9. 如图所示，在一张矩形纸片ABCD中，$AD=2\ \mathrm{cm}$，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为________.

$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$

设矩形ABCD中，CD=AB=x cm，建立平面直角坐标系，令A(0,0)，B(x,0)，D(0,2)，C(x,2)，则E(x/2,2)，F(x/2,0)，EF为直线x=x/2。由折叠性质得AG=AB=x，点G在EF上，故G(x/2,g)，由AG=x得：$\sqrt{(\frac{x}{2})^2+g^2}=x$，解得$g=\frac{\sqrt{3}x}{2}$，即$G(\frac{x}{2},\frac{\sqrt{3}x}{2})$。设H在BC上，坐标为(x,h)，由折叠得HG=BH，BH=h，HG=$\sqrt{(x-\frac{x}{2})^2+(h-\frac{\sqrt{3}x}{2})^2}$，故$\sqrt{\frac{x^2}{4}+(h-\frac{\sqrt{3}x}{2})^2}=h$，化简得$h=\frac{x}{\sqrt{3}}$，即$H(x,\frac{x}{\sqrt{3}})$。因D、G、H共线，故DG与GH斜率相等：DG斜率为$\frac{\frac{\sqrt{3}x}{2}-2}{\frac{x}{2}-0}=\frac{\sqrt{3}x-4}{x}$，GH斜率为$\frac{\frac{x}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}x}{2}}{x-\frac{x}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，联立得$\frac{\sqrt{3}x-4}{x}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$x=\sqrt{3}$，即CD的长为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。

10. 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上. 若裁剪过程中满足$DE = DA$，则“机翼角”$∠ BAE$的度数为$\underline{\hspace{5cm}}$.

22.5°

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，∠ADB=45°。
又∵DE=DA，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠DAE=∠DEA=(180°−∠ADB)÷2=(180°−45°)÷2=67.5°，
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=90°−67.5°=22.5°。

三、解答题
11. 如图所示，已知在$□ ABCD$中，$O$为对角线$BD$的中点，过点$O$的直线$EF$分别交$AD$，$BC$于点$E$，$F$，连接$BE$，$DF$.
（1）求证：$△ DOE ≌ △ BOF$；
（2）当$∠ DOE$等于多少度时，四边形$BFDE$为菱形？请说明理由.

（1）证明成立；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由见上述解析。

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠EDO=∠FBO。∵O为BD的中点，∴DO=BO。在△DOE和△BOF中，$\{\begin{array}{l}∠EDO=∠FBO \\ DO=BO \\ ∠DOE=∠BOF\end{array} $，∴△DOE≌△BOF（ASA）。（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形。理由：由（1）知△DOE≌△BOF，∴OE=OF，又∵DO=BO，∴四边形BFDE是平行四边形。∵∠DOE=90°，∴EF⊥BD，∴平行四边形BFDE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

12. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作$DE ⊥ BD$交BC的延长线于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ACED为平行四边形；
（2）若$AC=6$，$BD=8$，求OE的长.

（1）证明见上述解析；（2）OE的长为2√13。

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD//BC，即AD//CE，且AC⊥BD，∵DE⊥BD，∴AC//DE，∴四边形ACED中，AD//CE，AC//DE，故四边形ACED为平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，∴OC=1/2AC=3，OD=1/2BD=4，且AC⊥BD，由（1）知四边形ACED是平行四边形，∴DE=AC=6，∵DE⊥BD，∴∠ODE=90°，在Rt△ODE中，根据勾股定理：OE=√(OD² + DE²)=√(4² + 6²)=√52=2√13。