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四、拓展题
13. 如图1，将$△ ABC$纸片沿中位线$EH$折叠，使点$A$落在$BC$边上，记为$D$，再将纸片分别沿等腰$△ BED$和等腰$△ DHC$的底边上的高线$EF$，$HG$折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形。
(1) 将$□ ABCD$纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形$AEFG$，则操作形成的折痕分别是线段________，________，$S_{AEFG}: S_{□ ABCD}=\_\_\_\_\_\_$；
(2) $□ ABCD$纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形$EFGH$，若$EF=9$，$EH=12$. 求$AD$的长；
(3) 如图4，直角梯形$ABCD$纸片满足$AD// BC$，$AD＜BC$，$AB⊥ BC$，$AB=12$，$CD=13$，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并直接写出$AD$，$BC$的长. (写出一种即可)
13. 如图1，将$△ ABC$纸片沿中位线$EH$折叠，使点$A$落在$BC$边上，记为$D$，再将纸片分别沿等腰$△ BED$和等腰$△ DHC$的底边上的高线$EF$，$HG$折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形。
(1) 将$□ ABCD$纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形$AEFG$，则操作形成的折痕分别是线段________，________，$S_{AEFG}: S_{□ ABCD}=\_\_\_\_\_\_$；
(2) $□ ABCD$纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形$EFGH$，若$EF=9$，$EH=12$. 求$AD$的长；
(3) 如图4，直角梯形$ABCD$纸片满足$AD// BC$，$AD＜BC$，$AB⊥ BC$，$AB=12$，$CD=13$，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并直接写出$AD$，$BC$的长. (写出一种即可)
答案
(1) AE，GF，1:2；(2) 15；(3) 示意图略，AD=7，BC=12
解析
(1) 根据图2的折叠操作，形成的折痕是线段AE和GF；折叠后矩形AEFG的面积为平行四边形ABCD面积的一半，故面积比为1:2。(2) 四边形EFGH是矩形，EF=9，EH=12，在Rt△EFH中，由勾股定理得FH=√(9²+12²)=15；根据折叠性质，AD=FH，因此AD=15。(3) 过D作DM⊥BC于M，因AD//BC，AB⊥BC，故DM=AB=12，四边形ABMD为矩形，AD=BM；在Rt△DMC中，MC=√(13²-12²)=5。设叠合正方形边长为12，折叠后BC=AD+5，结合正方形边长得AD=7，BC=12，叠合正方形示意图略。
