登录
一、选择题
1. 下列各题中，分解因式正确的是 （）
① $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$； ② $9a^2 - 12ab + 4b^2 = (3a - 2)^2$；
③ $y^3 - y = y(y + 1)(y - 1)$
A.①②③
B.①③
C.①
D.②③
1. 下列各题中，分解因式正确的是 （）
① $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$； ② $9a^2 - 12ab + 4b^2 = (3a - 2)^2$；
③ $y^3 - y = y(y + 1)(y - 1)$
A.①②③
B.①③
C.①
D.②③
答案
B
解析
①$x^2 - 4x + 4=(x-2)^2$，分解正确；②$9a^2 -12ab +4b^2=(3a-2b)^2≠(3a-2)^2$，分解错误；③$y^3 - y=y(y^2 -1)=y(y+1)(y-1)$，分解正确。故正确的是①③，对应选项B。
2. 下列多项式中，不能用公式法因式分解的是 （）
A.$\frac{1}{4}x^2 - xy + y^2$
B.$x^2 + 2xy + y^2$
C.$-x^2 + y^2$
D.$x^2 + xy + y^2$
A.$\frac{1}{4}x^2 - xy + y^2$
B.$x^2 + 2xy + y^2$
C.$-x^2 + y^2$
D.$x^2 + xy + y^2$
答案
D
解析
公式法因式分解常用完全平方公式和平方差公式。A选项：$\frac{1}{4}x^2 - xy + y^2 = (\frac{1}{2}x - y)^2$，可用完全平方公式分解；B选项：$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$，可用完全平方公式分解；C选项：$-x^2 + y^2 = (y - x)(y + x)$，可用平方差公式分解；D选项：$x^2 + xy + y^2$，不符合公式法分解条件，不能用公式法因式分解。
3. 计算 $2014^2 - 4024 × 2014 + 2012^2$ 等于（）
A.2
B.4
C.6
D.8
A.2
B.4
C.6
D.8
答案
B
解析
将原式变形，中间项$4024×2014=2×2012×2014$，原式符合完全平方差公式$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$，其中$a=2014$，$b=2012$，代入得$(2014 - 2012)^2=2^2=4$。
4. 已知$x-\dfrac{1}{x}=3$，则$x^2+\dfrac{1}{x^2}$的值 （）
A.9
B.7
C.11
D.不能确定
A.9
B.7
C.11
D.不能确定
答案
C
解析
根据完全平方公式，$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2·x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2$。将$x - \frac{1}{x}=3$代入，得$3^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2$，即$9 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2$，解得$x^2 + \frac{1}{x^2}=11$。
5. 三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$(a - c)^2 + (a - c)b = 0$，则这个三角形是（）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.形状不能确定
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.形状不能确定
答案
A
解析
对等式左边因式分解得$(a - c)(a - c + b)=0$，根据三角形边长性质，$a + b - c＞0$，故$a - c=0$即$a=c$，因此该三角形是等腰三角形。
6. 已知代数式$-3a^2 + 6a - 3$，不论$a$取何值，它的值一定是（）
A.正数
B.负数
C.非负数
D.非正数
A.正数
B.负数
C.非负数
D.非正数
答案
D
解析
先对代数式因式分解：$-3a^2 +6a -3 = -3(a^2 -2a +1) = -3(a-1)^2$。因为$(a-1)^2≥0$，所以$-3(a-1)^2≤0$，即该代数式的值一定是非正数。
7. 计算：$50.8^2 - 49.2^2 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
160
解析
利用平方差公式 $a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，将原式变形计算：
$50.8^2 - 49.2^2=(50.8 - 49.2)(50.8 + 49.2)=1.6×100=160$
$50.8^2 - 49.2^2=(50.8 - 49.2)(50.8 + 49.2)=1.6×100=160$
8.若$a^2 - b^2 = 9$，$a + b = 9$，则$a - b =$.
答案
1
解析
根据平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。将$a^2 - b^2=9$，$a + b=9$代入公式，可得$9 = 9×(a - b)$，两边同时除以9，解得$a - b=1$。
9. 一个长方形的面积是$(x^2 - 9)$平方米，其长为$(x + 3)$米，用含有$x$的整式表示它的宽为$\underline{\hspace{5em}}$米。
答案
$x - 3$
解析
根据长方形的面积公式，宽 = 面积÷长。已知面积为$x^2 - 9$，长为$x + 3$，利用平方差公式分解因式得$x^2 - 9=(x + 3)(x - 3)$，因此宽为$(x^2 - 9)÷(x + 3)=(x + 3)(x - 3)÷(x + 3)=x - 3$。
10. (1) 若$ m + n = 10 $，$ mn = 24 $，则$ m^2 + n^2 = \_\_\_\_\_\_ $。
(2) 若$ a - b = 13 $，$ a^2 - b^2 = 39 $，则$ (a + b)^2 = \_\_\_\_\_\_ $。
(2) 若$ a - b = 13 $，$ a^2 - b^2 = 39 $，则$ (a + b)^2 = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
(1) 52；(2) 9
解析
(1) 根据完全平方公式$ m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn $，将$ m + n = 10 $，$ mn = 24 $代入得：$ 10^2 - 2×24 = 100 - 48 = 52 $；(2) 根据平方差公式$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $，已知$ a - b = 13 $，$ a^2 - b^2 = 39 $，则$ a + b = 39÷13 = 3 $，所以$ (a + b)^2 = 3^2 = 9 $。
11. 无论 $ x $ 取何值，代数式 $ x^2 + 2x + 5 $ 的值不小于 ______.
