线上；②P到AC的距离等于到BC的距离，根据角平分线的判定，角内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，AC和BC的夹角是∠ACB，因此P必须在∠ACB的角平分线上。综上，P就是AC的垂直平分线和∠ACB的角平分线的交点，据此判断作图正确的选项即可。
【解析】
第一步：根据“到A、C两点的距离相等”的条件，由线段垂直平分线的判定定理可知，点P在AC的垂直平分线上，需要先作出AC的垂直平分线；
第二步：根据“到AC的距离等于P到BC的距离”的条件，由角平分线的判定定理可知，点P在∠ACB的角平分线上，需要再作出∠ACB的角平分线；
第三步：两条线的交点即为所求的点P，观察四个选项，只有选项D的作图同时包含AC的垂直平分线和∠ACB的角平分线，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定；角平分线的判定；尺规作图
【点评】
本题属于尺规作图的基础应用题，解题的核心是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的判定性质，将题干的两个距离要求转化为对应的作图操作，找到两条线的交点即可，解题时要注意区分不同作图的痕迹特征，避免混淆。
【难度系数】
0.7
要确定满足条件的点P，我们可以把题目要求拆成两个条件分别分析：①P到A、C两点距离相等，根据线段垂直平分线的判定，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此P必须在AC的垂直平分线上；②P到AC的距离等于到BC的距离，根据角平分线的判定，角内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，AC和BC的夹角是∠ACB，因此P必须在∠ACB的角平分线上。综上，P就是AC的垂直平分线和∠ACB的角平分线的交点，据此判断作图正确的选项即可。
【解析】
第一步：根据“到A、C两点的距离相等”的条件，由线段垂直平分线的判定定理可知，点P在AC的垂直平分线上，需要先作出AC的垂直平分线；
第二步：根据“到AC的距离等于P到BC的距离”的条件，由角平分线的判定定理可知，点P在∠ACB的角平分线上，需要再作出∠ACB的角平分线；
第三步：两条线的交点即为所求的点P，观察四个选项，只有选项D的作图同时包含AC的垂直平分线和∠ACB的角平分线，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定；角平分线的判定；尺规作图
【点评】
本题属于尺规作图的基础应用题，解题的核心是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的判定性质，将题干的两个距离要求转化为对应的作图操作，找到两条线的交点即可，解题时要注意区分不同作图的痕迹特征，避免混淆。
【难度系数】
0.7
练习1.如图，已知$△ ABC$，$AB＜BC$，用尺规作图的方法在$BC$上取一点$P$，使得$PA+PC=BC$，则下列选项正确的是（
A [图]
B
C [图]
D [图]
B
）A [图]
B
C [图]
D [图]
答案
B
解析
【分析】
要在BC上找一点P使得PA+PC=BC，首先观察BC的组成：BC=BP+PC，将其与目标等式对比，两边同时减去PC，可推得需要满足PA=PB。根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知点P是线段AB的垂直平分线与BC的交点，接下来只需判断哪个选项的作图是作AB的垂直平分线即可。
【解析】
∵ 点P在BC上，
∴ BC = BP + PC
要使PA + PC = BC，代入得 PA + PC = BP + PC，化简可得PA = PB
根据线段垂直平分线的判定，点P在线段AB的垂直平分线上，即所求的P是AB的垂直平分线与BC的交点。
对各选项分析：
A选项作图是以A为圆心、某长度为半径画弧交BC于P，只能得到AP等于所画半径，无法保证PA=PB，不符合要求；
B选项是作线段AB的垂直平分线，交BC于点P，此时PA=PB，满足PA+PC=PB+PC=BC，符合要求；
C选项是以B为圆心、AB长为半径画弧交BC于P，可得BP=AB，无法保证PA=PB，不符合要求；
D选项是作线段BC的垂直平分线，可得PB=PC，无法保证PA=PB，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的判定；尺规作图；等式的性质
【点评】
本题解题的核心是先通过等量代换将所求条件转化为PA=PB，从而将问题转化为找AB的垂直平分线与BC的交点，既考查了线段垂直平分线的相关性质，也考查了对尺规作图步骤的识别。
【难度系数】
0.7
要在BC上找一点P使得PA+PC=BC，首先观察BC的组成：BC=BP+PC，将其与目标等式对比，两边同时减去PC，可推得需要满足PA=PB。根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知点P是线段AB的垂直平分线与BC的交点，接下来只需判断哪个选项的作图是作AB的垂直平分线即可。
