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9. 用一根长 72 厘米的铁丝做一个长方体框架，量得长是 10 厘米，宽是 5 厘米，高是(
3
)厘米。在它的表面贴一层纸板做成一个长方体盒子，至少需要(190
)平方厘米的纸板。答案
3
190
190
解析
【分析】
要解决这道题，我们分两步思考：
1. 求长方体的高：长方体框架由12条棱组成，包含4条长、4条宽、4条高，棱长总和=4×(长+宽+高)。已知铁丝总长（棱长总和）为72厘米，先求出一组长、宽、高的和，再减去已知的长和宽，即可得到高。
2. 求贴纸板的面积：这是求长方体的表面积，长方体表面积公式为（长×宽+长×高+宽×高）×2，代入已求出的高和已知的长、宽，就能计算出所需纸板的面积。
【解析】
1. 计算长方体的高：
根据长方体棱长总和公式，一组长、宽、高的和为：$72÷4 = 18$（厘米）
已知长是10厘米，宽是5厘米，所以高为：$18 - 10 - 5 = 3$（厘米）
2. 计算长方体的表面积：
代入长方体表面积公式：
$\begin{aligned}&(10×5 + 10×3 + 5×3)×2\\=&(50 + 30 + 15)×2\\=&95×2\\=&190（平方厘米）\end{aligned}$
【答案】
3；190
【知识点】
长方体棱长总和公式，长方体表面积公式
【点评】
本题考查长方体棱长总和与表面积的实际应用，需要牢记相关公式，明确棱长总和与各棱的关系、表面积的计算逻辑，计算时注意运算顺序和准确性。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们分两步思考：
1. 求长方体的高：长方体框架由12条棱组成，包含4条长、4条宽、4条高，棱长总和=4×(长+宽+高)。已知铁丝总长（棱长总和）为72厘米，先求出一组长、宽、高的和，再减去已知的长和宽，即可得到高。
2. 求贴纸板的面积：这是求长方体的表面积，长方体表面积公式为（长×宽+长×高+宽×高）×2，代入已求出的高和已知的长、宽，就能计算出所需纸板的面积。
【解析】
1. 计算长方体的高：
根据长方体棱长总和公式，一组长、宽、高的和为：$72÷4 = 18$（厘米）
已知长是10厘米，宽是5厘米，所以高为：$18 - 10 - 5 = 3$（厘米）
2. 计算长方体的表面积：
代入长方体表面积公式：
$\begin{aligned}&(10×5 + 10×3 + 5×3)×2\\=&(50 + 30 + 15)×2\\=&95×2\\=&190（平方厘米）\end{aligned}$
【答案】
3；190
【知识点】
长方体棱长总和公式，长方体表面积公式
【点评】
本题考查长方体棱长总和与表面积的实际应用，需要牢记相关公式，明确棱长总和与各棱的关系、表面积的计算逻辑，计算时注意运算顺序和准确性。
【难度系数】
0.8
10. 一根绳子长$$ \frac{16}{15} $$米，连续对折三次后每份长是总长度的(
\frac{1}{8}
)，每份长(\frac{2}{15}
)米。答案
$\frac{1}{8}$
$\frac{2}{15}$
$\frac{2}{15}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们分两步思考：
1. 确定每份占总长度的分率：把绳子总长度看作单位“1”，对折1次绳子被平均分成2份，对折2次是在2份基础上再对折，分成$2×2=4$份，对折3次则是$2×2×2=8$份，因此每份占总长度的$1÷8=\frac{1}{8}$。
2. 计算每份的实际长度：已知总长度是$\frac{16}{15}$米，求每份长度，用总长度乘以每份占的分率，通过分数乘法运算即可得出结果。
【解析】
1. 求每份占总长度的分率：
对折3次后，绳子被平均分成的份数为：$2×2×2=8$（份）
把总长度看作单位“1”，每份占总长度的：$1÷8=\frac{1}{8}$
2. 求每份的实际长度：
每份长度 = 总长度 × 每份占总长度的分率，即：
$\frac{16}{15} × \frac{1}{8} = \frac{16×1}{15×8} = \frac{2}{15}$（米）
【答案】
$\frac{1}{8}$；$\frac{2}{15}$
【知识点】
分数的意义、分数乘法应用、对折份数规律
【点评】
本题核心考查对折问题的份数变化规律及分数的应用，需注意每次对折后份数是前一次的2倍，避免误将对折次数等同于份数，同时要熟练掌握分数乘法的计算规则。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们分两步思考：
