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1. 密度计常用来测量液体的密度，如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值$\rho$，并测量木棒浸入液体的深度$h$，再利用收集的数据画出$\rho$关于$h$的反比例图象，如图2所示，下列说法正确的是（
A.$\rho$可能为0
B.若$h_1＜h_3＜h_2$，则$\rho_1 ≤ \rho_3 ＜ \rho_2$
C.密度$\rho$均匀增加时，深度$h$的变化量相同
D.密度计的刻度线越往上，对应的密度值越小
D
）A.$\rho$可能为0
B.若$h_1＜h_3＜h_2$，则$\rho_1 ≤ \rho_3 ＜ \rho_2$
C.密度$\rho$均匀增加时，深度$h$的变化量相同
D.密度计的刻度线越往上，对应的密度值越小
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，需明确密度计的工作原理：密度计竖直漂浮时，所受浮力等于自身重力（F浮=G）。结合阿基米德原理，F浮=ρ液gV排，而排开液体的体积V排=S·h（S为木棒横截面积，h为浸入液体的深度），由此可推导出ρ液与h的关系：ρ液gSh=G，即ρ=G/(gSh)，由于G、g、S均为定值，所以ρ与h成反比，h越大，对应的ρ越小。接下来逐一分析选项：A选项，液体密度不可能为0，故ρ不可能为0；B选项，因ρ与h成反比，h越小ρ越大，若h₁＜h₃＜h₂，则ρ₁＞ρ₃＞ρ₂；C选项，ρ与h是反比例关系，不是线性关系，ρ均匀增加时h的变化量不相同；D选项，密度计刻度线越往上，浸入深度h越大，对应密度ρ越小，据此判断正确选项。
【解析】
密度计竖直漂浮时，浮力等于重力，即F浮=G。根据阿基米德原理，F浮=ρ液gV排，而排开液体的体积V排=S·h（S为木棒横截面积，h为浸入液体的深度），代入得：ρ液gSh=G，整理可得ρ=G/(gSh)。由于G、g、S均为定值，因此ρ与h成反比，h越大，ρ越小。
对各选项分析：
A. 液体密度是客观存在的物理量，不可能为0，故ρ不可能为0，A错误；
B. 由ρ与h成反比可知，h越小ρ越大，若h₁＜h₃＜h₂，则ρ₁＞ρ₃＞ρ₂，B错误；
C. ρ与h是反比例函数关系，不是线性关系，因此当ρ均匀增加时，h的变化量不相同，C错误；
D. 密度计刻度线越往上，说明浸入液体的深度h越大，对应液体密度ρ越小，D正确。
【答案】
D
【知识点】
密度计原理、阿基米德原理、物体浮沉条件
【点评】
本题围绕密度计的工作原理展开，核心是利用漂浮条件和阿基米德原理推导ρ与h的反比例关系，需准确理解反比例函数中两个变量的变化规律，易错点是混淆深度h和密度ρ的变化趋势，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需明确密度计的工作原理：密度计竖直漂浮时，所受浮力等于自身重力（F浮=G）。结合阿基米德原理，F浮=ρ液gV排，而排开液体的体积V排=S·h（S为木棒横截面积，h为浸入液体的深度），由此可推导出ρ液与h的关系：ρ液gSh=G，即ρ=G/(gSh)，由于G、g、S均为定值，所以ρ与h成反比，h越大，对应的ρ越小。接下来逐一分析选项：A选项，液体密度不可能为0，故ρ不可能为0；B选项，因ρ与h成反比，h越小ρ越大，若h₁＜h₃＜h₂，则ρ₁＞ρ₃＞ρ₂；C选项，ρ与h是反比例关系，不是线性关系，ρ均匀增加时h的变化量不相同；D选项，密度计刻度线越往上，浸入深度h越大，对应密度ρ越小，据此判断正确选项。
【解析】
密度计竖直漂浮时，浮力等于重力，即F浮=G。根据阿基米德原理，F浮=ρ液gV排，而排开液体的体积V排=S·h（S为木棒横截面积，h为浸入液体的深度），代入得：ρ液gSh=G，整理可得ρ=G/(gSh)。由于G、g、S均为定值，因此ρ与h成反比，h越大，ρ越小。
对各选项分析：
A. 液体密度是客观存在的物理量，不可能为0，故ρ不可能为0，A错误；
B. 由ρ与h成反比可知，h越小ρ越大，若h₁＜h₃＜h₂，则ρ₁＞ρ₃＞ρ₂，B错误；
C. ρ与h是反比例函数关系，不是线性关系，因此当ρ均匀增加时，h的变化量不相同，C错误；
D. 密度计刻度线越往上，说明浸入液体的深度h越大，对应液体密度ρ越小，D正确。
【答案】
D
【知识点】
密度计原理、阿基米德原理、物体浮沉条件
【点评】
