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1. 当温度不变时,某气球内的气压$p(\mathrm{kPa})$与气体体积$V(\mathrm{m}^3)$成反比例函数关系,其图象如图所示. 已知当气球内的气压$p＞160\ \mathrm{kPa}$时,气球将爆炸,为了安全起见,气球内气体体积$V$应满足的条件是 （
A.不大于$0.6\ \mathrm{m}^3$
B.大于$0.6\ \mathrm{m}^3$
C.不小于$0.6\ \mathrm{m}^3$
D.小于$0.6\ \mathrm{m}^3$
C
）A.不大于$0.6\ \mathrm{m}^3$
B.大于$0.6\ \mathrm{m}^3$
C.不小于$0.6\ \mathrm{m}^3$
D.小于$0.6\ \mathrm{m}^3$
答案
1. C
解析
【分析】本题是反比例函数在实际问题中的应用，首先根据题意设出反比例函数解析式，利用图像上的已知点求出解析式，再结合安全气压的条件，将问题转化为不等式求解，进而确定气体体积V的范围，选出正确答案。
【解析】设气压$ p $与体积$ V $的反比例函数解析式为$ p = \frac{k}{V} (k≠0) $。
因为函数图像过点$ A(3, 32) $，将$ V=3 $，$ p=32 $代入解析式得：
$ 32 = \frac{k}{3} $，解得$ k = 32×3 = 96 $，因此反比例函数解析式为$ p = \frac{96}{V} $。
根据题意，为了安全，气球内气压需满足$ p ≤ 160\ \mathrm{kPa} $，将$ p = \frac{96}{V} $代入得：
$ \frac{96}{V} ≤ 160 $，由于体积$ V ＞ 0 $，两边同时乘$ V $不等号方向不变，得：
$ 96 ≤ 160V $，解得$ V ≥ \frac{96}{160} = 0.6 $，即气球内气体体积$ V $不小于$ 0.6\ \mathrm{m}^3 $。
【答案】C
【知识点】反比例函数的应用、不等式的求解
【点评】本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是先确定函数解析式，再利用不等式解决实际问题，需注意实际问题中变量的取值范围（体积为正数），属于中等难度的基础应用题。
【难度系数】0.5
【解析】设气压$ p $与体积$ V $的反比例函数解析式为$ p = \frac{k}{V} (k≠0) $。
因为函数图像过点$ A(3, 32) $，将$ V=3 $，$ p=32 $代入解析式得：
$ 32 = \frac{k}{3} $，解得$ k = 32×3 = 96 $，因此反比例函数解析式为$ p = \frac{96}{V} $。
根据题意，为了安全，气球内气压需满足$ p ≤ 160\ \mathrm{kPa} $，将$ p = \frac{96}{V} $代入得：
$ \frac{96}{V} ≤ 160 $，由于体积$ V ＞ 0 $，两边同时乘$ V $不等号方向不变，得：
$ 96 ≤ 160V $，解得$ V ≥ \frac{96}{160} = 0.6 $，即气球内气体体积$ V $不小于$ 0.6\ \mathrm{m}^3 $。
【答案】C
【知识点】反比例函数的应用、不等式的求解
【点评】本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是先确定函数解析式，再利用不等式解决实际问题，需注意实际问题中变量的取值范围（体积为正数），属于中等难度的基础应用题。
【难度系数】0.5
