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12. 如图，在等边三角形ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将$△ BCD$绕点B逆时针旋转$60°$，得到$△ BAE$，连接ED。若$BC=5$，$BD=4$，则以下四个结论：
①$△ BDE$是等边三角形；② $AE // BC$；③ $△ ADE$ 的周长是9；
④$∠ ADE=∠ BDC$。
正确的是 （
A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③
①$△ BDE$是等边三角形；② $AE // BC$；③ $△ ADE$ 的周长是9；
④$∠ ADE=∠ BDC$。
正确的是 （
D
）A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③
答案
12.D
解析
【分析】
本题需结合旋转的性质、等边三角形的判定与性质，逐一验证四个结论：首先根据旋转的性质得到对应边、对应角及旋转角的关系，先判断△BDE的形状；再通过角的等量关系判断直线平行；接着通过线段等量代换计算△ADE的周长；最后通过角的和差关系判断第四个结论是否成立。
【解析】
已知△ABC是等边三角形，因此$AB=BC=AC=5$，$∠ABC=∠BAC=∠C=60°$。
将$△BCD$绕点B逆时针旋转$60°$得到$△BAE$，根据旋转的性质可得：$BE=BD$，$AE=CD$，$∠BAE=∠C=60°$，$∠EBD=∠ABC=60°$。
1. 验证结论①：
因为$BE=BD$，且$∠EBD=60°$，根据“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”，可得$△BDE$是等边三角形，①正确。
2. 验证结论②：
因为$∠BAE=60°=∠ABC$，内错角相等，两直线平行，因此$AE// BC$，②正确。
3. 验证结论③：
$△ADE$的周长为$AE + AD + DE$，
因为$AE=CD$，因此$AE+AD=CD+AD=AC=5$，
又因为$△BDE$是等边三角形，所以$DE=BD=4$，
因此$△ADE$的周长$=5+4=9$，③正确。
4. 验证结论④：
因为$△BDE$是等边三角形，所以$∠BDE=60°$，则$∠ADB=∠ADE + ∠BDE = ∠ADE + 60°$，
又因为$∠ADB$是$△BCD$的外角，所以$∠ADB=∠C + ∠DBC = 60° + ∠DBC$，
因此$∠ADE=∠DBC$，
在$△BDC$中，$∠BDC=180°-∠C-∠DBC=120°-∠DBC=120°-∠ADE$，
即$∠ADE+∠BDC=120°$，仅当$∠ADE=60°$时二者相等，该情况不一定成立，故④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，核心考查旋转性质和等边三角形的相关应用，解题关键是利用旋转前后对应边、对应角相等的性质，对每个结论逐一推导验证即可。
【难度系数】
0.65
本题需结合旋转的性质、等边三角形的判定与性质，逐一验证四个结论：首先根据旋转的性质得到对应边、对应角及旋转角的关系，先判断△BDE的形状；再通过角的等量关系判断直线平行；接着通过线段等量代换计算△ADE的周长；最后通过角的和差关系判断第四个结论是否成立。
【解析】
已知△ABC是等边三角形，因此$AB=BC=AC=5$，$∠ABC=∠BAC=∠C=60°$。
将$△BCD$绕点B逆时针旋转$60°$得到$△BAE$，根据旋转的性质可得：$BE=BD$，$AE=CD$，$∠BAE=∠C=60°$，$∠EBD=∠ABC=60°$。
1. 验证结论①：
因为$BE=BD$，且$∠EBD=60°$，根据“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”，可得$△BDE$是等边三角形，①正确。
2. 验证结论②：
因为$∠BAE=60°=∠ABC$，内错角相等，两直线平行，因此$AE// BC$，②正确。
3. 验证结论③：
$△ADE$的周长为$AE + AD + DE$，
因为$AE=CD$，因此$AE+AD=CD+AD=AC=5$，
又因为$△BDE$是等边三角形，所以$DE=BD=4$，
因此$△ADE$的周长$=5+4=9$，③正确。
4. 验证结论④：
因为$△BDE$是等边三角形，所以$∠BDE=60°$，则$∠ADB=∠ADE + ∠BDE = ∠ADE + 60°$，
又因为$∠ADB$是$△BCD$的外角，所以$∠ADB=∠C + ∠DBC = 60° + ∠DBC$，
因此$∠ADE=∠DBC$，
在$△BDC$中，$∠BDC=180°-∠C-∠DBC=120°-∠DBC=120°-∠ADE$，
即$∠ADE+∠BDC=120°$，仅当$∠ADE=60°$时二者相等，该情况不一定成立，故④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，核心考查旋转性质和等边三角形的相关应用，解题关键是利用旋转前后对应边、对应角相等的性质，对每个结论逐一推导验证即可。
【难度系数】
0.65
二、填空题