本题围绕密度计的工作原理展开，核心是利用漂浮条件和阿基米德原理推导ρ与h的反比例关系，需准确理解反比例函数中两个变量的变化规律，易错点是混淆深度h和密度ρ的变化趋势，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
2. 如图,一块砖的 A,B,C 三个面的面积比是$4:2:1$,如果 B 面向下放在地上,地面所受压强为 $a\ \mathrm{Pa}$,那么 $A$ 面向下放在地上时,地面所受压强为
$\dfrac{a}{2}$
Pa.答案
2. $\dfrac{a}{2}$
解析
【分析】
要解决本题，需利用压强公式 $ p = \frac{F}{S} $，其中砖对地面的压力等于自身重力，是定值。已知A、B面的面积比，结合B面放置时的压强，通过面积关系推导A面放置时的压强。
步骤：1. 确定压力不变（等于砖的重力）；2. 根据面积比得出A、B面的面积关系；3. 代入压强公式计算A面的压强。
【解析】
设A、B面的面积分别为 $ S_A $、$ S_B $，由题意得 $ S_A:S_B = 4:2 = 2:1 $，即 $ S_A = 2S_B $。
当B面向下时，压强 $ p_B = \frac{F}{S_B} = a \, \mathrm{Pa} $，因此砖对地面的压力 $ F = p_B · S_B = a S_B $。
当A面向下时，压力 $ F $ 不变，此时压强 $ p_A = \frac{F}{S_A} = \frac{a S_B}{2 S_B} = \frac{a}{2} \, \mathrm{Pa} $。
【答案】
$\dfrac{a}{2}$
【知识点】
压强公式应用、压力与压强
【点评】
本题考查压强公式的灵活运用，核心是明确压力不变，利用面积比推导压强关系，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需利用压强公式 $ p = \frac{F}{S} $，其中砖对地面的压力等于自身重力，是定值。已知A、B面的面积比，结合B面放置时的压强，通过面积关系推导A面放置时的压强。
步骤：1. 确定压力不变（等于砖的重力）；2. 根据面积比得出A、B面的面积关系；3. 代入压强公式计算A面的压强。
【解析】
设A、B面的面积分别为 $ S_A $、$ S_B $，由题意得 $ S_A:S_B = 4:2 = 2:1 $，即 $ S_A = 2S_B $。
当B面向下时，压强 $ p_B = \frac{F}{S_B} = a \, \mathrm{Pa} $，因此砖对地面的压力 $ F = p_B · S_B = a S_B $。
当A面向下时，压力 $ F $ 不变，此时压强 $ p_A = \frac{F}{S_A} = \frac{a S_B}{2 S_B} = \frac{a}{2} \, \mathrm{Pa} $。
【答案】
$\dfrac{a}{2}$
【知识点】
压强公式应用、压力与压强
【点评】
本题考查压强公式的灵活运用，核心是明确压力不变，利用面积比推导压强关系，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.3
3.（2024 宿迁市宿城区期末）已知饮水机中原有水的温度为$20\ °\mathrm{C}$，开机后，饮水机自动开始加热，此过程中，水温$y(°\mathrm{C})$与开机后经过的时间$x(\mathrm{min})$满足一次函数关系，当加热到$100\ °\mathrm{C}$时，自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中，水温$y(°\mathrm{C})$与开机后经过的时间$x(\mathrm{min})$成反比例函数关系. 当水温降至$20\ °\mathrm{C}$时，饮水机又自动开始加热……如此循环下去（如图所示）. 开机后$56\ \mathrm{min}$时，水的温度是
50
$°\mathrm{C}$.答案
3. 50 提示:利用待定系数法可求出当 $0≤ x≤8$ 时,水温 y 与开机后经过的时间 x 的函数表达式为 $y=10x+20$;当 $8＜x≤ t$ 时,水温 y 与开机后经过的时间 x 的函数表达式为 $y=\dfrac{800}{x}$. 所以当 $y=20$ 时,$t=40$. 因为 $56-40=16＞8$,所以将 $x=16$ 代入反比例函数表达式 $y=\dfrac{800}{x}$ 中,得 $y=50$.