1. 确定每份占总长度的分率：把绳子总长度看作单位“1”，对折1次绳子被平均分成2份，对折2次是在2份基础上再对折，分成$2×2=4$份，对折3次则是$2×2×2=8$份，因此每份占总长度的$1÷8=\frac{1}{8}$。
2. 计算每份的实际长度：已知总长度是$\frac{16}{15}$米，求每份长度，用总长度乘以每份占的分率，通过分数乘法运算即可得出结果。
【解析】
1. 求每份占总长度的分率：
对折3次后，绳子被平均分成的份数为：$2×2×2=8$（份）
把总长度看作单位“1”，每份占总长度的：$1÷8=\frac{1}{8}$
2. 求每份的实际长度：
每份长度 = 总长度 × 每份占总长度的分率，即：
$\frac{16}{15} × \frac{1}{8} = \frac{16×1}{15×8} = \frac{2}{15}$（米）
【答案】
$\frac{1}{8}$；$\frac{2}{15}$
【知识点】
分数的意义、分数乘法应用、对折份数规律
【点评】
本题核心考查对折问题的份数变化规律及分数的应用，需注意每次对折后份数是前一次的2倍，避免误将对折次数等同于份数，同时要熟练掌握分数乘法的计算规则。
【难度系数】
0.7
11. 把一个棱长 6 厘米的正方体钢坯锻造成一个长方体，长方体的底面是边长 3 厘米的正方形，这个长方体高(
24
)厘米。答案
24
解析
【分析】
这道题的核心是理解锻造过程中钢坯的体积保持不变。解题思路如下：首先计算出正方体钢坯的体积，因为锻造后长方体的体积和正方体体积相等；接着求出长方体的底面积，最后根据长方体体积公式“体积=底面积×高”，推导出“高=体积÷底面积”，代入数值计算就能得到长方体的高。
【解析】
1. 计算正方体钢坯的体积：
正方体体积公式为 $ V_{正}=棱长×棱长×棱长 $，代入棱长6厘米，可得：
$ V_{正}=6×6×6=216 $（立方厘米）
2. 计算长方体的底面积：
长方体底面是边长3厘米的正方形，底面积公式为 $ S=边长×边长 $，代入数值可得：
$ S=3×3=9 $（平方厘米）
3. 计算长方体的高：
因为锻造前后体积不变，即 $ V_{长}=V_{正}=216 $ 立方厘米，根据长方体体积公式 $ V_{长}=S×高 $，可得高 $ =V_{长}÷S $，代入数值：
$ 216÷9=24 $（厘米）
【答案】
24
【知识点】
正方体体积计算、长方体体积计算、体积不变原理
【点评】
本题主要考查对锻造类问题中体积不变规律的理解，以及正方体和长方体体积公式的灵活应用，属于基础几何应用题，只要掌握体积公式和不变量的关键，就能轻松解决。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是理解锻造过程中钢坯的体积保持不变。解题思路如下：首先计算出正方体钢坯的体积，因为锻造后长方体的体积和正方体体积相等；接着求出长方体的底面积，最后根据长方体体积公式“体积=底面积×高”，推导出“高=体积÷底面积”，代入数值计算就能得到长方体的高。
【解析】
1. 计算正方体钢坯的体积：
正方体体积公式为 $ V_{正}=棱长×棱长×棱长 $，代入棱长6厘米，可得：
$ V_{正}=6×6×6=216 $（立方厘米）
2. 计算长方体的底面积：
长方体底面是边长3厘米的正方形，底面积公式为 $ S=边长×边长 $，代入数值可得：
$ S=3×3=9 $（平方厘米）
3. 计算长方体的高：
因为锻造前后体积不变，即 $ V_{长}=V_{正}=216 $ 立方厘米，根据长方体体积公式 $ V_{长}=S×高 $，可得高 $ =V_{长}÷S $，代入数值：
$ 216÷9=24 $（厘米）
【答案】
24
【知识点】
正方体体积计算、长方体体积计算、体积不变原理
【点评】
本题主要考查对锻造类问题中体积不变规律的理解，以及正方体和长方体体积公式的灵活应用，属于基础几何应用题，只要掌握体积公式和不变量的关键，就能轻松解决。
【难度系数】
0.8
12. 已知：$$ 甲 × \frac{5}{6} = 乙 = 丙 × \frac{7}{8} = 丁 × \frac{10}{9} $$(甲、乙、丙、丁均不为 0)，把甲、乙、丙、丁这四个数按从小到大的顺序排列为：
丁＜乙＜丙＜甲
。答案
丁＜乙＜丙＜甲
解析
【分析】
这道题已知四个数与不同分数的乘积相等（乙可看作乙×1），要比较甲、乙、丙、丁的大小。我们可以从两个角度思考：
1. 假设法：假设等式的结果为1，根据“一个因数=积÷另一个因数”，分别算出甲、乙、丙、丁的具体数值，再比较大小；
2. 积的变化规律：当积一定时，一个因数越大，与之相乘的另一个因数就越小。先比较等式中各个分数（包括1）的大小，再反向推出四个数的大小顺序。
【解析】
