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1. 某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h 的平均速度用4 h 到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度$v$(km/h)关于时间$t$(h)的函数表达式是（
A.$v=320t$
B.$v=\dfrac{320}{t}$
C.$v=20t$
D.$v=\dfrac{20}{t}$
B
）A.$v=320t$
B.$v=\dfrac{320}{t}$
C.$v=20t$
D.$v=\dfrac{20}{t}$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步思考：第一步，根据去程的速度和时间计算出甲、乙两地的总路程；第二步，利用“原路返回时路程不变”的特点，结合路程公式推导速度v与时间t的函数表达式，最后对比选项选出正确答案。
【解析】
1. 计算甲、乙两地的路程：根据路程=速度×时间，去程速度为80 km/h，用时4 h，因此总路程为 $ 80 × 4 = 320 \, \mathrm{km} $。
2. 推导返回时的函数关系：原路返回时，路程仍为320 km，根据路程公式可得 $ v × t = 320 $，整理后得到速度关于时间的函数表达式为 $ v = \dfrac{320}{t} $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；路程速度时间关系
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，核心是抓住“路程不变”的关键条件，结合基本公式推导函数关系，属于初中数学基础题型，难度较低，主要考查学生对反比例函数实际应用的掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需分两步思考：第一步，根据去程的速度和时间计算出甲、乙两地的总路程；第二步，利用“原路返回时路程不变”的特点，结合路程公式推导速度v与时间t的函数表达式，最后对比选项选出正确答案。
【解析】
1. 计算甲、乙两地的路程：根据路程=速度×时间，去程速度为80 km/h，用时4 h，因此总路程为 $ 80 × 4 = 320 \, \mathrm{km} $。
2. 推导返回时的函数关系：原路返回时，路程仍为320 km，根据路程公式可得 $ v × t = 320 $，整理后得到速度关于时间的函数表达式为 $ v = \dfrac{320}{t} $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；路程速度时间关系
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，核心是抓住“路程不变”的关键条件，结合基本公式推导函数关系，属于初中数学基础题型，难度较低，主要考查学生对反比例函数实际应用的掌握。
【难度系数】
0.8
2. 如图 1,区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法,小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下,汽车在某一高速路的限速区间 AB 段的平均行驶速度 y(km/h)与行驶时间 t(h)是反比例函数关系(如图 2),已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过 120 km/h,最低车速不得低于 90 km/h,小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间 AB 段的时间可能是 （
A.10 min
B.11 min
C.15 min
D.18 min
C
） A.10 min
B.11 min
C.15 min
D.18 min
答案
2. C 提示:由题图 2 得,限速区间 AB 段的总路程为80×0.3=24(km),因为最高车速为 120 km/h,所以在最高车速 120 km/h 下的行驶时间 $t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{24}{120}=\dfrac{1}{5}\ \mathrm{h}=12(\min)$,同理可得,在最低车速90 km/h 下的行驶时间为 $t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{24}{90}=\dfrac{4}{15}\ \mathrm{h}=16(\min)$,所以通过 AB 段限速区间的行驶时间应该在 12～16 min 之间,所以选项 C 符合题意.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确平均速度$ y $与行驶时间$ t $成反比例关系，需先求出限速区间AB的总路程（反比例函数中，路程$ s=yt $为定值）；再结合题目给出的限速范围（最高120km/h、最低90km/h），利用公式$ t=\frac{s}{v} $计算出对应的最小和最大行驶时间，确定时间的取值范围，最后对比选项选出符合条件的答案。
