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8. 如图，正六边形ABCDEF的半径OA=2，则点F的坐标为（）
A.$(-\sqrt{3}, 1)$
B.$(\sqrt{3}, 1)$
C.$(-2, -\sqrt{3})$
D.$(-\sqrt{3}, 2)$
A.$(-\sqrt{3}, 1)$
B.$(\sqrt{3}, 1)$
C.$(-2, -\sqrt{3})$
D.$(-\sqrt{3}, 2)$
答案
B
解析
连接OF，过点F作FH⊥x轴于点H。正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，由正六边形半径为2得$OF=OA=2$，$∠ AOF=60°$，因此$∠ FOH=90°-60°=30°$。在$\mathrm{Rt}△ OFH$中，$FH=OF·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，$OH=OF·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。点F位于第一象限，因此点F的坐标为$(\sqrt{3},1)$。
9. 在平面直角坐标系中，将点P先向左平移3个单位长度得到点$P_1$，点$P_1$关于x轴对称的点为$P_2$，已知$P_2$坐标为$(-2, -3)$，则点P的坐标是。
答案
解：
∵ 点$P_1$与点$P_2(-2,-3)$关于x轴对称，
∴ 点$P_1$的横坐标为$-2$，纵坐标为$-(-3)=3$，即$P_1(-2,3)$。
∵ 点$P$向左平移3个单位长度得到点$P_1$，
∴ 将点$P_1$向右平移3个单位长度即可得到点$P$，
点$P$的横坐标为$-2+3=1$，纵坐标保持不变为$3$，
∴ 点$P$的坐标是$(1,3)$。
∵ 点$P_1$与点$P_2(-2,-3)$关于x轴对称，
∴ 点$P_1$的横坐标为$-2$，纵坐标为$-(-3)=3$，即$P_1(-2,3)$。
∵ 点$P$向左平移3个单位长度得到点$P_1$，
∴ 将点$P_1$向右平移3个单位长度即可得到点$P$，
点$P$的横坐标为$-2+3=1$，纵坐标保持不变为$3$，
∴ 点$P$的坐标是$(1,3)$。
10. 已知点 M 的坐标为$(x, y)(y ＞ 0)$，点 N 的坐标为$(8, z)$，且$|x - 3| + (y - z)^2 = 0$，将线段 MN 向上平移 y 个单位长度，其扫过的面积为 20，则$x - 2y + z$的值为。
能力提升
能力提升
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
解：
∵ $|x-3|≥0$，$(y-z)^2≥0$，且$|x-3|+(y-z)^2=0$
∴ $x-3=0$，$y-z=0$
解得 $x=3$，$z=y$
线段$MN$向上平移$y$个单位长度，扫过的图形为平行四边形，该平行四边形的水平底边长为$|8-x|=|8-3|=5$，竖直高为平移的单位长度$y$。
由扫过的面积为20，得：
$5y=20$
∵ $y＞0$，∴ $y=4$
∴ $z=y=4$
将$x=3$，$y=4$，$z=4$代入$x-2y+z$：
$x-2y+z=3-2×4+4=-1$
最终
∵ $|x-3|≥0$，$(y-z)^2≥0$，且$|x-3|+(y-z)^2=0$
∴ $x-3=0$，$y-z=0$
解得 $x=3$，$z=y$
线段$MN$向上平移$y$个单位长度，扫过的图形为平行四边形，该平行四边形的水平底边长为$|8-x|=|8-3|=5$，竖直高为平移的单位长度$y$。
由扫过的面积为20，得：
$5y=20$
∵ $y＞0$，∴ $y=4$
∴ $z=y=4$
将$x=3$，$y=4$，$z=4$代入$x-2y+z$：
$x-2y+z=3-2×4+4=-1$
最终
11. 在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别是(0，0)，(4，0)，(3，2)，以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点的坐标不可能是 ()
A.(-1，2)
B.(7，2)
C.(1，-2)
D.(2，-2)
A.(-1，2)
B.(7，2)
C.(1，-2)
D.(2，-2)
答案
D
解析
根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况计算第四个顶点坐标：
1. 若以AB为对角线：AB中点为(2,0)，设第四个顶点为D(x,y)，由C(3,2)与D的中点为(2,0)，得$\frac{3+x}{2}=2$，$\frac{2+y}{2}=0$，解得$x=1,y=-2$，对应坐标(1,-2)，即选项C的点。
2. 若以AC为对角线：AC中点为(1,1)，由B(4,0)与D的中点为(1,1)，得$\frac{4+x}{2}=1$，$\frac{0+y}{2}=1$，解得$x=-1,y=2$，对应坐标(-1,2)，即选项A的点。
