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1. 下面的图形分别是几边形？每个图形最少可以分成几个三角形？内角和的度数分别是多少？分一分,填一填。
(1)
(
内角和是(
(2)
(
内角和是(
(3)
(
内角和是(
(4)
(
内角和是(
我发现:①当多边形边数增加时,它的内角和随着(
②要想知道多边形的内角和,先看多边形最少可以分成几个(
(1)
(
2
)个三角形,内角和是(
360
)°。(2)
(
3
)个三角形,内角和是(
540
)°。(3)
(
4
)个三角形,内角和是(
720
)°。(4)
(
5
)个三角形,内角和是(
900
)°。我发现:①当多边形边数增加时,它的内角和随着(
增加
);如果多边形的边数增加一条,内角和就增加(180
)°。②要想知道多边形的内角和,先看多边形最少可以分成几个(
三角
)形。分成的三角形个数都比多边形的边数(少2
),因为一个三角形的内角和是(180
)°,所以多边形内角和的度数为:(180
)°×(多边形的边数-2)。答案
1. (1)四 2 $360$ (2)五 3 $540$
(3)六 4 $720$ (4)七 5 $900$
①增加 $180$
②三角 少2 $180$ $180$
(3)六 4 $720$ (4)七 5 $900$
①增加 $180$
②三角 少2 $180$ $180$
解析
【分析】
我们可以用从多边形的一个顶点向所有不相邻顶点连线的方法，得到数量最少的三角形，这是推导多边形内角和的经典思路。首先第一步数每个图形的边数，确定是几边形；第二步数出最少分割得到的三角形个数，能发现三角形个数和多边形边数的固定差值关系；第三步利用已知的三角形内角和180°，用三角形个数乘180°就能算出对应多边形的内角和，最后对比不同边数的计算结果，就能总结出多边形内角和的通用规律。
【解析】
1. 逐个计算对应图形的结果：
(1) 第一个图形有4条边，是四边形，从一个顶点向不相邻顶点连线，最少可以分出2个三角形，内角和为$2×180°=360°$；
(2) 第二个图形有5条边，是五边形，最少可以分出3个三角形，内角和为$3×180°=540°$；
(3) 第三个图形有6条边，是六边形，最少可以分出4个三角形，内角和为$4×180°=720°$；
(4) 第四个图形有7条边，是七边形，最少可以分出5个三角形，内角和为$5×180°=900°$。
2. 总结规律：
① 对比不同边数多边形的内角和可知，边数增加时内角和随之增加，每多1条边，就会多分出1个三角形，内角和就增加$180°$；
② 计算多边形内角和的核心是先确定最少能分出的三角形数量，分出的三角形个数始终比多边形边数少2，结合单个三角形内角和是$180°$，就能得到多边形内角和公式：$180°×(多边形的边数-2)$。
【答案】
(1)四 2 360 (2)五 3 540 (3)六 4 720 (4)七 5 900 ①增加 180 ②三角 少2 180 180
【知识点】
多边形内角和，三角形内角和，多边形分割
【点评】
本题是多边形内角和章节的基础推导类题型，通过动手分割图形的过程引导学生自主总结内角和公式，避免学生死记硬背结论，能很好地帮助学生理解多边形内角和公式的来源，夯实几何计算的基础。
【难度系数】
0.8
我们可以用从多边形的一个顶点向所有不相邻顶点连线的方法，得到数量最少的三角形，这是推导多边形内角和的经典思路。首先第一步数每个图形的边数，确定是几边形；第二步数出最少分割得到的三角形个数，能发现三角形个数和多边形边数的固定差值关系；第三步利用已知的三角形内角和180°，用三角形个数乘180°就能算出对应多边形的内角和，最后对比不同边数的计算结果，就能总结出多边形内角和的通用规律。
【解析】
1. 逐个计算对应图形的结果：
(1) 第一个图形有4条边，是四边形，从一个顶点向不相邻顶点连线，最少可以分出2个三角形，内角和为$2×180°=360°$；
(2) 第二个图形有5条边，是五边形，最少可以分出3个三角形，内角和为$3×180°=540°$；
(3) 第三个图形有6条边，是六边形，最少可以分出4个三角形，内角和为$4×180°=720°$；
(4) 第四个图形有7条边，是七边形，最少可以分出5个三角形，内角和为$5×180°=900°$。
2. 总结规律：