答案
4
解析
对代数式$x^2 + 2x + 5$配方，可得：$x^2 + 2x +5=(x^2 +2x +1)+4=(x+1)^2 +4$。因为无论$x$取何值，$(x+1)^2≥0$，所以$(x+1)^2 +4≥4$，即代数式的值不小于4。
12. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码. 有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆. 原理是：如对于多项式 $x^4 - y^4$，因式分解的结果是 $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$，若取 $x = 9$，$y = 9$ 时，则各个因式的值是 $x - y = 0$，$x + y = 18$，$x^2 + y^2 = 162$，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 对于多项式 $4x^3 - xy^2$，取 $x = 10$，$y = 10$ 时，用上述方法产生的密码是 ______.（写出一个即可）
答案
101030（答案不唯一，如103010、301010均可）
解析
先对多项式$4x^3 - xy^2$因式分解：第一步提取公因式$x$，得$x(4x^2 - y^2)$；第二步利用平方差公式分解$4x^2 - y^2=(2x - y)(2x + y)$，故原式因式分解结果为$x(2x - y)(2x + y)$。将$x=10$，$y=10$代入各因式，得$x=10$，$2x - y=2×10 - 10=10$，$2x + y=2×10 + 10=30$，将各因式的值按顺序组合成六位数密码即可。
三、解答题
13. 将下列各式分解因式：
(1) $2m - 2m^5$；
(2) $-\dfrac{1}{3}x^2 + 3y^2$；
(3) $x^3 - 2x^2 + x$；
(4) $(m + 2n)^2 - 6(m + 2n)(2m - n) + 9(n - 2m)^2$。
13. 将下列各式分解因式：
(1) $2m - 2m^5$；
(2) $-\dfrac{1}{3}x^2 + 3y^2$；
(3) $x^3 - 2x^2 + x$；
(4) $(m + 2n)^2 - 6(m + 2n)(2m - n) + 9(n - 2m)^2$。
答案
(1) $2m(1 + m^2)(1 - m)(1 + m)$；
(2) $\frac{1}{3}(3y - x)(3y + x)$；
(3) $x(x - 1)^2$；
(4) $25(m - n)^2$；
(2) $\frac{1}{3}(3y - x)(3y + x)$；
(3) $x(x - 1)^2$；
(4) $25(m - n)^2$；
解析
(1) 先提取公因式$2m$，再利用平方差公式分解：
$2m - 2m^5 = 2m(1 - m^4) = 2m(1 + m^2)(1 - m^2) = 2m(1 + m^2)(1 - m)(1 + m)$；
(2) 先提取公因式$\frac{1}{3}$，再利用平方差公式分解：
$-\frac{1}{3}x^2 + 3y^2 = \frac{1}{3}(9y^2 - x^2) = \frac{1}{3}(3y - x)(3y + x)$；
(3) 先提取公因式$x$，再利用完全平方公式分解：
$x^3 - 2x^2 + x = x(x^2 - 2x + 1) = x(x - 1)^2$；
(4) 先将$(n - 2m)^2$变形为$(2m - n)^2$，再利用完全平方公式分解：
$(m + 2n)^2 - 6(m + 2n)(2m - n) + 9(n - 2m)^2 = (m + 2n)^2 - 6(m + 2n)(2m - n) + 9(2m - n)^2 = [(m + 2n) - 3(2m - n)]^2 = (m + 2n - 6m + 3n)^2 = (-5m + 5n)^2 = 25(m - n)^2$；
$2m - 2m^5 = 2m(1 - m^4) = 2m(1 + m^2)(1 - m^2) = 2m(1 + m^2)(1 - m)(1 + m)$；
(2) 先提取公因式$\frac{1}{3}$，再利用平方差公式分解：
$-\frac{1}{3}x^2 + 3y^2 = \frac{1}{3}(9y^2 - x^2) = \frac{1}{3}(3y - x)(3y + x)$；
(3) 先提取公因式$x$，再利用完全平方公式分解：
$x^3 - 2x^2 + x = x(x^2 - 2x + 1) = x(x - 1)^2$；
(4) 先将$(n - 2m)^2$变形为$(2m - n)^2$，再利用完全平方公式分解：
$(m + 2n)^2 - 6(m + 2n)(2m - n) + 9(n - 2m)^2 = (m + 2n)^2 - 6(m + 2n)(2m - n) + 9(2m - n)^2 = [(m + 2n) - 3(2m - n)]^2 = (m + 2n - 6m + 3n)^2 = (-5m + 5n)^2 = 25(m - n)^2$；
