1. 如图,设双曲线$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$与直线$y=x$交于A,B两点(点A在第三象限),将双曲线在第一象限内的一支沿射线BA的方向平移,使其经过点A,将双曲线在第三象限内的一支沿射线AB的方向平移,使其经过点B,平移后的两条曲线相交于P,Q两点,此时我们称平移后的两条曲线所围部分(图中阴影部分)为双曲线的“眸”,PQ为双曲线的“眸径”.当双曲线$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$的“眸径”为4时,k的值为（）

A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.2
D.4

1. A 提示:如图,设点P平移前在第一象限内的双曲线上对应的点为P',连接PP'.联立方程组$\begin{cases}y=x,\\y=\dfrac{k}{x}\end{cases}$,解得$\begin{cases}x_1=-\sqrt{k},\\y_1=-\sqrt{k}\end{cases}$,$\begin{cases}x_2=\sqrt{k},\\y_2=\sqrt{k}\end{cases}$,所以点A的坐标为$(-\sqrt{k},-\sqrt{k})$,点B的坐标为$(\sqrt{k},\sqrt{k})$.因为PQ=4,所以OP=2.由双曲线的对称性可知,$PQ⊥ AB$,所以点P的坐标为$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$.根据平移的性质可知,$PP'=AB$,$PP'// AB$,所以易得点P'的坐标为$(-\sqrt{2}+2\sqrt{k},\sqrt{2}+2\sqrt{k})$.因为点P'在双曲线$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$上,所以$(-\sqrt{2}+2\sqrt{k})(\sqrt{2}+2\sqrt{k})=k$,解得$k=\dfrac{2}{3}$.

【分析】
要解决本题，首先联立双曲线与直线$y=x$的解析式，求出交点$A$、$B$的坐标；再利用双曲线的对称性和平移的性质，结合“眸径”$PQ=4$的条件确定点$P$的坐标；最后根据平移后对应点在原双曲线上，代入解析式求解$k$的值。
【解析】
1. 联立双曲线$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$与直线$y=x$的方程：
$\begin{cases}y=x\\y=\dfrac{k}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\sqrt{k}\\y=\sqrt{k}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-\sqrt{k}\\y=-\sqrt{k}\end{cases}$，因此点$A(-\sqrt{k},-\sqrt{k})$，点$B(\sqrt{k},\sqrt{k})$。
2. 由双曲线的对称性可知，$PQ⊥ AB$，且$PQ=4$，故$OP=2$，结合象限特征得点$P(-\sqrt{2},\sqrt{2})$。
3. 计算$AB$的长度：$AB=\sqrt{(\sqrt{k}+\sqrt{k})^2+(\sqrt{k}+\sqrt{k})^2}=2\sqrt{2k}$，根据平移性质，$PP'=AB$且$PP'// AB$，因此点$P'(-\sqrt{2}+2\sqrt{k},\sqrt{2}+2\sqrt{k})$。
4. 因点$P'$在原双曲线$y=\dfrac{k}{x}$上，代入得：$(-\sqrt{2}+2\sqrt{k})(\sqrt{2}+2\sqrt{k})=k$，展开左边得$4k-2=k$，解得$k=\dfrac{2}{3}$。
【答案】A
【知识点】反比例函数、一次函数、图形平移
【点评】本题综合考查反比例函数与一次函数的交点、图形平移的性质，需结合对称性分析坐标关系，是一道融合函数性质与几何变换的典型题。
【难度系数】0.4

2. 如图,在矩形$OABC$和正方形$CDEF$中,点$A$在$y$轴正半轴上,点$C,F$均在$x$轴正半轴上,点$D$在边$BC$上,$BC=2CD$,$AB=2$,若点$B,E$在同一个反比例函数的图象上,则这个反比例函数的表达式是（）

A.$y=\dfrac{18}{x}$
B.$y=\dfrac{16}{x}$
C.$y=\dfrac{8}{x}$
D.$y=-\dfrac{10}{x}$

2. C 提示:因为四边形OABC是矩形,所以OC=AB=2,设正方形CDEF的边长为m,所以CD=CF=EF=m,因为BC=2CD,所以BC=2m,所以点B(2,2m),E(2+m,m),设反比例函数的表达式为$y=\dfrac{k}{x}$,所以$2×2m=(2+m)m$,解得m=2或m=0(不合题意,舍去),所以点B(2,4),所以$k=2×4=8$,所以这个反比例函数的表达式是$y=\dfrac{8}{x}$.