解析
【分析】
要解决该问题，需先明确水温变化的两个阶段对应的函数类型，通过待定系数法求出函数解析式，再确定循环周期，最后判断56分钟对应的阶段并计算温度。
【解析】
1. 求加热阶段（$0≤x≤8$）的一次函数解析式：
设该阶段函数为$y = kx + b$，代入点$(0,20)$和$(8,100)$，得：
$\begin{cases}b = 20 \\8k + b = 100\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=10 \\b=20\end{cases}$，
因此加热阶段解析式为$y = 10x + 20$（$0≤x≤8$）。
2. 求降温阶段（$8＜x≤t$）的反比例函数解析式：
设该阶段函数为$y = \frac{m}{x}$，代入点$(8,100)$，得$100 = \frac{m}{8}$，解得$m=800$，
因此降温阶段解析式为$y = \frac{800}{x}$（$8＜x≤t$）。
3. 确定循环周期$t$：
当水温降至$20℃$时，代入反比例函数得$20 = \frac{800}{t}$，解得$t=40$，即一个循环周期为40分钟。
4. 计算56分钟时的水温：
$56 - 40 = 16$，说明56分钟对应第二个循环的第16分钟，属于降温阶段，代入反比例函数得：
$y = \frac{800}{16} = 50$。
【答案】
50
【知识点】
一次函数应用、反比例函数应用、函数图像实际应用
【点评】
本题结合饮水机水温变化的实际场景，考查函数解析式的求解及循环应用，需理清函数阶段和周期，是函数知识在实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需先明确水温变化的两个阶段对应的函数类型，通过待定系数法求出函数解析式，再确定循环周期，最后判断56分钟对应的阶段并计算温度。
【解析】
1. 求加热阶段（$0≤x≤8$）的一次函数解析式：
设该阶段函数为$y = kx + b$，代入点$(0,20)$和$(8,100)$，得：
$\begin{cases}b = 20 \\8k + b = 100\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=10 \\b=20\end{cases}$，
因此加热阶段解析式为$y = 10x + 20$（$0≤x≤8$）。
2. 求降温阶段（$8＜x≤t$）的反比例函数解析式：
设该阶段函数为$y = \frac{m}{x}$，代入点$(8,100)$，得$100 = \frac{m}{8}$，解得$m=800$，
因此降温阶段解析式为$y = \frac{800}{x}$（$8＜x≤t$）。
3. 确定循环周期$t$：
当水温降至$20℃$时，代入反比例函数得$20 = \frac{800}{t}$，解得$t=40$，即一个循环周期为40分钟。
4. 计算56分钟时的水温：
$56 - 40 = 16$，说明56分钟对应第二个循环的第16分钟，属于降温阶段，代入反比例函数得：
$y = \frac{800}{16} = 50$。
【答案】
50
【知识点】
一次函数应用、反比例函数应用、函数图像实际应用
【点评】
本题结合饮水机水温变化的实际场景，考查函数解析式的求解及循环应用，需理清函数阶段和周期，是函数知识在实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.5
4.【阅读材料】
材料1:图1为某款电子托盘秤对应的电路图,电源两端的电压保持不变,通过所称物体质量调节可变电阻$R_{1}$的大小,从而改变电路中的电流$I$,最终通过显示器显示所称物体质量.电流$I(\mathrm{mA})$与总电阻$R(\mathrm{k}\Omega)$成反比例,其中$R=R_{1}+R_{2}$,已知$R_{2}=10\ \mathrm{k}\Omega$.