2. (2024 南通市中考)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流 $I$(A) 与电阻 $R$($\Omega$)成反比例函数关系,其图象如图所示. 如果以此蓄电池为电源的用电器,其限制电流不能超过 10 A,那么用电器可变电阻 $R$ 应控制的范围是
$R≥3.6$
.答案
2. $R≥3.6$
解析
【分析】首先，根据题意可知电流$I$与电阻$R$成反比例函数关系，设反比例函数解析式为$I=\frac{U}{R}$（$U$为定值，即蓄电池电压）；接着从图像中提取已知点$(9,4)$，代入解析式求出蓄电池电压$U$；再根据限制条件“电流不超过10A”，代入解析式得到关于$R$的不等式，结合电阻$R$为正数的隐含条件，解不等式即可得到$R$的范围。
【解析】因为电流$I$与电阻$R$成反比例函数，设解析式为$I=\frac{U}{R}$（$U$为蓄电池电压，定值）。
由图像可知，当$R=9\Omega$时，$I=4A$，代入解析式得：$4=\frac{U}{9}$，解得$U=4×9=36V$，因此反比例函数解析式为$I=\frac{36}{R}$。
已知限制电流不能超过10A，即$I≤10A$，代入解析式得：$\frac{36}{R}≤10$。
由于电阻$R$为正数（$R＞0$），不等式两边同乘$R$，不等号方向不变，得：$36≤10R$，解得$R≥\frac{36}{10}=3.6$。
【答案】$R≥3.6$
【知识点】反比例函数应用、欧姆定律
【点评】本题结合反比例函数性质与欧姆定律，考查函数解析式求解及不等式应用，关键是先确定反比例函数解析式，再根据限制条件列不等式，需注意电阻为正的隐含条件，属于中等难度的函数应用题。
【难度系数】0.5
【解析】因为电流$I$与电阻$R$成反比例函数，设解析式为$I=\frac{U}{R}$（$U$为蓄电池电压，定值）。
由图像可知，当$R=9\Omega$时，$I=4A$，代入解析式得：$4=\frac{U}{9}$，解得$U=4×9=36V$，因此反比例函数解析式为$I=\frac{36}{R}$。
已知限制电流不能超过10A，即$I≤10A$，代入解析式得：$\frac{36}{R}≤10$。
由于电阻$R$为正数（$R＞0$），不等式两边同乘$R$，不等号方向不变，得：$36≤10R$，解得$R≥\frac{36}{10}=3.6$。
【答案】$R≥3.6$
【知识点】反比例函数应用、欧姆定律
【点评】本题结合反比例函数性质与欧姆定律，考查函数解析式求解及不等式应用，关键是先确定反比例函数解析式，再根据限制条件列不等式，需注意电阻为正的隐含条件，属于中等难度的函数应用题。
【难度系数】0.5
3.（2024泰州市姜堰区期末）阅读以下素材，探索完成任务.
答案
3. 解:任务1:$p=\dfrac{5\ 000}{S}$.
任务2:当 $p=1×10^4\ \mathrm{Pa}$ 时,$S=\dfrac{5\ 000}{1×10^4}=0.5(\mathrm{m}^2)=5\ 000(\mathrm{cm}^2)$. 因为是四轮长航程极地机器人,所以每条履带的接触面积为$\dfrac{5\ 000}{4}=1\ 250(\mathrm{cm}^2)$. 所以极地机器人应更换 C 型号的履带方可安全通过该冰面.
任务2:当 $p=1×10^4\ \mathrm{Pa}$ 时,$S=\dfrac{5\ 000}{1×10^4}=0.5(\mathrm{m}^2)=5\ 000(\mathrm{cm}^2)$. 因为是四轮长航程极地机器人,所以每条履带的接触面积为$\dfrac{5\ 000}{4}=1\ 250(\mathrm{cm}^2)$. 所以极地机器人应更换 C 型号的履带方可安全通过该冰面.