【解析】
解：因为平均行驶速度$ y $与行驶时间$ t $是反比例函数关系，设其关系式为$ y = \frac{k}{t} $。
从题图2中可知，当$ t = 0.3\ \mathrm{h} $时，$ y = 80\ \mathrm{km/h} $，代入关系式得：
$ k = y · t = 80 × 0.3 = 24 $，即限速区间AB的总路程$ s = 24\ \mathrm{km} $。
根据限速规定：最高车速$ v_{\mathrm{max}} = 120\ \mathrm{km/h} $，最低车速$ v_{\mathrm{min}} = 90\ \mathrm{km/h} $。
由$ t = \frac{s}{v} $可知，时间与速度成反比：
当速度最大时，行驶时间最小：$ t_{\mathrm{min}} = \frac{s}{v_{\mathrm{max}}} = \frac{24}{120} = 0.2\ \mathrm{h} = 12\ \mathrm{min} $；
当速度最小时，行驶时间最大：$ t_{\mathrm{max}} = \frac{s}{v_{\mathrm{min}}} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}\ \mathrm{h} = 16\ \mathrm{min} $。
因此，通过AB段的行驶时间范围为$ 12\ \mathrm{min} ＜ t ＜ 16\ \mathrm{min} $，对比选项，只有15min符合条件，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，路程速度时间关系
【点评】
本题结合区间测速的实际场景，考查反比例函数的实际应用，核心是先求区间总路程，再结合限速范围确定时间区间，题型贴近生活，难度适中，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确平均速度$ y $与行驶时间$ t $成反比例关系，需先求出限速区间AB的总路程（反比例函数中，路程$ s=yt $为定值）；再结合题目给出的限速范围（最高120km/h、最低90km/h），利用公式$ t=\frac{s}{v} $计算出对应的最小和最大行驶时间，确定时间的取值范围，最后对比选项选出符合条件的答案。
【解析】
解：因为平均行驶速度$ y $与行驶时间$ t $是反比例函数关系，设其关系式为$ y = \frac{k}{t} $。
从题图2中可知，当$ t = 0.3\ \mathrm{h} $时，$ y = 80\ \mathrm{km/h} $，代入关系式得：
$ k = y · t = 80 × 0.3 = 24 $，即限速区间AB的总路程$ s = 24\ \mathrm{km} $。
根据限速规定：最高车速$ v_{\mathrm{max}} = 120\ \mathrm{km/h} $，最低车速$ v_{\mathrm{min}} = 90\ \mathrm{km/h} $。
由$ t = \frac{s}{v} $可知，时间与速度成反比：
当速度最大时，行驶时间最小：$ t_{\mathrm{min}} = \frac{s}{v_{\mathrm{max}}} = \frac{24}{120} = 0.2\ \mathrm{h} = 12\ \mathrm{min} $；
当速度最小时，行驶时间最大：$ t_{\mathrm{max}} = \frac{s}{v_{\mathrm{min}}} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}\ \mathrm{h} = 16\ \mathrm{min} $。
因此，通过AB段的行驶时间范围为$ 12\ \mathrm{min} ＜ t ＜ 16\ \mathrm{min} $，对比选项，只有15min符合条件，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，路程速度时间关系
【点评】
本题结合区间测速的实际场景，考查反比例函数的实际应用，核心是先求区间总路程，再结合限速范围确定时间区间，题型贴近生活，难度适中，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