材料2:可变电阻$R_{1}(\mathrm{k}\Omega)$与物体质量$x(\mathrm{kg})$之间的关系如图2所示($R_{1} ≥ 0$),当放置物体质量为$2.2\ \mathrm{kg}$时,电流表显示为$0.3\ \mathrm{mA}$.
【问题解决】
根据材料1和材料2完成下列问题.
(1)当放置物体质量为$2.2\ \mathrm{kg}$时,求此时可变电阻$R_{1}$的值.
(2)求电流$I$关于可变电阻$R_{1}$的函数表达式.
(3)为保证电子托盘秤的电路安全,现将电流范围设定为$0.15 ≤ I ≤ 0.5$(单位:$\mathrm{mA}$),求该电子托盘秤所称物体质量的最大值.
材料1:图1为某款电子托盘秤对应的电路图,电源两端的电压保持不变,通过所称物体质量调节可变电阻$R_{1}$的大小,从而改变电路中的电流$I$,最终通过显示器显示所称物体质量.电流$I(\mathrm{mA})$与总电阻$R(\mathrm{k}\Omega)$成反比例,其中$R=R_{1}+R_{2}$,已知$R_{2}=10\ \mathrm{k}\Omega$.
材料2:可变电阻$R_{1}(\mathrm{k}\Omega)$与物体质量$x(\mathrm{kg})$之间的关系如图2所示($R_{1} ≥ 0$),当放置物体质量为$2.2\ \mathrm{kg}$时,电流表显示为$0.3\ \mathrm{mA}$.
【问题解决】
根据材料1和材料2完成下列问题.
(1)当放置物体质量为$2.2\ \mathrm{kg}$时,求此时可变电阻$R_{1}$的值.
(2)求电流$I$关于可变电阻$R_{1}$的函数表达式.
(3)为保证电子托盘秤的电路安全,现将电流范围设定为$0.15 ≤ I ≤ 0.5$(单位:$\mathrm{mA}$),求该电子托盘秤所称物体质量的最大值.
答案
4. 解:(1)根据题意,设可变电阻 $R_1$ 与物体质量 $x$ 之间的函数表达式为 $R_1=kx+b$,将点$(0,32)$,$(3.2,0)$代入 $R_1=kx+b$ 中,得
$\begin{cases}b=32,\\3.2k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=32,\\k=-10.\end{cases}$ 所以可变电阻 $R_1$ 与物体质量 $x$ 之间的函数表达式为 $R_1=-10x+32$,将 $x=2.2$ 代入 $R_1=-10x+32$ 中,得 $R_1=-10×2.2+32=10$,所以当放置物体质量为 2.2 kg 时,可变电阻 $R_1$ 的值为 10 kΩ.
(2)因为电流 $I$ 与总电阻 $R$ 成反比例,又因为 $R=R_1+R_2$,$R_2=10\ \mathrm{kΩ}$,所以电流 $I$ 与电阻 $R_1$ 之间的函数表达式为 $I=\dfrac{U}{R_1+10}$,由(1)知,当放置物体质量为 2.2 kg 时,可变电阻 $R_1$ 的值为 10 kΩ,又因为当放置物体质量为 2.2 kg 时,电流表显示为 0.3 mA,所以 $\dfrac{U}{10+10}=0.3$,所以 $U=6$,所以电流 $I$ 与电阻 $R_1$ 之间的函数表达式为 $I=\dfrac{6}{R_1+10}$.
(3)根据材料 2 图 2 中的图象易知,当 $0≤ x≤3.2$ 时,$R_1$ 随 $x$ 的增大而减小,所以当 $R_1$ 取得最小值时,$x$ 取得最大值,由(2)知,电流 $I$ 与电阻 $R_1$ 之间的函数表达式为 $I=\dfrac{6}{R_1+10}$,所以当 $0.15≤ I≤0.5$ 时,$2≤ R_1≤30$,将 $R_1=2$ 代入 $R_1=-10x+32$ 中,得 $-10x+32=2$,解得 $x=3$,所以当电流范围设定为 $0.15≤ I≤0.5$ 时,该电子托盘秤称得物体最大质量为 3 kg.