方法一：假设法
设甲×$\frac{5}{6}$ = 乙 = 丙×$\frac{7}{8}$ = 丁×$\frac{10}{9}$ = 1。
甲 = 1÷$\frac{5}{6}$ = $\frac{6}{5}$ = 1.2
乙 = 1
丙 = 1÷$\frac{7}{8}$ = $\frac{8}{7}$ ≈ 1.143
丁 = 1÷$\frac{10}{9}$ = $\frac{9}{10}$ = 0.9
比较数值大小：0.9＜1＜1.143＜1.2，即丁＜乙＜丙＜甲。
方法二：积的变化规律
先比较等式中各因数的大小：$\frac{10}{9}$＞1＞$\frac{7}{8}$＞$\frac{5}{6}$。
因为积一定时，一个因数越大，另一个因数越小，所以对应的数的大小关系为：丁＜乙＜丙＜甲。
【答案】
丁＜乙＜丙＜甲
【知识点】
积的变化规律、分数乘除法、数的大小比较
【点评】
本题考查积的变化规律的应用，也可通过假设法求出具体数值比较大小，两种方法都能高效解题。需要学生熟练掌握分数乘除法计算，理解积一定时因数与另一个因数的反向变化关系。
【难度系数】
0.6
这道题已知四个数与不同分数的乘积相等（乙可看作乙×1），要比较甲、乙、丙、丁的大小。我们可以从两个角度思考：
1. 假设法：假设等式的结果为1，根据“一个因数=积÷另一个因数”，分别算出甲、乙、丙、丁的具体数值，再比较大小；
2. 积的变化规律：当积一定时，一个因数越大，与之相乘的另一个因数就越小。先比较等式中各个分数（包括1）的大小，再反向推出四个数的大小顺序。
【解析】
方法一：假设法
设甲×$\frac{5}{6}$ = 乙 = 丙×$\frac{7}{8}$ = 丁×$\frac{10}{9}$ = 1。
甲 = 1÷$\frac{5}{6}$ = $\frac{6}{5}$ = 1.2
乙 = 1
丙 = 1÷$\frac{7}{8}$ = $\frac{8}{7}$ ≈ 1.143
丁 = 1÷$\frac{10}{9}$ = $\frac{9}{10}$ = 0.9
比较数值大小：0.9＜1＜1.143＜1.2，即丁＜乙＜丙＜甲。
方法二：积的变化规律
先比较等式中各因数的大小：$\frac{10}{9}$＞1＞$\frac{7}{8}$＞$\frac{5}{6}$。
因为积一定时，一个因数越大，另一个因数越小，所以对应的数的大小关系为：丁＜乙＜丙＜甲。
【答案】
丁＜乙＜丙＜甲
【知识点】
积的变化规律、分数乘除法、数的大小比较
【点评】
本题考查积的变化规律的应用，也可通过假设法求出具体数值比较大小，两种方法都能高效解题。需要学生熟练掌握分数乘除法计算，理解积一定时因数与另一个因数的反向变化关系。
【难度系数】
0.6
13. 如果$$ x - 1 = 2a $$(a 为整数)，那么 x 一定是一个(
奇
)数。(填“奇”或“偶”)答案
奇
解析
【分析】
首先，我们需要根据已知等式把$x$用含$a$的式子表示出来，再结合奇数、偶数的定义判断$x$的奇偶性。已知$x-1=2a$（$a$为整数），先通过移项得到$x$的表达式；接着回忆偶数的定义：能被2整除的整数是偶数，即形如$2k$（$k$为整数）的数是偶数，那么$2a$是偶数；再根据奇数的定义：不能被2整除的整数是奇数，形如$2k+1$（$k$为整数）的数是奇数，$2a$加1后就符合奇数的形式，由此可判断$x$的奇偶性。
【解析】
已知$ x - 1 = 2a $（$ a $为整数），
移项可得：$ x = 2a + 1 $。
因为$ a $是整数，所以$ 2a $是2的倍数，属于偶数；
偶数加1的结果不能被2整除，符合奇数的定义（形如$ 2k+1 $，$ k $为整数的数是奇数），
因此$ x $一定是奇数。
【答案】
奇
【知识点】
整数的奇偶性
【点评】
本题主要考查整数奇偶性的判断，核心是掌握奇数和偶数的定义，通过代数式变形将$x$转化为奇数的标准形式，属于基础题型，有助于巩固对奇偶性概念的理解。
【难度系数】
0.9
首先，我们需要根据已知等式把$x$用含$a$的式子表示出来，再结合奇数、偶数的定义判断$x$的奇偶性。已知$x-1=2a$（$a$为整数），先通过移项得到$x$的表达式；接着回忆偶数的定义：能被2整除的整数是偶数，即形如$2k$（$k$为整数）的数是偶数，那么$2a$是偶数；再根据奇数的定义：不能被2整除的整数是奇数，形如$2k+1$（$k$为整数）的数是奇数，$2a$加1后就符合奇数的形式，由此可判断$x$的奇偶性。
【解析】
已知$ x - 1 = 2a $（$ a $为整数），
移项可得：$ x = 2a + 1 $。
因为$ a $是整数，所以$ 2a $是2的倍数，属于偶数；