3. 某型号汽车行驶时功率一定,行驶速度$v(\mathrm{m/s})$与所受阻力$F(\mathrm{N})$是反比例函数关系,其图象如图所示. 若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为$30\ \mathrm{m/s}$,则所受阻力$F$为
2 500
$\mathrm{N}$.答案
3. 2 500
解析
【分析】
根据题意，速度v与阻力F成反比例函数关系，需先设反比例函数解析式，结合图像给出的已知点求出比例系数，再代入v=30m/s即可求出对应的阻力F。
【解析】
解：因为v与F是反比例函数关系，设解析式为 $ v = \frac{k}{F} $（k为常数，k≠0）。
由图像可知，当F=3750N时，v=20m/s，代入解析式得：
$ 20 = \frac{k}{3750} $
解得 $ k = 20 × 3750 = 75000 $，
因此函数解析式为 $ v = \frac{75000}{F} $。
当v=30m/s时，代入解析式得：
$ 30 = \frac{75000}{F} $
解得 $ F = \frac{75000}{30} = 2500 \, \mathrm{N} $。
【答案】
2500
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，核心是利用图像上的点确定函数解析式，再代入求值，属于基础应用题，难度较低。
【难度系数】
0.6
根据题意，速度v与阻力F成反比例函数关系，需先设反比例函数解析式，结合图像给出的已知点求出比例系数，再代入v=30m/s即可求出对应的阻力F。
【解析】
解：因为v与F是反比例函数关系，设解析式为 $ v = \frac{k}{F} $（k为常数，k≠0）。
由图像可知，当F=3750N时，v=20m/s，代入解析式得：
$ 20 = \frac{k}{3750} $
解得 $ k = 20 × 3750 = 75000 $，
因此函数解析式为 $ v = \frac{75000}{F} $。
当v=30m/s时，代入解析式得：
$ 30 = \frac{75000}{F} $
解得 $ F = \frac{75000}{30} = 2500 \, \mathrm{N} $。
【答案】
2500
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，核心是利用图像上的点确定函数解析式，再代入求值，属于基础应用题，难度较低。
【难度系数】
0.6
4. 心理学家研究发现，一般情况下，在一节
40 min 的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化. 开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散. 经过实验分析可知，学生的注意力指数 $y$ 随时间 $x$(min) 的变化规律如图所示，其中 $AB,BC$ 均为线段，$CD$ 为双曲线的一部分. 上课开始时，注意力指数为 20，第 10 min 时，注意力指数为40. 根据图象信息，若开始上课第 $t$ min 学生的注意力指数与下课时的注意力指数相等，则 $t$ 的值为
40 min 的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化. 开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散. 经过实验分析可知，学生的注意力指数 $y$ 随时间 $x$(min) 的变化规律如图所示，其中 $AB,BC$ 均为线段，$CD$ 为双曲线的一部分. 上课开始时，注意力指数为 20，第 10 min 时，注意力指数为40. 根据图象信息，若开始上课第 $t$ min 学生的注意力指数与下课时的注意力指数相等，则 $t$ 的值为
2.5
.答案
4. 2.5
解析
【分析】
要解决该问题，需先根据图像确定各段函数的解析式，再计算下课时的注意力指数，最后令该指数与对应时间段的函数值相等，求解t。步骤为：1. 求AB段线段的一次函数解析式；2. 求CD段双曲线的反比例函数解析式；3. 计算x=40时的注意力指数；4. 令AB段函数值等于该指数，求解t并验证取值范围。
【解析】
1. 求AB段的函数解析式：设AB段一次函数为$y=k_1x+b_1$，已知A(0,20)、B(10,40)，代入得：
当$x=0$时，$b_1=20$；当$x=10$时，$40=10k_1+20$，解得$k_1=2$，故AB段解析式为$y=2x+20$（$0≤ x≤10$）。
2. 求CD段的函数解析式：设CD段反比例函数为$y=\frac{k_2}{x}$，已知C(25,40)，代入得$40=\frac{k_2}{25}$，解得$k_2=1000$，故CD段解析式为$y=\frac{1000}{x}$（$25≤ x≤40$）。