① 对比不同边数多边形的内角和可知，边数增加时内角和随之增加，每多1条边，就会多分出1个三角形，内角和就增加$180°$；
② 计算多边形内角和的核心是先确定最少能分出的三角形数量，分出的三角形个数始终比多边形边数少2，结合单个三角形内角和是$180°$，就能得到多边形内角和公式：$180°×(多边形的边数-2)$。
【答案】
(1)四 2 360 (2)五 3 540 (3)六 4 720 (4)七 5 900 ①增加 180 ②三角 少2 180 180
【知识点】
多边形内角和，三角形内角和，多边形分割
【点评】
本题是多边形内角和章节的基础推导类题型，通过动手分割图形的过程引导学生自主总结内角和公式，避免学生死记硬背结论，能很好地帮助学生理解多边形内角和公式的来源，夯实几何计算的基础。
【难度系数】
0.8
(1)小丁用两个完全相同的三角尺拼成一个较大的三角形,这个大三角形的内角和是(
180
)°;如果拼成一个平行四边形,这个平行四边形的内角和是(360
)°。答案
2.(1)$180$ $360$
解析
【分析】
我们可以分两步思考这道题：首先第一空，先判断拼接后得到的较大图形的类别，它仍然是三角形，我们已经学过任意三角形的内角和是固定值，不会因为拼接、大小改变；第二空，拼成的平行四边形属于四边形，回忆四边形的内角和规律，或者用多边形内角和公式计算就能得到结果。要注意不要错误把两个小三角尺的内角和直接相加当成大三角形的内角和，拼接时部分角会合并到大三角形的边上，不属于大三角形的内角。
【解析】
1. 求大三角形的内角和：
根据三角形内角和的基本性质，所有三角形的内角和都是180°，用两个完全相同的三角尺拼成的大三角形仍然属于三角形，因此它的内角和是180°。
2. 求平行四边形的内角和：
平行四边形是四边形，根据多边形内角和公式$内角和=(n-2)×180°$（n为多边形的边数），代入n=4，可得$(4-2)×180°=360°$，因此平行四边形的内角和是360°。
【答案】
180；360
【知识点】
三角形内角和，四边形内角和
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是部分同学会误以为拼接后的大三角形内角和是两个小三角尺内角和相加得到360°，解题时要牢记：图形的内角和只和图形的边数有关，和图形的大小、拼接方式无关。
【难度系数】
0.9
我们可以分两步思考这道题：首先第一空，先判断拼接后得到的较大图形的类别，它仍然是三角形，我们已经学过任意三角形的内角和是固定值，不会因为拼接、大小改变；第二空，拼成的平行四边形属于四边形，回忆四边形的内角和规律，或者用多边形内角和公式计算就能得到结果。要注意不要错误把两个小三角尺的内角和直接相加当成大三角形的内角和，拼接时部分角会合并到大三角形的边上，不属于大三角形的内角。
【解析】
1. 求大三角形的内角和：
根据三角形内角和的基本性质，所有三角形的内角和都是180°，用两个完全相同的三角尺拼成的大三角形仍然属于三角形，因此它的内角和是180°。
2. 求平行四边形的内角和：
平行四边形是四边形，根据多边形内角和公式$内角和=(n-2)×180°$（n为多边形的边数），代入n=4，可得$(4-2)×180°=360°$，因此平行四边形的内角和是360°。
【答案】
180；360
【知识点】
三角形内角和，四边形内角和
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是部分同学会误以为拼接后的大三角形内角和是两个小三角尺内角和相加得到360°，解题时要牢记：图形的内角和只和图形的边数有关，和图形的大小、拼接方式无关。
【难度系数】
0.9
(2)一个八边形的内角和是(
1080
)°,一个十二边形的内角和是(1800
)°。答案
2.(2)$1080$ $1800$
解析
【分析】
这道题考查多边形内角和的计算，我们首先回忆多边形内角和的推导逻辑：从n边形的一个顶点出发引出对角线，可以把n边形分割成(n-2)个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此就能得到n边形的内角和通用公式为$(n-2)×180°$。接下来只需要分别把八边形对应的边数n=8、十二边形对应的边数n=12代入这个公式，就可以直接算出对应的内角和数值。
【解析】