【解析】
∵ 点P在BC上，
∴ BC = BP + PC
要使PA + PC = BC，代入得 PA + PC = BP + PC，化简可得PA = PB
根据线段垂直平分线的判定，点P在线段AB的垂直平分线上，即所求的P是AB的垂直平分线与BC的交点。
对各选项分析：
A选项作图是以A为圆心、某长度为半径画弧交BC于P，只能得到AP等于所画半径，无法保证PA=PB，不符合要求；
B选项是作线段AB的垂直平分线，交BC于点P，此时PA=PB，满足PA+PC=PB+PC=BC，符合要求；
C选项是以B为圆心、AB长为半径画弧交BC于P，可得BP=AB，无法保证PA=PB，不符合要求；
D选项是作线段BC的垂直平分线，可得PB=PC，无法保证PA=PB，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的判定；尺规作图；等式的性质
【点评】
本题解题的核心是先通过等量代换将所求条件转化为PA=PB，从而将问题转化为找AB的垂直平分线与BC的交点，既考查了线段垂直平分线的相关性质，也考查了对尺规作图步骤的识别。
【难度系数】
0.7
练习2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（
B
）答案
B
解析
【分析】
首先明确已知条件：Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，可得∠BAC=60°。我们需要逐个判断每个选项的尺规作图所分割出的两个三角形中是否存在等腰三角形，进而找出作法错误的选项。解题思路是先识别每个选项的作图类型，再结合等腰三角形的判定、垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质逐一验证。
【解析】
我们逐个分析各选项：
1. 选项A：作图是以C为圆心、AC长为半径画弧交AB于D，可得AC=CD，因此△ACD是等腰三角形，作法正确，不符合题意。
2. 选项B：作图是作BC的垂直平分线，交BC于D、交AB于E，连接AD。由垂直平分线性质仅得BD=DC，△ACD中，AD≠AC≠CD，△ABD中，AB≠AD≠BD，两个三角形都不是等腰三角形，作法错误，符合题意。
3. 选项C：作图是作AB的垂直平分线，交AB于D、交BC于E，连接AE。由垂直平分线性质得AE=BE，因此△ABE是等腰三角形，作法正确，不符合题意。
4. 选项D：作图是作AB的垂直平分线交AB于E，连接CE。在Rt△ABC中，斜边中线等于斜边的一半，因此CE=AE=BE，△BCE（或△ACE）是等腰三角形，作法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形判定；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题考查尺规作图的识别及等腰三角形的判定，解题关键是准确识别各选项的作图含义，结合相关几何性质判断分割后的三角形是否符合要求。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件：Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，可得∠BAC=60°。我们需要逐个判断每个选项的尺规作图所分割出的两个三角形中是否存在等腰三角形，进而找出作法错误的选项。解题思路是先识别每个选项的作图类型，再结合等腰三角形的判定、垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质逐一验证。
【解析】
我们逐个分析各选项：
1. 选项A：作图是以C为圆心、AC长为半径画弧交AB于D，可得AC=CD，因此△ACD是等腰三角形，作法正确，不符合题意。
2. 选项B：作图是作BC的垂直平分线，交BC于D、交AB于E，连接AD。由垂直平分线性质仅得BD=DC，△ACD中，AD≠AC≠CD，△ABD中，AB≠AD≠BD，两个三角形都不是等腰三角形，作法错误，符合题意。
3. 选项C：作图是作AB的垂直平分线，交AB于D、交BC于E，连接AE。由垂直平分线性质得AE=BE，因此△ABE是等腰三角形，作法正确，不符合题意。
4. 选项D：作图是作AB的垂直平分线交AB于E，连接CE。在Rt△ABC中，斜边中线等于斜边的一半，因此CE=AE=BE，△BCE（或△ACE）是等腰三角形，作法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形判定；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题考查尺规作图的识别及等腰三角形的判定，解题关键是准确识别各选项的作图含义，结合相关几何性质判断分割后的三角形是否符合要求。
【难度系数】
0.7
【例2】尺规作图:过直线外一点作已知直线的垂线.