3. 计算下课时的注意力指数：将$x=40$代入CD段解析式，得$y=\frac{1000}{40}=25$。
4. 求解t的值：令AB段函数值等于25，即$2t+20=25$，解得$t=2.5$，且$2.5\in[0,10]$，符合条件。
【答案】
2.5
【知识点】
一次函数解析式、反比例函数解析式、函数图像应用
【点评】
本题结合实际情境考查分段函数的应用，核心是分段求函数解析式，再根据题意建立方程求解，需注意自变量的取值范围，避免选错函数段。
【难度系数】
0.3
要解决该问题，需先根据图像确定各段函数的解析式，再计算下课时的注意力指数，最后令该指数与对应时间段的函数值相等，求解t。步骤为：1. 求AB段线段的一次函数解析式；2. 求CD段双曲线的反比例函数解析式；3. 计算x=40时的注意力指数；4. 令AB段函数值等于该指数，求解t并验证取值范围。
【解析】
1. 求AB段的函数解析式：设AB段一次函数为$y=k_1x+b_1$，已知A(0,20)、B(10,40)，代入得：
当$x=0$时，$b_1=20$；当$x=10$时，$40=10k_1+20$，解得$k_1=2$，故AB段解析式为$y=2x+20$（$0≤ x≤10$）。
2. 求CD段的函数解析式：设CD段反比例函数为$y=\frac{k_2}{x}$，已知C(25,40)，代入得$40=\frac{k_2}{25}$，解得$k_2=1000$，故CD段解析式为$y=\frac{1000}{x}$（$25≤ x≤40$）。
3. 计算下课时的注意力指数：将$x=40$代入CD段解析式，得$y=\frac{1000}{40}=25$。
4. 求解t的值：令AB段函数值等于25，即$2t+20=25$，解得$t=2.5$，且$2.5\in[0,10]$，符合条件。
【答案】
2.5
【知识点】
一次函数解析式、反比例函数解析式、函数图像应用
【点评】
本题结合实际情境考查分段函数的应用，核心是分段求函数解析式，再根据题意建立方程求解，需注意自变量的取值范围，避免选错函数段。
【难度系数】
0.3
5. 将某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图放在平面直角坐标系中(如图所示),其中 OD 为水面,滑梯 BC 段可看成是反比例函数图象的一部分,矩形 AOBE 为向上攀爬的梯子,梯子高 OA 为 6 m,宽 AB 为1 m,出口点 C 到 BE 的距离 CF 为 4 m.
(1) 求 BC 段所在反比例函数的表达式,并写出自变量的取值范围.
(2) 求点 C 到 x 轴的距离(CD 的长).
(3) 若滑梯 BC 上有一个小球 Q,小球 Q 距水面 OD 的高度不高于 3 m,求小球 Q到 BE 的距离 d 的取值范围.
(1) 求 BC 段所在反比例函数的表达式,并写出自变量的取值范围.
(2) 求点 C 到 x 轴的距离(CD 的长).
(3) 若滑梯 BC 上有一个小球 Q,小球 Q 距水面 OD 的高度不高于 3 m,求小球 Q到 BE 的距离 d 的取值范围.
答案
5. 解:(1) 设 BC 段所在的反比例函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}$,易知点 $B(1,6)$,所以 $6=\dfrac{k}{1}$,解得 $k=6$. 因为出口 C 点到 BE 的距离 CF 为4 m,所以 $OD=4+1=5$. 所以 BC 段所在的反比例函数表达式为 $y=\dfrac{6}{x}(1≤ x≤5).$
(2) 因为 $OD=5$,当 $x=5$ 时,$y=\dfrac{6}{5}$,所以点 C 到 $x$ 轴的距离 $CD$ 长为$\dfrac{6}{5}\ \mathrm{m}.$
(3) 因为小球 Q 距水面 OD 的高度不高于3 m,所以 $y≤3$,即$\dfrac{6}{x}≤3$,解得 $x≥2$,又因为 $1≤ x≤5$,所以 $2≤ x≤5$,易得小球 Q 到BE 的距离 $d=x-1$,所以小球 Q 到 BE 的距离的取值范围是 $1≤ d≤4.$
(2) 因为 $OD=5$,当 $x=5$ 时,$y=\dfrac{6}{5}$,所以点 C 到 $x$ 轴的距离 $CD$ 长为$\dfrac{6}{5}\ \mathrm{m}.$
(3) 因为小球 Q 距水面 OD 的高度不高于3 m,所以 $y≤3$,即$\dfrac{6}{x}≤3$,解得 $x≥2$,又因为 $1≤ x≤5$,所以 $2≤ x≤5$,易得小球 Q 到BE 的距离 $d=x-1$,所以小球 Q 到 BE 的距离的取值范围是 $1≤ d≤4.$
解析
【分析】
要解决这道题，需利用反比例函数的性质，结合图形中各点的位置关系逐步求解：
1. 求反比例函数表达式：先确定点B的坐标，代入反比例函数求出系数k，再根据CF的长度确定C点的横坐标，进而得到自变量的取值范围；