解：多边形内角和的通用计算公式为：$n边形内角和=(n-2)×180°$
1. 计算八边形的内角和：
将n=8代入公式，可得：
$(8-2)×180°=6×180°=1080°$
2. 计算十二边形的内角和：
将n=12代入公式，可得：
$(12-2)×180°=10×180°=1800°$
【答案】
1080 1800
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题属于多边形章节的基础题型，直接考查内角和公式的正向代入应用，没有设置变形陷阱，学生只要牢记多边形内角和的通用公式，代入对应边数即可快速算出结果，是需要熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.9
这道题考查多边形内角和的计算，我们首先回忆多边形内角和的推导逻辑：从n边形的一个顶点出发引出对角线，可以把n边形分割成(n-2)个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此就能得到n边形的内角和通用公式为$(n-2)×180°$。接下来只需要分别把八边形对应的边数n=8、十二边形对应的边数n=12代入这个公式，就可以直接算出对应的内角和数值。
【解析】
解：多边形内角和的通用计算公式为：$n边形内角和=(n-2)×180°$
1. 计算八边形的内角和：
将n=8代入公式，可得：
$(8-2)×180°=6×180°=1080°$
2. 计算十二边形的内角和：
将n=12代入公式，可得：
$(12-2)×180°=10×180°=1800°$
【答案】
1080 1800
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题属于多边形章节的基础题型，直接考查内角和公式的正向代入应用，没有设置变形陷阱，学生只要牢记多边形内角和的通用公式，代入对应边数即可快速算出结果，是需要熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.9
(3)一个多边形的内角和是1260°,它是一个(
九
)边形。答案
2.(3)九
解析
【分析】
要解决这道已知多边形内角和求边数的题目，首先回忆多边形内角和的通用计算公式：n边形的内角和为$(n-2) × 180°$，其中n是多边形的边数，且为不小于3的正整数。我们直接把已知的内角和1260°代入这个公式，通过解方程求出对应的n值，就能得到多边形的边数。
【解析】
解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2) × 180° = 1260°$
等式两边同时除以$180°$，可得：
$n - 2 = 1260° ÷ 180° = 7$
计算得：
$n = 7 + 2 = 9$
因此该多边形是九边形。
【答案】
九
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角和部分的基础题，仅考察对内角和公式的基础应用，计算难度极低，只要牢记公式代入数值即可顺利求解，属于必须掌握的送分题型。
【难度系数】
0.9
要解决这道已知多边形内角和求边数的题目，首先回忆多边形内角和的通用计算公式：n边形的内角和为$(n-2) × 180°$，其中n是多边形的边数，且为不小于3的正整数。我们直接把已知的内角和1260°代入这个公式，通过解方程求出对应的n值，就能得到多边形的边数。
【解析】
解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2) × 180° = 1260°$
等式两边同时除以$180°$，可得：
$n - 2 = 1260° ÷ 180° = 7$
计算得：
$n = 7 + 2 = 9$
因此该多边形是九边形。
【答案】
九
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角和部分的基础题，仅考察对内角和公式的基础应用，计算难度极低，只要牢记公式代入数值即可顺利求解，属于必须掌握的送分题型。
【难度系数】
0.9
3. (1)如图,∠2=∠3,∠1=70°,求∠2和∠3的度数。
(2)如图,在梯形ABCD中,AB=AD,未知角是多少度？