偶数加1的结果不能被2整除，符合奇数的定义（形如$ 2k+1 $，$ k $为整数的数是奇数），
因此$ x $一定是奇数。
【答案】
奇
【知识点】
整数的奇偶性
【点评】
本题主要考查整数奇偶性的判断，核心是掌握奇数和偶数的定义，通过代数式变形将$x$转化为奇数的标准形式，属于基础题型，有助于巩固对奇偶性概念的理解。
【难度系数】
0.9
14. 两个质数的和是 20，积是 51，这两个质数分别是(
3
)和(17
)。答案
3
17
17
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从质数的定义入手，采用列举验证的思路：首先明确20以内的所有质数，接着从中找出和为20的质数组合，最后验证哪组的乘积等于51，就能得到答案。具体思考步骤为：先列出范围內的质数，再筛选和为20的配对，最后通过乘积条件锁定正确答案。
【解析】
步骤1：列出20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19。
步骤2：筛选出和为20的质数组合：
$3 + 17 = 20$
$7 + 13 = 20$
步骤3：验证每组的乘积：
$3 × 17 = 51$，符合题目中“积是51”的条件；
$7 × 13 = 91$，不符合条件。
因此，符合要求的两个质数是3和17。
【答案】
3；17
【知识点】
质数的定义；质数的应用
【点评】
本题考查对质数概念的理解与运用，通过列举法可快速锁定符合条件的质数，既巩固了质数的基础知识点，也培养了分析问题、验证答案的能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以从质数的定义入手，采用列举验证的思路：首先明确20以内的所有质数，接着从中找出和为20的质数组合，最后验证哪组的乘积等于51，就能得到答案。具体思考步骤为：先列出范围內的质数，再筛选和为20的配对，最后通过乘积条件锁定正确答案。
【解析】
步骤1：列出20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19。
步骤2：筛选出和为20的质数组合：
$3 + 17 = 20$
$7 + 13 = 20$
步骤3：验证每组的乘积：
$3 × 17 = 51$，符合题目中“积是51”的条件；
$7 × 13 = 91$，不符合条件。
因此，符合要求的两个质数是3和17。
【答案】
3；17
【知识点】
质数的定义；质数的应用
【点评】
本题考查对质数概念的理解与运用，通过列举法可快速锁定符合条件的质数，既巩固了质数的基础知识点，也培养了分析问题、验证答案的能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
15. 鞋子的尺码通常用“码”作单位，鞋子的码数=脚长的厘米数×2 - 10。张老师穿 42 码的鞋子，他的脚长是(
26
)厘米；李老师的脚长 25 厘米，他穿(40
)码的鞋子。答案
26
40
40
解析
【分析】
本题需要根据题目给出的“鞋子的码数=脚长的厘米数×2 - 10”这个数量关系，分两种情况计算：
1. 已知张老师的鞋子码数求脚长，可将该关系式转化为方程，通过解方程求出脚长；
2. 已知李老师的脚长求鞋子码数，直接将脚长数值代入关系式进行计算即可。
【解析】
1. 计算张老师的脚长：
设张老师的脚长为$ x $厘米，根据题意列方程：
$ 2x - 10 = 42 $
移项可得：$ 2x = 42 + 10 $
计算得：$ 2x = 52 $
两边同时除以2：$ x = 26 $
2. 计算李老师的鞋子码数：
将脚长25厘米代入“鞋子的码数=脚长的厘米数×2 - 10”，可得：
码数$ = 25×2 - 10 = 50 - 10 = 40 $
【答案】
26；40
【知识点】
一元一次方程应用、代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查数量关系的运用，既涉及方程求解未知量，又涉及直接代入计算，难度较低，能帮助学生巩固基础运算和方程的简单应用，提升数学应用意识。
【难度系数】
0.9
本题需要根据题目给出的“鞋子的码数=脚长的厘米数×2 - 10”这个数量关系，分两种情况计算：
1. 已知张老师的鞋子码数求脚长，可将该关系式转化为方程，通过解方程求出脚长；
2. 已知李老师的脚长求鞋子码数，直接将脚长数值代入关系式进行计算即可。
【解析】
1. 计算张老师的脚长：
设张老师的脚长为$ x $厘米，根据题意列方程：
$ 2x - 10 = 42 $
移项可得：$ 2x = 42 + 10 $
计算得：$ 2x = 52 $
两边同时除以2：$ x = 26 $
2. 计算李老师的鞋子码数：
