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12. 甲、乙、丙、丁四名学生的竞赛成绩(单位:分)如下:15,18,15,24. 按照组内离差平方和最小的分法,将竞赛成绩分成两组.
答案
12.解:将4个数据按从小到大排列:15,15,18,24.
把4个数据分成2组,共3种情况:
分组1:{15}和{15,18,24},平均数分别为15,$\frac{15+18+24}{3}=19$.
离差平方和:0,$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$.
组内离差平方和:$0+42=42$.
分组2:{15,15}和{18,24},平均数分别为$\frac{15+15}{2}=15$,$\frac{18+24}{2}=21$.
离差平方和:0,$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$.
组内离差平方和:$0+18=18$.
分组3:{15,15,18}和{24},平均数分别为$\frac{15+15+18}{3}=16,24$.
离差平方和:$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6,0$.
组内离差平方和:$6+0=6$.
$\because 6＜18＜42,\therefore$将竞赛成绩分成的两组是{15,15,18}和{24}.
把4个数据分成2组,共3种情况:
分组1:{15}和{15,18,24},平均数分别为15,$\frac{15+18+24}{3}=19$.
离差平方和:0,$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$.
组内离差平方和:$0+42=42$.
分组2:{15,15}和{18,24},平均数分别为$\frac{15+15}{2}=15$,$\frac{18+24}{2}=21$.
离差平方和:0,$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$.
组内离差平方和:$0+18=18$.
分组3:{15,15,18}和{24},平均数分别为$\frac{15+15+18}{3}=16,24$.
离差平方和:$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6,0$.
组内离差平方和:$6+0=6$.
$\because 6＜18＜42,\therefore$将竞赛成绩分成的两组是{15,15,18}和{24}.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确核心目标是找到组内离差平方和最小的分组方式。解题思路如下：第一步先将数据从小到大排序，方便后续分组；其次4个数据分成不考虑顺序的两组，共有3种分法：1个数据为一组+3个数据为一组的2种情况，2个数据为一组+2个数据为一组的1种情况；接下来对每种分组分别计算每组的平均数，再计算每组的离差平方和（组内每个数据与组平均数的差的平方之和），相加得到该分组的总组内离差平方和；最后比较3种分组的总离差平方和，数值最小的对应的分组即为所求。
【解析】
首先将4个数据按从小到大排列：15，15，18，24。
把4个数据分成2组，共有3种情况：
1. 分组1：$\{15\}$和$\{15,18,24\}$
两组平均数分别为：$15$，$\frac{15+18+24}{3}=19$
两组离差平方和分别为：$(15-15)^2=0$，$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$
该分组总组内离差平方和：$0+42=42$
2. 分组2：$\{15,15\}$和$\{18,24\}$
两组平均数分别为：$\frac{15+15}{2}=15$，$\frac{18+24}{2}=21$
两组离差平方和分别为：$(15-15)^2+(15-15)^2=0$，$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$
该分组总组内离差平方和：$0+18=18$
3. 分组3：$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
两组平均数分别为：$\frac{15+15+18}{3}=16$，$24$
两组离差平方和分别为：$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6$，$(24-24)^2=0$
该分组总组内离差平方和：$6+0=6$
因为$6＜18＜42$，所以总组内离差平方和最小的是分组3。
【答案】
$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，有理数大小比较
【点评】
本题结合统计基础计算考察分类讨论思想，需要学生完整枚举所有分组情况，细心完成每一步计算后对比结果，能够有效锻炼学生逻辑的严谨性和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确核心目标是找到组内离差平方和最小的分组方式。解题思路如下：第一步先将数据从小到大排序，方便后续分组；其次4个数据分成不考虑顺序的两组，共有3种分法：1个数据为一组+3个数据为一组的2种情况，2个数据为一组+2个数据为一组的1种情况；接下来对每种分组分别计算每组的平均数，再计算每组的离差平方和（组内每个数据与组平均数的差的平方之和），相加得到该分组的总组内离差平方和；最后比较3种分组的总离差平方和，数值最小的对应的分组即为所求。
【解析】
首先将4个数据按从小到大排列：15，15，18，24。
把4个数据分成2组，共有3种情况：
1. 分组1：$\{15\}$和$\{15,18,24\}$
两组平均数分别为：$15$，$\frac{15+18+24}{3}=19$
两组离差平方和分别为：$(15-15)^2=0$，$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$
该分组总组内离差平方和：$0+42=42$
2. 分组2：$\{15,15\}$和$\{18,24\}$
两组平均数分别为：$\frac{15+15}{2}=15$，$\frac{18+24}{2}=21$
两组离差平方和分别为：$(15-15)^2+(15-15)^2=0$，$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$
该分组总组内离差平方和：$0+18=18$
3. 分组3：$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
两组平均数分别为：$\frac{15+15+18}{3}=16$，$24$
两组离差平方和分别为：$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6$，$(24-24)^2=0$
该分组总组内离差平方和：$6+0=6$
因为$6＜18＜42$，所以总组内离差平方和最小的是分组3。
【答案】
$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，有理数大小比较
【点评】
本题结合统计基础计算考察分类讨论思想，需要学生完整枚举所有分组情况，细心完成每一步计算后对比结果，能够有效锻炼学生逻辑的严谨性和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
13.一组被墨水污染的数据:4,17,7,14,★,★,★,16,10,4,4,11,其箱线图如图所示.