$\begin{cases}b=32,\\3.2k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=32,\\k=-10.\end{cases}$ 所以可变电阻 $R_1$ 与物体质量 $x$ 之间的函数表达式为 $R_1=-10x+32$,将 $x=2.2$ 代入 $R_1=-10x+32$ 中,得 $R_1=-10×2.2+32=10$,所以当放置物体质量为 2.2 kg 时,可变电阻 $R_1$ 的值为 10 kΩ.
(2)因为电流 $I$ 与总电阻 $R$ 成反比例,又因为 $R=R_1+R_2$,$R_2=10\ \mathrm{kΩ}$,所以电流 $I$ 与电阻 $R_1$ 之间的函数表达式为 $I=\dfrac{U}{R_1+10}$,由(1)知,当放置物体质量为 2.2 kg 时,可变电阻 $R_1$ 的值为 10 kΩ,又因为当放置物体质量为 2.2 kg 时,电流表显示为 0.3 mA,所以 $\dfrac{U}{10+10}=0.3$,所以 $U=6$,所以电流 $I$ 与电阻 $R_1$ 之间的函数表达式为 $I=\dfrac{6}{R_1+10}$.
(3)根据材料 2 图 2 中的图象易知,当 $0≤ x≤3.2$ 时,$R_1$ 随 $x$ 的增大而减小,所以当 $R_1$ 取得最小值时,$x$ 取得最大值,由(2)知,电流 $I$ 与电阻 $R_1$ 之间的函数表达式为 $I=\dfrac{6}{R_1+10}$,所以当 $0.15≤ I≤0.5$ 时,$2≤ R_1≤30$,将 $R_1=2$ 代入 $R_1=-10x+32$ 中,得 $-10x+32=2$,解得 $x=3$,所以当电流范围设定为 $0.15≤ I≤0.5$ 时,该电子托盘秤称得物体最大质量为 3 kg.
解析
【分析】
要解决本题，需分步骤理清各变量间的关系：
1. 问题（1）：根据材料2，可变电阻$R_1$与物体质量$x$是一次函数关系，需先利用图2的两个点确定该一次函数的解析式，再代入$x=2.2\ \mathrm{kg}$计算$R_1$的值；
2. 问题（2）：已知电流$I$与总电阻$R$成反比例，总电阻$R=R_1+R_2$，因此$I$的表达式为$I=\frac{U}{R_1+10}$，结合（1）中已知的$I$和$R_1$的值，求出电源电压$U$，进而得到$I$关于$R_1$的函数；
3. 问题（3）：根据电流$I$的范围，代入$I$的函数求出对应的$R_1$范围，再结合$R_1$与$x$的一次函数关系（$R_1$随$x$增大而减小），找到$R_1$的最小值，代入$R_1$与$x$的解析式，求出物体质量的最大值。
【解析】
(1) 设可变电阻$R_1$与物体质量$x$的函数表达式为$R_1=kx+b$，由图2可知，当$x=0$时，$R_1=32$；当$x=3.2$时，$R_1=0$，代入得：
$\begin{cases}b=32 \\3.2k + b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-10 \\b=32\end{cases}$，故$R_1=-10x+32$。
将$x=2.2$代入得：$R_1=-10×2.2+32=10\ (\mathrm{k}\Omega)$。
(2) 因电流$I$与总电阻$R$成反比例，且总电阻$R=R_1+R_2=R_1+10$，故设$I=\frac{U}{R_1+10}$。
由（1）知，$x=2.2$时，$R_1=10\ \mathrm{k}\Omega$，$I=0.3\ \mathrm{mA}$，代入得：$0.3=\frac{U}{10+10}$，解得$U=6$，因此电流$I$关于$R_1$的函数表达式为$I=\frac{6}{R_1+10}$。
(3) 已知电流范围为$0.15≤ I≤0.5\ (\mathrm{mA})$，代入$I=\frac{6}{R_1+10}$得：
$0.15≤\frac{6}{R_1+10}≤0.5$，解不等式：
左边：$\frac{6}{R_1+10}≥0.15⇒ R_1+10≤40⇒ R_1≤30$；