解析
【分析】
首先明确解题思路：任务1需先计算极地机器人对冰面的压力（等于自身重力），再利用压强公式推导压强关于受力面积的函数表达式；任务2需先根据冰面最大承受压强求出机器人安全通行所需的总受力面积，再结合四轮结构算出每条履带的最小接触面积，最后对比三种履带型号选择合适的。
步骤：1. 计算机器人重力（即对冰面的压力）；2. 任务1代入压强公式得到函数；3. 任务2根据最大压强求最小总受力面积，换算单位后除以4得每条履带最小面积，对比型号确定答案。
【解析】
任务1：
已知机器人质量$m=500\ \mathrm{kg}$，重力系数$g\approx10\ \mathrm{N/kg}$，根据重力公式$G=mg$，得机器人重力$G=500\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg}=5000\ \mathrm{N}$。
由题意，机器人对冰面的压力$F=G=5000\ \mathrm{N}$，根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，可得压强$p$关于受力面积$S$的函数表达式为：$p=\frac{5000}{S}$（$S＞0$，单位：$\mathrm{m}^2$，$p$单位：$\mathrm{Pa}$）。
任务2：
冰面能承受的最大压强$p_{\mathrm{max}}=1×10^4\ \mathrm{Pa}$，要安全通行需满足$p≤ p_{\mathrm{max}}$，即$\frac{5000}{S}≤1×10^4$，解得$S≥\frac{5000}{1×10^4}=0.5\ \mathrm{m}^2$。
单位换算：$0.5\ \mathrm{m}^2=0.5×10^4\ \mathrm{cm}^2=5000\ \mathrm{cm}^2$。
机器人为四轮结构，故每条履带的最小接触面积为$\frac{5000\ \mathrm{cm}^2}{4}=1250\ \mathrm{cm}^2$。
对比三种型号履带：A型号$1000\ \mathrm{cm}^2＜1250\ \mathrm{cm}^2$，B型号$1200\ \mathrm{cm}^2＜1250\ \mathrm{cm}^2$，C型号$1500\ \mathrm{cm}^2＞1250\ \mathrm{cm}^2$，因此应更换C型号履带。
【答案】
任务1：$p=\frac{5000}{S}$；任务2：应更换C型号的履带方可安全通过该冰面。
【知识点】
压强计算、反比例函数应用、单位换算
【点评】
本题结合极地机器人的实际场景，考查压强公式、函数表达式及单位换算的应用，需注意受力面积的单位转换和四轮结构的面积分配，注重知识的实际运用，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先明确解题思路：任务1需先计算极地机器人对冰面的压力（等于自身重力），再利用压强公式推导压强关于受力面积的函数表达式；任务2需先根据冰面最大承受压强求出机器人安全通行所需的总受力面积，再结合四轮结构算出每条履带的最小接触面积，最后对比三种履带型号选择合适的。
步骤：1. 计算机器人重力（即对冰面的压力）；2. 任务1代入压强公式得到函数；3. 任务2根据最大压强求最小总受力面积，换算单位后除以4得每条履带最小面积，对比型号确定答案。
【解析】
任务1：
已知机器人质量$m=500\ \mathrm{kg}$，重力系数$g\approx10\ \mathrm{N/kg}$，根据重力公式$G=mg$，得机器人重力$G=500\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg}=5000\ \mathrm{N}$。
由题意，机器人对冰面的压力$F=G=5000\ \mathrm{N}$，根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，可得压强$p$关于受力面积$S$的函数表达式为：$p=\frac{5000}{S}$（$S＞0$，单位：$\mathrm{m}^2$，$p$单位：$\mathrm{Pa}$）。
任务2：
冰面能承受的最大压强$p_{\mathrm{max}}=1×10^4\ \mathrm{Pa}$，要安全通行需满足$p≤ p_{\mathrm{max}}$，即$\frac{5000}{S}≤1×10^4$，解得$S≥\frac{5000}{1×10^4}=0.5\ \mathrm{m}^2$。
单位换算：$0.5\ \mathrm{m}^2=0.5×10^4\ \mathrm{cm}^2=5000\ \mathrm{cm}^2$。
机器人为四轮结构，故每条履带的最小接触面积为$\frac{5000\ \mathrm{cm}^2}{4}=1250\ \mathrm{cm}^2$。
对比三种型号履带：A型号$1000\ \mathrm{cm}^2＜1250\ \mathrm{cm}^2$，B型号$1200\ \mathrm{cm}^2＜1250\ \mathrm{cm}^2$，C型号$1500\ \mathrm{cm}^2＞1250\ \mathrm{cm}^2$，因此应更换C型号履带。
【答案】
任务1：$p=\frac{5000}{S}$；任务2：应更换C型号的履带方可安全通过该冰面。
【知识点】
压强计算、反比例函数应用、单位换算
【点评】
本题结合极地机器人的实际场景，考查压强公式、函数表达式及单位换算的应用，需注意受力面积的单位转换和四轮结构的面积分配，注重知识的实际运用，难度适中。
【难度系数】
0.6