下列说法不正确的是 （
A.这组数据的下四分位数是4
B.这组数据的中位数是10
C.这组数据的上四分位数是15
D.被墨水污染的数据中,一个数是3,一个数是18
下列说法不正确的是 （
B
）A.这组数据的下四分位数是4
B.这组数据的中位数是10
C.这组数据的上四分位数是15
D.被墨水污染的数据中,一个数是3,一个数是18
答案
13.B
解析
【分析】首先确定该组数据共12个，先从箱线图读取最值：最小值为3，最大值为18，由此确定三个被污染的数据包含3和18；再将已知数据结合3、18从小到大排序，根据12个数据的分位数计算规则：下四分位数为排序后第3个数据，中位数为第6、7个数据的平均数，上四分位数为第9个数据，结合箱线图信息补充完整缺失数据后，逐一判断选项即可。
【解析】
解：首先统计数据总个数：这组数据共12个。
1. 由箱线图可知，数据最小值为3，最大值为18，因此三个被墨水污染的数据一定包含3和18，故D选项说法正确，不符合题意。
2. 将已知数据与3、18从小到大初步排序：3，4，4，4，7，10，11，14，16，17，18，还剩1个未知数据。
3. 计算各分位数位置：
下四分位数位置：$12×25\%=3$，即排序后第3个数据。由初步排序可知第3个数据为4，因此下四分位数是4，A选项说法正确，不符合题意。
上四分位数位置：$12×75\%=9$，即排序后第9个数据。结合箱线图可知上四分位数为15，因此缺失的未知数据就是15，完整排序为：3，4，4，4，7，10，11，14，15，16，17，18，因此上四分位数是15，C选项说法正确，不符合题意。
中位数为第6、7个数据的平均数：第6个是10，第7个是11，中位数为$\frac{10+11}{2}=10.5≠10$，因此B选项说法错误，符合题意。
【答案】B
【知识点】箱线图的认识,中位数的计算,四分位数的计算
【点评】本题考查统计中箱线图的应用，解题的核心是能从箱线图读取最值、四分位数等信息，结合数据排序和分位数计算规则分析判断，需要学生掌握基本的统计量计算方法。
【难度系数】0.7
【解析】
解：首先统计数据总个数：这组数据共12个。
1. 由箱线图可知，数据最小值为3，最大值为18，因此三个被墨水污染的数据一定包含3和18，故D选项说法正确，不符合题意。
2. 将已知数据与3、18从小到大初步排序：3，4，4，4，7，10，11，14，16，17，18，还剩1个未知数据。
3. 计算各分位数位置：
下四分位数位置：$12×25\%=3$，即排序后第3个数据。由初步排序可知第3个数据为4，因此下四分位数是4，A选项说法正确，不符合题意。
上四分位数位置：$12×75\%=9$，即排序后第9个数据。结合箱线图可知上四分位数为15，因此缺失的未知数据就是15，完整排序为：3，4，4，4，7，10，11，14，15，16，17，18，因此上四分位数是15，C选项说法正确，不符合题意。
中位数为第6、7个数据的平均数：第6个是10，第7个是11，中位数为$\frac{10+11}{2}=10.5≠10$，因此B选项说法错误，符合题意。
【答案】B
【知识点】箱线图的认识,中位数的计算,四分位数的计算
【点评】本题考查统计中箱线图的应用，解题的核心是能从箱线图读取最值、四分位数等信息，结合数据排序和分位数计算规则分析判断，需要学生掌握基本的统计量计算方法。
【难度系数】0.7
14.某小组8名学生的数学考试成绩(单位:分)分别为88,98,87,92,92,90,91,96.老师决定将这些成绩分为两组,以便更好地分析学生的成绩分布.若按如下方法分组:第一组{87,88,90,91,92,92},第二组{96,98},则组内离差平方和为
24
.答案
14.24
解析
【分析】
要计算组内离差平方和，首先明确计算规则：分别求出每组数据的平均数，再计算每组中每个数据与本组平均数的差的平方之和，最后将两组的离差平方和相加即可得到结果。解题时先算第一组的平均数和离差平方和，再算第二组的对应值，最后求和即可。
【解析】
1. 计算第一组的离差平方和：
第一组数据为$\{87,88,90,91,92,92\}$，共6个数据
第一组平均数：$\overline{x_1}=\frac{87+88+90+91+92+92}{6}=\frac{540}{6}=90$
第一组离差平方和：
$\begin{aligned}S_1&=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2\\&=9+4+0+1+4+4=22\end{aligned}$
2. 计算第二组的离差平方和：
第二组数据为$\{96,98\}$，共2个数据
第二组平均数：$\overline{x_2}=\frac{96+98}{2}=97$
第二组离差平方和：