2. 求CD的长：利用C点在反比例函数上，将其横坐标代入表达式，求出对应的纵坐标，即为CD的长度；
3. 求d的取值范围：根据小球高度不高于3m的条件，结合反比例函数解出x的范围，再通过d与x的关系求出d的范围。
【解析】
(1) 设BC段所在反比例函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$。
因为矩形AOBE中，OA=6m，AB=1m，所以点B的坐标为$(1,6)$。
将$B(1,6)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$6=\dfrac{k}{1}$，解得$k=6$。
又因为出口C到BE的距离CF=4m，BE对应直线$x=1$，所以点C的横坐标为$1+4=5$，因此自变量x的取值范围是$1≤x≤5$。
故BC段的反比例函数表达式为$y=\dfrac{6}{x}(1≤x≤5)$。
(2) 点C在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$上，且C点横坐标为5，将$x=5$代入表达式，得$y=\dfrac{6}{5}$，即点C到x轴的距离CD为$\dfrac{6}{5}\ \mathrm{m}$。
(3) 小球Q距水面OD的高度不高于3m，即Q点纵坐标$y≤3$，代入$y=\dfrac{6}{x}$得$\dfrac{6}{x}≤3$。
因为$x＞0$，两边同乘x得$6≤3x$，解得$x≥2$。
结合BC段自变量x的范围$1≤x≤5$，得$2≤x≤5$。
又因为小球Q到BE的距离$d=x-1$（BE对应$x=1$），所以当$x=2$时，$d=1$；当$x=5$时，$d=4$，故d的取值范围是$1≤d≤4$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{6}{x}(1≤x≤5)$；(2) $\dfrac{6}{5}\ \mathrm{m}$；(3) $1≤d≤4$
【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，关键是根据图形确定各点坐标，利用反比例函数性质求解，需注意自变量的取值范围，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需利用反比例函数的性质，结合图形中各点的位置关系逐步求解：
1. 求反比例函数表达式：先确定点B的坐标，代入反比例函数求出系数k，再根据CF的长度确定C点的横坐标，进而得到自变量的取值范围；
2. 求CD的长：利用C点在反比例函数上，将其横坐标代入表达式，求出对应的纵坐标，即为CD的长度；
3. 求d的取值范围：根据小球高度不高于3m的条件，结合反比例函数解出x的范围，再通过d与x的关系求出d的范围。
【解析】
(1) 设BC段所在反比例函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$。
因为矩形AOBE中，OA=6m，AB=1m，所以点B的坐标为$(1,6)$。
将$B(1,6)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$6=\dfrac{k}{1}$，解得$k=6$。
又因为出口C到BE的距离CF=4m，BE对应直线$x=1$，所以点C的横坐标为$1+4=5$，因此自变量x的取值范围是$1≤x≤5$。
故BC段的反比例函数表达式为$y=\dfrac{6}{x}(1≤x≤5)$。
(2) 点C在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$上，且C点横坐标为5，将$x=5$代入表达式，得$y=\dfrac{6}{5}$，即点C到x轴的距离CD为$\dfrac{6}{5}\ \mathrm{m}$。
(3) 小球Q距水面OD的高度不高于3m，即Q点纵坐标$y≤3$，代入$y=\dfrac{6}{x}$得$\dfrac{6}{x}≤3$。
因为$x＞0$，两边同乘x得$6≤3x$，解得$x≥2$。
结合BC段自变量x的范围$1≤x≤5$，得$2≤x≤5$。
又因为小球Q到BE的距离$d=x-1$（BE对应$x=1$），所以当$x=2$时，$d=1$；当$x=5$时，$d=4$，故d的取值范围是$1≤d≤4$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{6}{x}(1≤x≤5)$；(2) $\dfrac{6}{5}\ \mathrm{m}$；(3) $1≤d≤4$
【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，关键是根据图形确定各点坐标，利用反比例函数性质求解，需注意自变量的取值范围，难度适中。
【难度系数】
0.6