(1)仿照教材P68例题作图,已知:如图1,直线l及其外一点A.求作:l的垂线,使它经过点A；
(2)除教材P68例题方法外还可按下列方法作图,如图2,3,在方法2、方法3中选择一图简述其理由.
(1)仿照教材P68例题作图,已知:如图1,直线l及其外一点A.求作:l的垂线,使它经过点A；
(2)除教材P68例题方法外还可按下列方法作图,如图2,3,在方法2、方法3中选择一图简述其理由.
答案
(1)作图如图1所示；
(2)方法2:
∵$O_1A=O_1Q,O_2A=O_2Q$,
∴$O_1$在$AQ$的垂直平分线上，
$O_2$在$AQ$的垂直平分线上，
∴$O_1O_2$为$AQ$的垂直平分线，
∴$AQ⊥$直线$l$。方法3同理。
解析
【分析】
(1) 要过直线外一点A作直线l的垂线，可借助线段垂直平分线的判定原理作图：首先以A为圆心，适当长度为半径画弧，在直线l上得到两个交点，此时A到这两个交点的距离相等；再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，得到两弧的另一个交点，该交点到l上两个交点的距离也相等，因此A和这个交点的连线就是l上两个交点连线段的垂直平分线，也即所求的垂线。
(2) 分析方法2的作图痕迹可知，作图时分别以直线l上的$O_1$、$O_2$为圆心，$O_1A$、$O_2A$为半径画弧得到交点A和Q，因此可得$O_1A=O_1Q$、$O_2A=O_2Q$，结合线段垂直平分线的判定，可推出$O_1O_2$是AQ的垂直平分线，进而得到$AQ⊥l$。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点A为圆心，选取大于点A到直线l的距离的长度为半径画弧，交直线l于B、D两点；
② 分别以B、D为圆心，选取大于$\frac{1}{2}BD$的长度为半径画弧，两弧交于点C；
③ 连接AC，直线AC即为所求的过点A且垂直于l的直线。
(2) 选择方法2说明理由：
由作图痕迹可知，$O_1A=O_1Q$，$O_2A=O_2Q$，
根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可得$O_1$在$AQ$的垂直平分线上，$O_2$也在$AQ$的垂直平分线上。
因为两点确定一条直线，因此直线$O_1O_2$就是线段$AQ$的垂直平分线，即$AQ⊥O_1O_2$。
又因为$O_1$、$O_2$都在直线l上，即$O_1O_2$与直线l重合，因此$AQ⊥$直线$l$，即AQ为所求垂线。
（方法3理由同理：$O_1A=O_1Q$，$O_2A=O_2Q$，可得$O_1O_2$是AQ的垂直平分线，故$AQ⊥l$。）
【答案】
(1) 作图如下：
(2) 方法2：
∵$O_1A=O_1Q,O_2A=O_2Q$,
∴$O_1$在$AQ$的垂直平分线上，
$O_2$在$AQ$的垂直平分线上，
∴$O_1O_2$为$AQ$的垂直平分线，
∴$AQ⊥$直线$l$。（方法3同理）
【知识点】
1. 尺规作垂线
2. 线段垂直平分线的判定
3. 两点确定一条直线
【点评】
本题考查过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图方法及几何原理，既要求学生熟练掌握基本作图的操作步骤，又需要学生理解作图背后的逻辑依据，能有效巩固线段垂直平分线相关知识的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要过直线外一点A作直线l的垂线，可借助线段垂直平分线的判定原理作图：首先以A为圆心，适当长度为半径画弧，在直线l上得到两个交点，此时A到这两个交点的距离相等；再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，得到两弧的另一个交点，该交点到l上两个交点的距离也相等，因此A和这个交点的连线就是l上两个交点连线段的垂直平分线，也即所求的垂线。
(2) 分析方法2的作图痕迹可知，作图时分别以直线l上的$O_1$、$O_2$为圆心，$O_1A$、$O_2A$为半径画弧得到交点A和Q，因此可得$O_1A=O_1Q$、$O_2A=O_2Q$，结合线段垂直平分线的判定，可推出$O_1O_2$是AQ的垂直平分线，进而得到$AQ⊥l$。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点A为圆心，选取大于点A到直线l的距离的长度为半径画弧，交直线l于B、D两点；