$\begin{aligned}S_2&=(96-97)^2+(98-97)^2\\&=1+1=2\end{aligned}$
3. 总组内离差平方和：$S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题属于统计基础计算题，核心是理解组内离差平方和的计算逻辑，计算过程中要注意平均数求解准确，平方运算不要出错，只要掌握基本统计量的计算方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要计算组内离差平方和，首先明确计算规则：分别求出每组数据的平均数，再计算每组中每个数据与本组平均数的差的平方之和，最后将两组的离差平方和相加即可得到结果。解题时先算第一组的平均数和离差平方和，再算第二组的对应值，最后求和即可。
【解析】
1. 计算第一组的离差平方和：
第一组数据为$\{87,88,90,91,92,92\}$，共6个数据
第一组平均数：$\overline{x_1}=\frac{87+88+90+91+92+92}{6}=\frac{540}{6}=90$
第一组离差平方和：
$\begin{aligned}S_1&=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2\\&=9+4+0+1+4+4=22\end{aligned}$
2. 计算第二组的离差平方和：
第二组数据为$\{96,98\}$，共2个数据
第二组平均数：$\overline{x_2}=\frac{96+98}{2}=97$
第二组离差平方和：
$\begin{aligned}S_2&=(96-97)^2+(98-97)^2\\&=1+1=2\end{aligned}$
3. 总组内离差平方和：$S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题属于统计基础计算题，核心是理解组内离差平方和的计算逻辑，计算过程中要注意平均数求解准确，平方运算不要出错，只要掌握基本统计量的计算方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
15.某校选拔14名学生参加市运动会，测量其心率的统计结果如下表所示.
则这组数据的下四分位数为
则这组数据的下四分位数为
68
.答案
15.68
解析
【分析】
要求这组数据的下四分位数，需按照百分位数的计算步骤求解：首先统计数据总个数n，再计算下四分位数（即第25百分位数）对应的位置：n×25%，若结果为整数，则下四分位数为该位置和后一位置数据的平均数；若结果不是整数，向上取整后对应位置的数据即为下四分位数，最后结合频数表找到对应位置的心率即可。
【解析】
第一步：计算参与统计的总人数：$2+3+4+4+1=14$
第二步：计算下四分位数的位置：$14×25\% = 3.5$
第三步：由于3.5不是整数，向上取整得4，即下四分位数为将数据从小到大排序后第4位的数值
第四步：结合频数表排序可知，前2个数据为60，第3~第$2+3=5$个数据均为68，因此第4位的数据是68。
【答案】
68
【知识点】
下四分位数计算，频数统计表应用，百分位数概念
【点评】
本题考查下四分位数的求解，核心是掌握百分位数的位置计算规则，结合频数分布表准确找到对应位置的数据即可，解题时要注意位置非整数时需向上取整，避免出错。
【难度系数】
0.7
要求这组数据的下四分位数，需按照百分位数的计算步骤求解：首先统计数据总个数n，再计算下四分位数（即第25百分位数）对应的位置：n×25%，若结果为整数，则下四分位数为该位置和后一位置数据的平均数；若结果不是整数，向上取整后对应位置的数据即为下四分位数，最后结合频数表找到对应位置的心率即可。
【解析】
第一步：计算参与统计的总人数：$2+3+4+4+1=14$
第二步：计算下四分位数的位置：$14×25\% = 3.5$
第三步：由于3.5不是整数，向上取整得4，即下四分位数为将数据从小到大排序后第4位的数值
第四步：结合频数表排序可知，前2个数据为60，第3~第$2+3=5$个数据均为68，因此第4位的数据是68。
【答案】
68
【知识点】
下四分位数计算，频数统计表应用，百分位数概念
【点评】
本题考查下四分位数的求解，核心是掌握百分位数的位置计算规则，结合频数分布表准确找到对应位置的数据即可，解题时要注意位置非整数时需向上取整，避免出错。
【难度系数】
0.7
16.某银行有A和B两个理财产品经营团队，2025年上半年这两个团队分别负责经营12项理财产品，收益率(单位：%)如下：
A 4.77 3.98 4.88 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
某同学想要利用四分位数分析A,B两个团队的经营水平，下表是其计算的两个团队理财产品收益率的四分位数.