【分析】
要确定反比例函数表达式，需先求出反比例函数中的常数$k$。利用矩形和正方形的性质，用参数表示出点$B$、$E$的坐标，再根据反比例函数上的点满足“横纵坐标乘积等于$k$”的特征，列方程求解参数，进而得到$k$的值，确定函数表达式。
【解析】
1. 因为四边形$OABC$是矩形，所以对边相等，$OC = AB = 2$。
2. 设正方形$CDEF$的边长为$m$，则$CD = CF = EF = m$。
3. 由$BC = 2CD$，得$BC = 2m$，因此点$B$的坐标为$(2, 2m)$；点$E$的横坐标为$OC + CF = 2 + m$，纵坐标为$m$，即$E(2 + m, m)$。
4. 因为点$B$、$E$在反比例函数$y = \dfrac{k}{x}$的图象上，所以两点横纵坐标的乘积相等，即：
$2 × 2m = (2 + m) × m$
5. 解方程：
$4m = 2m + m^2$，整理得$m^2 - 2m = 0$，即$m(m - 2) = 0$，解得$m = 2$（$m = 0$不符合正方形边长要求，舍去）。
6. 代入$m = 2$，得点$B$坐标为$(2, 4)$，则$k = 2 × 4 = 8$，故反比例函数表达式为$y = \dfrac{8}{x}$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数表达式确定、矩形性质、正方形性质
【点评】
本题结合矩形与正方形的性质，利用反比例函数的坐标特征求解，核心是数形结合思想的应用，需注意参数取值的合理性，难度适中。
【难度系数】
0.6

3. 如图,若正比例函数
$y=k_{1}x$ 与反比例函数
$y=\dfrac{k_{2}}{x}$ 的图象交于
$A(m,5),B(-m,n)$
两点,过点 $A$ 作 $AC⊥$
$x$ 轴,垂足为 $C$,且 $S_{△ ABC}=10$,则不等式
$k_{1}x＜\dfrac{k_{2}}{x}$ 的解集为

（）

A.$x＞5$ 或 $-5＜x＜0$
B.$x＞2$ 或 $-2＜x＜0$
C.$0＜x＜5$ 或 $x＜-5$
D.$x＜-2$ 或 $0＜x＜2$

3. D 提示:因为点A(m,5),B(-m,n),$AC⊥ x$轴,所以AC=5.因为$S_{△ ABC}=10$,所以$\dfrac{1}{2}×5×[m-(-m)]=10$,解得m=2,所以点A(2,5),由函数图象可知,不等式$k_1x＜\dfrac{k_2}{x}$的解集为$x＜-2$或$0＜x＜2$.

【分析】
要解决该问题，需先利用函数图象的对称性和三角形面积求出交点A、B的坐标，再通过观察函数图象的位置关系确定不等式的解集。步骤为：1. 根据A、B的坐标特征及AC⊥x轴，结合三角形面积公式求出m的值，得到A、B的具体坐标；2. 分析正比例函数与反比例函数图象的位置，找出正比例函数图象在反比例函数图象下方时x的范围，即为不等式的解集。
【解析】
1. 正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，因此交点A(m,5)与B(-m,n)关于原点对称，即n=-5。
2. 已知AC⊥x轴，AC=5，点C坐标为(m,0)，则△ABC的水平底边长为$m - (-m)=2m$，高为AC=5。
3. 根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知面积10得：$\frac{1}{2}×5×2m=10$，化简得$5m=10$，解得$m=2$。
4. 由此确定点A坐标为(2,5)，点B坐标为(-2,-5)。
5. 不等式$k_1x＜\frac{k_2}{x}$表示正比例函数图象在反比例函数图象下方时x的取值范围，结合图象可知：当$x＜-2$或$0＜x＜2$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，故不等式的解集为$x＜-2$或$0＜x＜2$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数与一次函数交点、不等式解集
【点评】
本题结合函数对称性、三角形面积求解交点坐标，再利用数形结合思想通过图象确定不等式解集，核心是掌握函数图象的对称性及图象法解不等式的方法。
【难度系数】
0.5

4. 如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论。我们不妨来试试.
（1）性质：反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象是中心对称图形，对称中心是原点.
证明：在函数图象上任取一点$A(x,\dfrac{3}{x})$，则点$A$关于原点对称的点$B$的坐标为（，）. 因为，所以点$B$也在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上.
因为$A$是反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上，所以反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象是中心对称图形，对称中心是原点.
（2）性质：反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象关于直线$y=x$对称，关于直线$y=-x$对称.请运用代数推理进行证明.
（3）试证明：对于反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小.

4. (1) $-x$ $-\dfrac{3}{x}$ $(-x)·(-\dfrac{3}{x})=3$
(2) 证明:在函数$y=\dfrac{3}{x}$图象上任取一点$A(x,\dfrac{3}{x})$,则点A关于直线y=x对称的点B的坐标为$(\dfrac{3}{x},x)$.因为$\dfrac{3}{x}· x=3$,所以点B也在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上.因为A是反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$图象上的任意一点,它关于直线y=x对称的点都在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上,所以反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象关于直线y=x对称.同理,在函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上任取一点$A(x,\dfrac{3}{x})$,则点A关于直线y=-x对称的点C的坐标为$(-\dfrac{3}{x},-x)$.因为$(-\dfrac{3}{x})·(-x)=3$,所以点C也在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上.因为A是反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$图象上的任意一点,它关于直线y=-x对称的点都在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上,所以反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象关于直线y=-x对称.
(3) 证明:在函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上任取两点$A(x_1,\dfrac{3}{x_1})$,$B(x_2,\dfrac{3}{x_2})(0＜x_1＜x_2)$.因为$\dfrac{3}{x_2}-\dfrac{3}{x_1}=\dfrac{3(x_1-x_2)}{x_1x_2}＜0$,所以$\dfrac{3}{x_2}＜\dfrac{3}{x_1}$.所以当x＞0时,y随x的增大而减小.