② 分别以B、D为圆心，选取大于$\frac{1}{2}BD$的长度为半径画弧，两弧交于点C；
③ 连接AC，直线AC即为所求的过点A且垂直于l的直线。
(2) 选择方法2说明理由：
由作图痕迹可知，$O_1A=O_1Q$，$O_2A=O_2Q$，
根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可得$O_1$在$AQ$的垂直平分线上，$O_2$也在$AQ$的垂直平分线上。
因为两点确定一条直线，因此直线$O_1O_2$就是线段$AQ$的垂直平分线，即$AQ⊥O_1O_2$。
又因为$O_1$、$O_2$都在直线l上，即$O_1O_2$与直线l重合，因此$AQ⊥$直线$l$，即AQ为所求垂线。
（方法3理由同理：$O_1A=O_1Q$，$O_2A=O_2Q$，可得$O_1O_2$是AQ的垂直平分线，故$AQ⊥l$。）
【答案】
(1) 作图如下：
(2) 方法2：
∵$O_1A=O_1Q,O_2A=O_2Q$,
∴$O_1$在$AQ$的垂直平分线上，
$O_2$在$AQ$的垂直平分线上，
∴$O_1O_2$为$AQ$的垂直平分线，
∴$AQ⊥$直线$l$。（方法3同理）
【知识点】
1. 尺规作垂线
2. 线段垂直平分线的判定
3. 两点确定一条直线
【点评】
本题考查过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图方法及几何原理，既要求学生熟练掌握基本作图的操作步骤，又需要学生理解作图背后的逻辑依据，能有效巩固线段垂直平分线相关知识的应用。
【难度系数】
0.7
练习.如图4,点A在直线l上,过点A作直线l的垂线.
答案
作图如图2所示
解析
【分析】
本题是尺规作图类题目，要求过直线l上的点A作l的垂线。我们可以利用线段垂直平分线的性质解题：线段的垂直平分线垂直于对应线段，且过线段的中点。因此我们可以先以A为中点，在直线l上截取一段线段，再作出该线段的垂直平分线，这条垂直平分线就满足过A且垂直于l的要求，即为所求垂线。
【解析】
作图步骤如下：
1. 以点A为圆心，取任意适当长度为半径画弧，与直线l交于A的左、右两侧各一个点，分别记为B、C；
2. 分别以点B、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}BC$的长度为半径画弧，两弧在直线l的上方（或下方）交于一点，记为D；
3. 过点A、D作直线，直线AD即为所求的垂线，注意保留所有作图痕迹。
【答案】
作图如图2所示
【知识点】
尺规作图，垂线作法，垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础作图题型，是后续复杂几何作图的基础，需要熟练掌握作图步骤，作图时要注意保留完整的作图痕迹，明确每一步操作的理论依据。
【难度系数】
0.9
本题是尺规作图类题目，要求过直线l上的点A作l的垂线。我们可以利用线段垂直平分线的性质解题：线段的垂直平分线垂直于对应线段，且过线段的中点。因此我们可以先以A为中点，在直线l上截取一段线段，再作出该线段的垂直平分线，这条垂直平分线就满足过A且垂直于l的要求，即为所求垂线。
【解析】
作图步骤如下：
1. 以点A为圆心，取任意适当长度为半径画弧，与直线l交于A的左、右两侧各一个点，分别记为B、C；
2. 分别以点B、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}BC$的长度为半径画弧，两弧在直线l的上方（或下方）交于一点，记为D；
3. 过点A、D作直线，直线AD即为所求的垂线，注意保留所有作图痕迹。
【答案】
作图如图2所示
【知识点】
尺规作图，垂线作法，垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础作图题型，是后续复杂几何作图的基础，需要熟练掌握作图步骤，作图时要注意保留完整的作图痕迹，明确每一步操作的理论依据。
【难度系数】
0.9