将脚长25厘米代入“鞋子的码数=脚长的厘米数×2 - 10”，可得：
码数$ = 25×2 - 10 = 50 - 10 = 40 $
【答案】
26；40
【知识点】
一元一次方程应用、代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查数量关系的运用，既涉及方程求解未知量，又涉及直接代入计算，难度较低，能帮助学生巩固基础运算和方程的简单应用，提升数学应用意识。
【难度系数】
0.9
16. 一段电线，用去 15 米，还剩 9 米，用去的电线是原来这段电线的(
$A. \frac{3}{5} $
$B. \frac{2}{5} $
$C. \frac{5}{8} $
$D. \frac{3}{8} $
C
)。$A. \frac{3}{5} $
$B. \frac{2}{5} $
$C. \frac{5}{8} $
$D. \frac{3}{8} $
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，需先理清解题思路：要求用去的电线是原来电线的几分之几，关键是先求出原来电线的总长度，再用用去的长度除以原来的总长度，得到的最简分数就是所求结果。具体思考步骤为：第一步，根据“用去的长度+剩下的长度=原来的总长度”计算总长度；第二步，用用去的长度除以总长度，约分后得到对应分数，再匹配选项得出答案。
【解析】
1. 计算原来电线的总长度：
已知用去15米，还剩9米，总长度为用去长度与剩下长度之和，即：
$15 + 9 = 24$（米）
2. 计算用去的电线占原来电线的几分之几：
求一个数是另一个数的几分之几用除法计算，即用去的长度除以总长度，再约分得到最简分数：
$15÷24 = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$
因此用去的电线是原来这段电线的$\frac{5}{8}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
求一个数是另一个数的几分之几、分数约分
【点评】
本题属于基础分数应用题，核心是理解分数的意义，找准单位“1”（原来电线的总长度），通过“先求总量，再用除法计算占比”的思路解题，计算时注意将分数约分为最简形式，避免出错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需先理清解题思路：要求用去的电线是原来电线的几分之几，关键是先求出原来电线的总长度，再用用去的长度除以原来的总长度，得到的最简分数就是所求结果。具体思考步骤为：第一步，根据“用去的长度+剩下的长度=原来的总长度”计算总长度；第二步，用用去的长度除以总长度，约分后得到对应分数，再匹配选项得出答案。
【解析】
1. 计算原来电线的总长度：
已知用去15米，还剩9米，总长度为用去长度与剩下长度之和，即：
$15 + 9 = 24$（米）
2. 计算用去的电线占原来电线的几分之几：
求一个数是另一个数的几分之几用除法计算，即用去的长度除以总长度，再约分得到最简分数：
$15÷24 = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$
因此用去的电线是原来这段电线的$\frac{5}{8}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
求一个数是另一个数的几分之几、分数约分
【点评】
本题属于基础分数应用题，核心是理解分数的意义，找准单位“1”（原来电线的总长度），通过“先求总量，再用除法计算占比”的思路解题，计算时注意将分数约分为最简形式，避免出错。
【难度系数】
0.8
17. 如果$$ 5 × 3 × a × 9 × b $$的积是奇数，那么整数 a 和 b(
A.都是奇数
B.都是偶数
C.一奇一偶
D.无法确定
A
)。A.都是奇数
B.都是偶数
C.一奇一偶
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确奇数和偶数的乘法运算性质：奇数×奇数=奇数，偶数与任何数相乘结果都是偶数。题目中乘积为奇数，根据上述性质，只有当所有乘数都是奇数时，它们的乘积才会是奇数。先看已知乘数5、3、9，这三个数均为奇数，所以剩下的乘数a和b必须也都是奇数，若a或b为偶数，整个乘积就会变成偶数，不符合题意。
【解析】
1. 回顾奇偶性乘法规则：奇数×奇数=奇数，偶数×任意数=偶数；
2. 已知$5 × 3 × a × 9 × b$的积是奇数，由此可推断算式中所有乘数都必须是奇数（只要有一个偶数，积必为偶数）；
3. 其中5、3、9都是奇数，因此整数a和b必须都是奇数，才能保证最终积为奇数。