右边：$\frac{6}{R_1+10}≤0.5⇒ R_1+10≥12⇒ R_1≥2$；
故$R_1$的范围是$2≤ R_1≤30$。
又因$R_1=-10x+32$中$k=-10＜0$，$R_1$随$x$增大而减小，故$R_1$最小时，$x$最大。
将$R_1=2$代入$R_1=-10x+32$得：$2=-10x+32$，解得$x=3\ (\mathrm{kg})$。
【答案】
(1) $10\ \mathrm{k}\Omega$；(2) $I=\frac{6}{R_1+10}$；(3) $3\ \mathrm{kg}$
【知识点】
反比例函数的应用、一次函数的应用
【点评】
本题结合电学知识考查函数的实际应用，需先确定一次函数和反比例函数的解析式，再利用函数的性质解决问题，关键是理清各变量间的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需分步骤理清各变量间的关系：
1. 问题（1）：根据材料2，可变电阻$R_1$与物体质量$x$是一次函数关系，需先利用图2的两个点确定该一次函数的解析式，再代入$x=2.2\ \mathrm{kg}$计算$R_1$的值；
2. 问题（2）：已知电流$I$与总电阻$R$成反比例，总电阻$R=R_1+R_2$，因此$I$的表达式为$I=\frac{U}{R_1+10}$，结合（1）中已知的$I$和$R_1$的值，求出电源电压$U$，进而得到$I$关于$R_1$的函数；
3. 问题（3）：根据电流$I$的范围，代入$I$的函数求出对应的$R_1$范围，再结合$R_1$与$x$的一次函数关系（$R_1$随$x$增大而减小），找到$R_1$的最小值，代入$R_1$与$x$的解析式，求出物体质量的最大值。
【解析】
(1) 设可变电阻$R_1$与物体质量$x$的函数表达式为$R_1=kx+b$，由图2可知，当$x=0$时，$R_1=32$；当$x=3.2$时，$R_1=0$，代入得：
$\begin{cases}b=32 \\3.2k + b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-10 \\b=32\end{cases}$，故$R_1=-10x+32$。
将$x=2.2$代入得：$R_1=-10×2.2+32=10\ (\mathrm{k}\Omega)$。
(2) 因电流$I$与总电阻$R$成反比例，且总电阻$R=R_1+R_2=R_1+10$，故设$I=\frac{U}{R_1+10}$。
由（1）知，$x=2.2$时，$R_1=10\ \mathrm{k}\Omega$，$I=0.3\ \mathrm{mA}$，代入得：$0.3=\frac{U}{10+10}$，解得$U=6$，因此电流$I$关于$R_1$的函数表达式为$I=\frac{6}{R_1+10}$。
(3) 已知电流范围为$0.15≤ I≤0.5\ (\mathrm{mA})$，代入$I=\frac{6}{R_1+10}$得：
$0.15≤\frac{6}{R_1+10}≤0.5$，解不等式：
左边：$\frac{6}{R_1+10}≥0.15⇒ R_1+10≤40⇒ R_1≤30$；
右边：$\frac{6}{R_1+10}≤0.5⇒ R_1+10≥12⇒ R_1≥2$；
故$R_1$的范围是$2≤ R_1≤30$。
又因$R_1=-10x+32$中$k=-10＜0$，$R_1$随$x$增大而减小，故$R_1$最小时，$x$最大。
将$R_1=2$代入$R_1=-10x+32$得：$2=-10x+32$，解得$x=3\ (\mathrm{kg})$。
【答案】
(1) $10\ \mathrm{k}\Omega$；(2) $I=\frac{6}{R_1+10}$；(3) $3\ \mathrm{kg}$
【知识点】
反比例函数的应用、一次函数的应用
【点评】
本题结合电学知识考查函数的实际应用，需先确定一次函数和反比例函数的解析式，再利用函数的性质解决问题，关键是理清各变量间的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