(2)如图,在梯形ABCD中,AB=AD,未知角是多少度？
答案
3. (1)$180°×(5-2)=540°$
$540°-90°-90°-70°=290°$
$290°÷2=145°$
答:$∠ 2$和$∠ 3$都是$145°$。
(2)$(180°-90°)÷2=45°$ $90°-45°=45°$
$180°-45°-60°=75°$
答:未知角是$75°$。
$540°-90°-90°-70°=290°$
$290°÷2=145°$
答:$∠ 2$和$∠ 3$都是$145°$。
(2)$(180°-90°)÷2=45°$ $90°-45°=45°$
$180°-45°-60°=75°$
答:未知角是$75°$。
解析
【分析】
先处理第(1)问：首先观察图形可知这是一个五边形，根据多边形内角和公式先算出五边形的总内角和，从图中能找到两个90°的直角，加上已知的∠1=70°，用总内角和减去这三个已知角的度数，就能得到∠2与∠3的度数和，再结合题目给出的∠2=∠3的条件，将度数和除以2就可以求出两个角各自的度数。
再处理第(2)问：首先该梯形是直角梯形，存在两个90°的内角，已知AB=AD，说明由AB、AD构成的三角形是等腰直角三角形，先算出等腰直角三角形的底角度数，再结合已知的60°角，利用三角形内角和为180°的性质，就能算出要求的未知角的度数。
【解析】
(1) 根据n边形内角和公式$180°×(n-2)$，五边形的总内角和为：
$180°×(5-2)=540°$
已知图形包含两个90°的直角，且∠1=70°，因此∠2与∠3的度数和为：
$540°-90°-90°-70°=290°$
结合∠2=∠3的条件，可得：
$∠2=∠3=290°÷2=145°$
(2) 该梯形为直角梯形，∠A=90°，由AB=AD可知△ABD是等腰直角三角形，其底角度数为：
$(180°-90°)÷2=45°$
直角梯形的∠B=90°，因此剩余的小角为：
$90°-45°=45°$
在包含未知角的三角形中，根据三角形内角和为180°，可得未知角为：
$180°-45°-60°=75°$
【答案】
(1) ∠2和∠3都是145°；(2) 未知角是75°
【知识点】
多边形内角和，等腰三角形性质，三角形内角和
【点评】
本题是基础的角度综合计算题，先后考察了多边形内角和的应用、直角梯形的特征、等腰三角形的性质，解题核心是理清已知角和未知角的数量关系，逐步推导即可，属于课内必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
先处理第(1)问：首先观察图形可知这是一个五边形，根据多边形内角和公式先算出五边形的总内角和，从图中能找到两个90°的直角，加上已知的∠1=70°，用总内角和减去这三个已知角的度数，就能得到∠2与∠3的度数和，再结合题目给出的∠2=∠3的条件，将度数和除以2就可以求出两个角各自的度数。
再处理第(2)问：首先该梯形是直角梯形，存在两个90°的内角，已知AB=AD，说明由AB、AD构成的三角形是等腰直角三角形，先算出等腰直角三角形的底角度数，再结合已知的60°角，利用三角形内角和为180°的性质，就能算出要求的未知角的度数。
【解析】
(1) 根据n边形内角和公式$180°×(n-2)$，五边形的总内角和为：
$180°×(5-2)=540°$
已知图形包含两个90°的直角，且∠1=70°，因此∠2与∠3的度数和为：
$540°-90°-90°-70°=290°$
结合∠2=∠3的条件，可得：
$∠2=∠3=290°÷2=145°$
(2) 该梯形为直角梯形，∠A=90°，由AB=AD可知△ABD是等腰直角三角形，其底角度数为：
$(180°-90°)÷2=45°$
直角梯形的∠B=90°，因此剩余的小角为：
$90°-45°=45°$
在包含未知角的三角形中，根据三角形内角和为180°，可得未知角为：
$180°-45°-60°=75°$
【答案】
(1) ∠2和∠3都是145°；(2) 未知角是75°
【知识点】
多边形内角和，等腰三角形性质，三角形内角和
【点评】
本题是基础的角度综合计算题，先后考察了多边形内角和的应用、直角梯形的特征、等腰三角形的性质，解题核心是理清已知角和未知角的数量关系，逐步推导即可，属于课内必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