【答案】
A
【知识点】
奇数与偶数的运算性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查奇数和偶数的乘法运算规律，解题关键是牢记“全奇数相乘积为奇数，有偶数参与相乘积为偶数”这一要点，熟练掌握数的奇偶性运算规则就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确奇数和偶数的乘法运算性质：奇数×奇数=奇数，偶数与任何数相乘结果都是偶数。题目中乘积为奇数，根据上述性质，只有当所有乘数都是奇数时，它们的乘积才会是奇数。先看已知乘数5、3、9，这三个数均为奇数，所以剩下的乘数a和b必须也都是奇数，若a或b为偶数，整个乘积就会变成偶数，不符合题意。
【解析】
1. 回顾奇偶性乘法规则：奇数×奇数=奇数，偶数×任意数=偶数；
2. 已知$5 × 3 × a × 9 × b$的积是奇数，由此可推断算式中所有乘数都必须是奇数（只要有一个偶数，积必为偶数）；
3. 其中5、3、9都是奇数，因此整数a和b必须都是奇数，才能保证最终积为奇数。
【答案】
A
【知识点】
奇数与偶数的运算性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查奇数和偶数的乘法运算规律，解题关键是牢记“全奇数相乘积为奇数，有偶数参与相乘积为偶数”这一要点，熟练掌握数的奇偶性运算规则就能快速解答。
【难度系数】
0.8
18. 如果$$ \frac{1}{2} $$的分母乘 3，要使分数的大小不变，那么分子应该(
① 乘 3
② 加 3
③ 加 2
④ 除以 3
⑤ 加 6
A.①或③
B.②或⑤
C.①或④
D.②或③
A
)。① 乘 3
② 加 3
③ 加 2
④ 除以 3
⑤ 加 6
A.①或③
B.②或⑤
C.①或④
D.②或③
答案
A
解析
【分析】
首先要依据分数的基本性质来思考：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。题目中分母乘3，要保持分数大小不变，首先根据基本性质，分子应同步乘3，这是第一种思路；接着可以计算乘3后的分子与原分子的差值，将乘的操作转化为加的操作，看是否对应选项中的情况，原分子是1，乘3后变为3，3-1=2，也就是分子加2也能满足分数大小不变，由此确定符合条件的操作，进而选出正确选项。
【解析】
根据分数的基本性质：
1. 分母乘3，要使分数大小不变，分子应乘3，对应选项①；
2. 原分子为1，乘3后得到1×3=3，3-1=2，即分子加2也能保证分数大小不变，对应选项③。
因此满足条件的是①或③，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分数的基本性质
【点评】
本题考查分数基本性质的灵活应用，既需要学生掌握分子分母同乘除的核心规律，又要求能将乘除运算转化为加减运算进行判断，避免只关注直接乘除操作而忽略转化后的加减情况，有助于加深对分数性质的理解。
【难度系数】
0.7
首先要依据分数的基本性质来思考：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。题目中分母乘3，要保持分数大小不变，首先根据基本性质，分子应同步乘3，这是第一种思路；接着可以计算乘3后的分子与原分子的差值，将乘的操作转化为加的操作，看是否对应选项中的情况，原分子是1，乘3后变为3，3-1=2，也就是分子加2也能满足分数大小不变，由此确定符合条件的操作，进而选出正确选项。
【解析】
根据分数的基本性质：
1. 分母乘3，要使分数大小不变，分子应乘3，对应选项①；
2. 原分子为1，乘3后得到1×3=3，3-1=2，即分子加2也能保证分数大小不变，对应选项③。
因此满足条件的是①或③，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分数的基本性质
【点评】
本题考查分数基本性质的灵活应用，既需要学生掌握分子分母同乘除的核心规律，又要求能将乘除运算转化为加减运算进行判断，避免只关注直接乘除操作而忽略转化后的加减情况，有助于加深对分数性质的理解。
【难度系数】
0.7
19. 一个长方体的棱长总和是 48 厘米，相交于同一顶点的三条棱的长度和是(
A.16
B.24
C.12
D.8
C
)厘米。A.16
B.24
C.12
D.8
答案
C
解析
【分析】
首先要明确长方体的棱长组成：长方体一共有12条棱，可分为4组，每组包含相交于同一顶点的一条长、一条宽和一条高，即长方体的棱长总和等于4倍的（长+宽+高）。题目要求相交于同一顶点的三条棱的长度和，也就是求长+宽+高，只需用棱长总和除以4即可。