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中$a=$
(2)该同学基于四分位数绘制了团队A理财产品收益率的箱线图，如图所示.请你根据团队A的箱线图，在图中补全团队B的箱线图，并结合箱线图从总体经营效益、稳健度方面，对A,B两个团队的经营水平作出评价.
A 4.77 3.98 4.88 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
某同学想要利用四分位数分析A,B两个团队的经营水平，下表是其计算的两个团队理财产品收益率的四分位数.
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中$a=$
3.635
$,b=$4.125
.(2)该同学基于四分位数绘制了团队A理财产品收益率的箱线图，如图所示.请你根据团队A的箱线图，在图中补全团队B的箱线图，并结合箱线图从总体经营效益、稳健度方面，对A,B两个团队的经营水平作出评价.
答案
16.(1)3.635 4.125
(2)解:如图所示.
通过箱线图,可知团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等,
故两个团队的经营效益基本一样.
但团队A的产品收益率明显比团队B产品收益率的波动大,
即团队B的经营水平更稳健,故对于稳健型的投资者,
选择团队B的理财产品更合适.
解析
【分析】
1. 第一问求四分位数，解题思路：先将对应团队的收益率数据按从小到大排序，再根据四分位数计算规则求解：数据个数n=12时，25%分位数是第3和第4个数据的平均数，75%分位数是第9和第10个数据的平均数，代入数据即可算出a、b的值。
2. 第二问补全箱线图并评价，首先要找到团队B收益率的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这5个特征值，对应画出箱线图；评价时从中位数判断总体经营效益，从数据波动范围判断经营稳健度。
【解析】
(1) 先将团队B的12个收益率数据从小到大排列：3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44。
数据总个数n=12，计算分位数位置：
25%×12=3，因此下四分位数$a$为第3、4个数据的平均数：
$a=\frac{3.60+3.67}{2}=3.635$
75%×12=9，因此上四分位数$b$为第9、10个数据的平均数：
$b=\frac{4.10+4.15}{2}=4.125$
(2) 先确定团队B收益率的5个特征值：最小值3.18、下四分位数3.635、中位数$\frac{3.87+3.91}{2}=3.89$、上四分位数4.125、最大值4.44，据此补全箱线图：
评价：从箱线图可见，团队A和B的收益率中位数接近，说明二者总体经营效益基本一致；团队A的收益率波动范围远大于团队B，说明团队B经营更稳健，更适合稳健型投资者选择。
【答案】
(1) $3.635$；$4.125$
(2)
通过箱线图,可知团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等,故两个团队的经营效益基本一样。但团队A的产品收益率明显比团队B产品收益率的波动大,即团队B的经营水平更稳健,故对于稳健型的投资者,选择团队B的理财产品更合适。
【知识点】
四分位数计算，箱线图，数据分析
【点评】
本题结合理财实际场景考查统计知识应用，既要求掌握四分位数的基础计算方法，也需要能通过箱线图解读数据特征，体现了统计知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
1. 第一问求四分位数，解题思路：先将对应团队的收益率数据按从小到大排序，再根据四分位数计算规则求解：数据个数n=12时，25%分位数是第3和第4个数据的平均数，75%分位数是第9和第10个数据的平均数，代入数据即可算出a、b的值。
2. 第二问补全箱线图并评价，首先要找到团队B收益率的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这5个特征值，对应画出箱线图；评价时从中位数判断总体经营效益，从数据波动范围判断经营稳健度。
【解析】
(1) 先将团队B的12个收益率数据从小到大排列：3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44。
数据总个数n=12，计算分位数位置：
25%×12=3，因此下四分位数$a$为第3、4个数据的平均数：
$a=\frac{3.60+3.67}{2}=3.635$
75%×12=9，因此上四分位数$b$为第9、10个数据的平均数：
$b=\frac{4.10+4.15}{2}=4.125$
(2) 先确定团队B收益率的5个特征值：最小值3.18、下四分位数3.635、中位数$\frac{3.87+3.91}{2}=3.89$、上四分位数4.125、最大值4.44，据此补全箱线图：
评价：从箱线图可见，团队A和B的收益率中位数接近，说明二者总体经营效益基本一致；团队A的收益率波动范围远大于团队B，说明团队B经营更稳健，更适合稳健型投资者选择。
【答案】
(1) $3.635$；$4.125$
(2)
通过箱线图,可知团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等,故两个团队的经营效益基本一样。但团队A的产品收益率明显比团队B产品收益率的波动大,即团队B的经营水平更稳健,故对于稳健型的投资者,选择团队B的理财产品更合适。
【知识点】
四分位数计算，箱线图，数据分析
【点评】
本题结合理财实际场景考查统计知识应用，既要求掌握四分位数的基础计算方法，也需要能通过箱线图解读数据特征，体现了统计知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