13.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AM$平分$∠ CAB$，$CM=20\ \mathrm{cm}$，则点$M$到$AB$的距离是
13.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AM$平分$∠ CAB$，$CM=20\ \mathrm{cm}$，则点$M$到$AB$的距离是
20
cm。答案
13.20
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确点M在∠CAB的角平分线AM上，已知∠C=90°，所以CM就是点M到AC边的距离，要求点M到AB的距离，直接利用角平分线的性质就能得到两个距离相等，进而求出结果。
【解析】
过点M作$MD⊥ AB$于点D，MD的长度就是点M到AB的距离。
∵ AM平分$∠ CAB$，$∠ C=90°$（即$MC⊥ AC$），$MD⊥ AB$，
∴ 根据角平分线的性质可得$MD=CM$。
∵ $CM=20\ \mathrm{cm}$，
∴ $MD=20\ \mathrm{cm}$，即点M到AB的距离为20cm。
【答案】
20
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的直接应用，只要熟记角平分线的性质，就能快速得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确点M在∠CAB的角平分线AM上，已知∠C=90°，所以CM就是点M到AC边的距离，要求点M到AB的距离，直接利用角平分线的性质就能得到两个距离相等，进而求出结果。
【解析】
过点M作$MD⊥ AB$于点D，MD的长度就是点M到AB的距离。
∵ AM平分$∠ CAB$，$∠ C=90°$（即$MC⊥ AC$），$MD⊥ AB$，
∴ 根据角平分线的性质可得$MD=CM$。
∵ $CM=20\ \mathrm{cm}$，
∴ $MD=20\ \mathrm{cm}$，即点M到AB的距离为20cm。
【答案】
20
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的直接应用，只要熟记角平分线的性质，就能快速得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
14. 一次函数$y_1=kx+b$与$y_2=x+a$的图象如图，当x
＜3
时，$kx+b＞x+a$。答案
14.＜3
解析
【分析】
要解不等式$kx+b＞x+a$，可结合一次函数的图象意义分析：该不等式的解集对应$y_1=kx+b$的图象在$y_2=x+a$图象上方时x的取值范围。首先找到两个函数图象的交点，交点处两个函数值相等，再观察交点哪一侧$y_1$的图象位置更高，对应x的范围就是不等式的解集。
【解析】
不等式$kx+b＞x+a$的几何意义是：一次函数$y_1=kx+b$的图象位于$y_2=x+a$图象上方时对应的x的取值范围。
由图象可知两个一次函数的交点横坐标为3，当$x＜3$时，$y_1=kx+b$的图象在$y_2=x+a$的图象上方，此时满足$kx+b＞x+a$。
【答案】
＜3
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在一次函数问题中的应用，核心是理解函数图象的上下位置关系与函数值大小、不等式解集的对应关系，属于一次函数的常规基础考题。
【难度系数】
0.8
要解不等式$kx+b＞x+a$，可结合一次函数的图象意义分析：该不等式的解集对应$y_1=kx+b$的图象在$y_2=x+a$图象上方时x的取值范围。首先找到两个函数图象的交点，交点处两个函数值相等，再观察交点哪一侧$y_1$的图象位置更高，对应x的范围就是不等式的解集。
【解析】
不等式$kx+b＞x+a$的几何意义是：一次函数$y_1=kx+b$的图象位于$y_2=x+a$图象上方时对应的x的取值范围。
由图象可知两个一次函数的交点横坐标为3，当$x＜3$时，$y_1=kx+b$的图象在$y_2=x+a$的图象上方，此时满足$kx+b＞x+a$。
【答案】
＜3
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在一次函数问题中的应用，核心是理解函数图象的上下位置关系与函数值大小、不等式解集的对应关系，属于一次函数的常规基础考题。
【难度系数】
0.8
15.如图，在△ABC中，∠CAB=70°。在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'//AB，则∠BAB'=
40°
。答案
15.40°
解析
【分析】
解题时首先利用旋转的性质，明确旋转前后对应边相等、旋转角相等，可得AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'。再结合CC'//AB的条件，通过平行线内错角相等求出∠C'CA的度数，接着利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理求出∠CAC'的度数，即可得到∠BAB'的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，
∴AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'（旋转前后对应边相等，旋转角相等），