【解析】
已知长方体棱长总和是48厘米，根据长方体棱长总和与相交于同一顶点三条棱长度和的关系：
相交于同一顶点的三条棱长度和 = 棱长总和 ÷ 4
代入数据计算：48 ÷ 4 = 12（厘米）
所以应选C选项。
【答案】
C
【知识点】
长方体棱长特征
【点评】
本题主要考查对长方体棱长组成的理解，属于基础概念题，只要掌握长方体棱的分组特点，就能轻松计算出结果。
【难度系数】
0.9
首先要明确长方体的棱长组成：长方体一共有12条棱，可分为4组，每组包含相交于同一顶点的一条长、一条宽和一条高，即长方体的棱长总和等于4倍的（长+宽+高）。题目要求相交于同一顶点的三条棱的长度和，也就是求长+宽+高，只需用棱长总和除以4即可。
【解析】
已知长方体棱长总和是48厘米，根据长方体棱长总和与相交于同一顶点三条棱长度和的关系：
相交于同一顶点的三条棱长度和 = 棱长总和 ÷ 4
代入数据计算：48 ÷ 4 = 12（厘米）
所以应选C选项。
【答案】
C
【知识点】
长方体棱长特征
【点评】
本题主要考查对长方体棱长组成的理解，属于基础概念题，只要掌握长方体棱的分组特点，就能轻松计算出结果。
【难度系数】
0.9
20. 一个等腰三角形，其中两条边的长度分别是$$ \frac{1}{5} $$分米和$$ \frac{2}{5} $$分米，这个等腰三角形周长是(
$A. \frac{3}{5} $
B.1
$C. \frac{4}{5} $
D.$$ \frac{4}{5} $$或 1
B
)分米。$A. \frac{3}{5} $
B.1
$C. \frac{4}{5} $
D.$$ \frac{4}{5} $$或 1
答案
B
解析
【分析】
要解决这个等腰三角形周长问题，首先需明确等腰三角形的性质：有两条边长度相等。因此需要分两种情况讨论可能的边长组合，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断哪种组合成立，最后计算成立组合的周长。
1. 第一种情况：假设腰长为$\frac{1}{5}$分米，底边长为$\frac{2}{5}$分米，此时两腰之和为$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$分米，与底边长相等，不满足“任意两边之和大于第三边”，无法构成三角形，需排除。
2. 第二种情况：假设腰长为$\frac{2}{5}$分米，底边长为$\frac{1}{5}$分米，验证三边关系：$\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{4}{5}＞\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}＞\frac{2}{5}$，满足三边关系，可以构成三角形，此时计算周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况一：若腰长为$\frac{1}{5}$分米，底边长为$\frac{2}{5}$分米
两腰之和：$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$（分米）
因为$\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，此情况不成立。
情况二：若腰长为$\frac{2}{5}$分米，底边长为$\frac{1}{5}$分米
验证三边关系：
$\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{4}{5}＞\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}＞\frac{2}{5}$，满足三边关系，可构成三角形。
周长为：$\frac{2}{5}+\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=1$（分米）
综上，这个等腰三角形的周长是1分米。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系
【点评】
本题的关键是不能仅根据等腰三角形的性质直接计算两种情况的周长，必须结合三角形三边关系排除无法构成三角形的情况，避免掉入“忽略三边关系”的陷阱。
【难度系数】
0.6
要解决这个等腰三角形周长问题，首先需明确等腰三角形的性质：有两条边长度相等。因此需要分两种情况讨论可能的边长组合，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断哪种组合成立，最后计算成立组合的周长。