【分析】
本题通过代数推理证明反比例函数的三个核心性质，解题思路为：①证明中心对称性：在函数图像上任取一点，求其关于原点的对称点，验证该对称点是否满足反比例函数解析式，若满足则说明所有对称点都在图像上，从而证明中心对称；②证明轴对称性：同理，分别求点关于直线y=x、y=-x的对称点，验证是否在函数图像上；③证明增减性：在x＞0的范围内取两个自变量值，计算对应的函数值之差，通过代数运算判断差的符号，进而确定函数的增减性。
【解析】
（1）点关于原点对称的坐标特征是横、纵坐标均变为原来的相反数，因此点$A(x,\dfrac{3}{x})$关于原点对称的点$B$的坐标为$(-x, -\dfrac{3}{x})$；若点在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图像上，则其横、纵坐标的乘积等于3，计算得$(-x)·(-\dfrac{3}{x})=3$，满足该条件，故点$B$在函数图像上。
（2）①证明关于直线$y=x$对称：任取图像上一点$A(x,\dfrac{3}{x})$，点关于直线$y=x$对称的点的坐标特征是横、纵坐标互换，故对称点$B$的坐标为$(\dfrac{3}{x},x)$；计算横纵坐标乘积：$\dfrac{3}{x}· x=3$，满足反比例函数解析式，因此点$B$在图像上，故图像关于直线$y=x$对称。
②证明关于直线$y=-x$对称：任取图像上一点$A(x,\dfrac{3}{x})$，点关于直线$y=-x$对称的点的坐标特征是横、纵坐标互换且均变号，故对称点$C$的坐标为$(-\dfrac{3}{x},-x)$；计算横纵坐标乘积：$(-\dfrac{3}{x})·(-x)=3$，满足反比例函数解析式，因此点$C$在图像上，故图像关于直线$y=-x$对称。
（3）证明$x＞0$时$y$随$x$增大而减小：在$x＞0$的范围内任取两点$A(x_1,\dfrac{3}{x_1})$、$B(x_2,\dfrac{3}{x_2})$，且设$0＜x_1＜x_2$；计算函数值之差：$\dfrac{3}{x_2}-\dfrac{3}{x_1}=\dfrac{3(x_1-x_2)}{x_1x_2}$；因为$0＜x_1＜x_2$，所以$x_1 - x_2 ＜ 0$，$x_1x_2 ＞ 0$，因此差的结果小于0，即$\dfrac{3}{x_2}＜\dfrac{3}{x_1}$，故当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
4. (1) $-x$ $-\dfrac{3}{x}$ $(-x)·(-\dfrac{3}{x})=3$
(2) 证明:在函数$y=\dfrac{3}{x}$图象上任取一点$A(x,\dfrac{3}{x})$,则点A关于直线y=x对称的点B的坐标为$(\dfrac{3}{x},x)$.因为$\dfrac{3}{x}· x=3$,所以点B也在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上.因为A是反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$图象上的任意一点,它关于直线y=x对称的点都在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上,所以反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象关于直线y=x对称.同理,在函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上任取一点$A(x,\dfrac{3}{x})$,则点A关于直线y=-x对称的点C的坐标为$(-\dfrac{3}{x},-x)$.因为$(-\dfrac{3}{x})·(-x)=3$,所以点C也在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上.因为A是反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$图象上的任意一点,它关于直线y=-x对称的点都在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上,所以反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象关于直线y=-x对称.
(3) 证明:在函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上任取两点$A(x_1,\dfrac{3}{x_1})$,$B(x_2,\dfrac{3}{x_2})(0＜x_1＜x_2)$.因为$\dfrac{3}{x_2}-\dfrac{3}{x_1}=\dfrac{3(x_1-x_2)}{x_1x_2}＜0$,所以$\dfrac{3}{x_2}＜\dfrac{3}{x_1}$.所以当x＞0时,y随x的增大而减小.
【知识点】
反比例函数的性质、代数推理、函数的对称性
【点评】
本题通过代数推理的方法严谨证明反比例函数的对称性和增减性，体现了“数”与“形”的结合，要求学生掌握对称点坐标的变换规律、函数图像上点的判定方法，以及函数增减性的代数证明思路，是对反比例函数核心性质的深度考查，有助于提升学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6