∵CC'//AB，∠CAB=70°，
∴∠C'CA=∠CAB=70°（两直线平行，内错角相等），
∵AC=AC'，
∴△ACC'为等腰三角形，
∴∠AC'C=∠C'CA=70°，
在△ACC'中，由三角形内角和为180°可得：
∠CAC'=180°-∠C'CA-∠AC'C=180°-70°-70°=40°，
∴∠BAB'=∠CAC'=40°。
【答案】
40°
【知识点】
旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的核心是抓住旋转角相等的关系，结合平行线、等腰三角形的性质即可快速求解，需注意旋转前后边、角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用旋转的性质，明确旋转前后对应边相等、旋转角相等，可得AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'。再结合CC'//AB的条件，通过平行线内错角相等求出∠C'CA的度数，接着利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理求出∠CAC'的度数，即可得到∠BAB'的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，
∴AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'（旋转前后对应边相等，旋转角相等），
∵CC'//AB，∠CAB=70°，
∴∠C'CA=∠CAB=70°（两直线平行，内错角相等），
∵AC=AC'，
∴△ACC'为等腰三角形，
∴∠AC'C=∠C'CA=70°，
在△ACC'中，由三角形内角和为180°可得：
∠CAC'=180°-∠C'CA-∠AC'C=180°-70°-70°=40°，
∴∠BAB'=∠CAC'=40°。
【答案】
40°
【知识点】
旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的核心是抓住旋转角相等的关系，结合平行线、等腰三角形的性质即可快速求解，需注意旋转前后边、角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
16.如图,点O是△ABC内一点,且O到三边AB,BC,CA的距离OF=OD=OE。若∠BAC=70°,则∠BOC=
125°
。答案
16.125°
解析
【分析】
首先，看到点O到△ABC三边的距离相等，根据角平分线的判定定理，可判断出O是△ABC三条内角平分线的交点，即OB平分∠ABC、OC平分∠ACB。接下来先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的定义求出∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，且OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
在△ABC中，∠BAC=70°，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 70° = 110°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ABC + \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×110° = 55°$，
在△BOC中，再根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形与角平分线的综合基础题，解题的核心是根据点到三边的距离相等判断出点O是三角形内角平分线的交点，也可以直接记住结论：三角形两个内角平分线的夹角等于90°与第三个内角度数一半的和，可快速推导结果。
【难度系数】
0.7
首先，看到点O到△ABC三边的距离相等，根据角平分线的判定定理，可判断出O是△ABC三条内角平分线的交点，即OB平分∠ABC、OC平分∠ACB。接下来先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的定义求出∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，且OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
在△ABC中，∠BAC=70°，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 70° = 110°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ABC + \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×110° = 55°$，
在△BOC中，再根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形与角平分线的综合基础题，解题的核心是根据点到三边的距离相等判断出点O是三角形内角平分线的交点，也可以直接记住结论：三角形两个内角平分线的夹角等于90°与第三个内角度数一半的和，可快速推导结果。
【难度系数】
0.7