1. 第一种情况：假设腰长为$\frac{1}{5}$分米，底边长为$\frac{2}{5}$分米，此时两腰之和为$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$分米，与底边长相等，不满足“任意两边之和大于第三边”，无法构成三角形，需排除。
2. 第二种情况：假设腰长为$\frac{2}{5}$分米，底边长为$\frac{1}{5}$分米，验证三边关系：$\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{4}{5}＞\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}＞\frac{2}{5}$，满足三边关系，可以构成三角形，此时计算周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况一：若腰长为$\frac{1}{5}$分米，底边长为$\frac{2}{5}$分米
两腰之和：$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$（分米）
因为$\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，此情况不成立。
情况二：若腰长为$\frac{2}{5}$分米，底边长为$\frac{1}{5}$分米
验证三边关系：
$\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{4}{5}＞\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}＞\frac{2}{5}$，满足三边关系，可构成三角形。
周长为：$\frac{2}{5}+\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=1$（分米）
综上，这个等腰三角形的周长是1分米。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系
【点评】
本题的关键是不能仅根据等腰三角形的性质直接计算两种情况的周长，必须结合三角形三边关系排除无法构成三角形的情况，避免掉入“忽略三边关系”的陷阱。
【难度系数】
0.6
四、操作
21. 在下图中涂色表示出$$ \frac{2}{5} × \frac{2}{3} $$。
21. 在下图中涂色表示出$$ \frac{2}{5} × \frac{2}{3} $$。
答案
解析
【分析】
要表示$\frac{2}{5}×\frac{2}{3}$，需结合分数乘法的意义分步操作：首先把整个长方形看作单位“1”，先表示出它的$\frac{2}{5}$，即把长方形平均分成5份，选取其中2份；接着把这$\frac{2}{5}$当作新的单位“1”，再表示出它的$\frac{2}{3}$，也就是把这2份平均分成3份，选取其中2份，最终选取的部分就是$\frac{2}{5}×\frac{2}{3}$对应的量。
【解析】
1. 先将给定的长方形平均分成5份，给其中的2份涂色，这部分代表整体的$\frac{2}{5}$；
2. 把涂色的2份看作一个整体，将其平均分成3份，再给其中的2份涂色，最终两次涂色重叠的部分就表示$\frac{2}{5}×\frac{2}{3}$。
【答案】
【知识点】
分数乘法的意义
【点评】
本题通过直观涂色的方式考查分数乘分数的意义，需要学生理解单位“1”的转换，能通过分步操作明确分数乘法的直观含义，帮助学生从具象层面理解抽象的分数乘法运算。
【难度系数】
0.8
要表示$\frac{2}{5}×\frac{2}{3}$，需结合分数乘法的意义分步操作：首先把整个长方形看作单位“1”，先表示出它的$\frac{2}{5}$，即把长方形平均分成5份，选取其中2份；接着把这$\frac{2}{5}$当作新的单位“1”，再表示出它的$\frac{2}{3}$，也就是把这2份平均分成3份，选取其中2份，最终选取的部分就是$\frac{2}{5}×\frac{2}{3}$对应的量。
【解析】
1. 先将给定的长方形平均分成5份，给其中的2份涂色，这部分代表整体的$\frac{2}{5}$；
2. 把涂色的2份看作一个整体，将其平均分成3份，再给其中的2份涂色，最终两次涂色重叠的部分就表示$\frac{2}{5}×\frac{2}{3}$。
【答案】
【知识点】
分数乘法的意义
【点评】
本题通过直观涂色的方式考查分数乘分数的意义，需要学生理解单位“1”的转换，能通过分步操作明确分数乘法的直观含义，帮助学生从具象层面理解抽象的分数乘法运算。
【难度系数】
0.8