3. 若以BC为对角线：BC中点为(3.5,1)，由A(0,0)与D的中点为(3.5,1)，得$\frac{0+x}{2}=3.5$，$\frac{0+y}{2}=1$，解得$x=7,y=2$，对应坐标(7,2)，即选项B的点。
综上，第四个顶点不可能是(2,-2)。
1. 若以AB为对角线：AB中点为(2,0)，设第四个顶点为D(x,y)，由C(3,2)与D的中点为(2,0)，得$\frac{3+x}{2}=2$，$\frac{2+y}{2}=0$，解得$x=1,y=-2$，对应坐标(1,-2)，即选项C的点。
2. 若以AC为对角线：AC中点为(1,1)，由B(4,0)与D的中点为(1,1)，得$\frac{4+x}{2}=1$，$\frac{0+y}{2}=1$，解得$x=-1,y=2$，对应坐标(-1,2)，即选项A的点。
3. 若以BC为对角线：BC中点为(3.5,1)，由A(0,0)与D的中点为(3.5,1)，得$\frac{0+x}{2}=3.5$，$\frac{0+y}{2}=1$，解得$x=7,y=2$，对应坐标(7,2)，即选项B的点。
综上，第四个顶点不可能是(2,-2)。
12. 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是(1，2)，则经过第2026次变换后点A的对应点的坐标为。
答案
解：
点A初始坐标为$(1,2)$：
第1次关于$y$轴对称后，对应点坐标为$(-1,2)$；
第2次关于$x$轴对称后，对应点坐标为$(-1,-2)$；
第3次关于$y$轴对称后，对应点坐标为$(1,-2)$；
第4次关于$x$轴对称后，对应点坐标为$(1,2)$，回到初始位置。
因此该变换每4次为一个循环周期。
计算得：$2026÷4=506······2$，余数为2，说明第2026次变换后点A的对应点坐标与第2次变换后的坐标相同。
最终结果为$\boldsymbol{(-1,-2)}$。
点A初始坐标为$(1,2)$：
第1次关于$y$轴对称后，对应点坐标为$(-1,2)$；
第2次关于$x$轴对称后，对应点坐标为$(-1,-2)$；
第3次关于$y$轴对称后，对应点坐标为$(1,-2)$；
第4次关于$x$轴对称后，对应点坐标为$(1,2)$，回到初始位置。
因此该变换每4次为一个循环周期。
计算得：$2026÷4=506······2$，余数为2，说明第2026次变换后点A的对应点坐标与第2次变换后的坐标相同。
最终结果为$\boldsymbol{(-1,-2)}$。
13. 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$的顶点都在网格点上，其中，$C$点坐标为$(1,2)$.
(1)填空：点$A$的坐标是，点$B$的坐标是；
(2)将$△ ABC$先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到$△ A'B'C'$，请写出$△ A'B'C'$的三个顶点坐标；
(3)求$△ ABC$的面积.
(1)填空：点$A$的坐标是，点$B$的坐标是；
(2)将$△ ABC$先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到$△ A'B'C'$，请写出$△ A'B'C'$的三个顶点坐标；
(3)求$△ ABC$的面积.
答案
解：
(1) 点A的坐标是$\boldsymbol{(2, -1)}$，点B的坐标是$\boldsymbol{(4, 3)}$；
(2) 平移规则为：横坐标减2，纵坐标加1。
$A'$的坐标为$(2-2, -1+1)$，即$(0, 0)$；
$B'$的坐标为$(4-2, 3+1)$，即$(2, 4)$；
$C'$的坐标为$(1-2, 2+1)$，即$(-1, 3)$；
(3) 用割补法，将$△ ABC$包围在长为3、宽为4的矩形内：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=3×4 - \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×3×1 - \frac{1}{2}×2×4\\&=12 - 1.5 - 1.5 - 4\\&=5\end{aligned}$
综上，$△ ABC$的面积为5。
(1) 点A的坐标是$\boldsymbol{(2, -1)}$，点B的坐标是$\boldsymbol{(4, 3)}$；
(2) 平移规则为：横坐标减2，纵坐标加1。
$A'$的坐标为$(2-2, -1+1)$，即$(0, 0)$；
$B'$的坐标为$(4-2, 3+1)$，即$(2, 4)$；
$C'$的坐标为$(1-2, 2+1)$，即$(-1, 3)$；
(3) 用割补法，将$△ ABC$包围在长为3、宽为4的矩形内：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=3×4 - \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×3×1 - \frac{1}{2}×2×4\\&=12 - 1.5 - 1.5 - 4\\&=5\end{aligned}$
综上，$△ ABC$的面积为5。
