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15. 已知$x=\sqrt{7}+\sqrt{5},y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，求下列各式的值：
(1)$xy$；(2)$x^2 - xy + y^2$.
(1)$xy$；(2)$x^2 - xy + y^2$.
答案
15. 解:(1)$\because x=\sqrt{7}+\sqrt{5},y=\sqrt{7}-\sqrt{5},$
$\therefore xy=(\sqrt{7}+\sqrt{5})×(\sqrt{7}-\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2.$
(2)$\because x=\sqrt{7}+\sqrt{5},y=\sqrt{7}-\sqrt{5},$
$\therefore x+y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{7}.$
$\because xy=2,$
$\therefore x^2-xy+y^2$
$=x^2+2xy+y^2-2xy-xy$
$=(x+y)^2-3xy$
$=(2\sqrt{7})^2-3×2$
$=28-6$
$=22.$
$\therefore xy=(\sqrt{7}+\sqrt{5})×(\sqrt{7}-\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2.$
(2)$\because x=\sqrt{7}+\sqrt{5},y=\sqrt{7}-\sqrt{5},$
$\therefore x+y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{7}.$
$\because xy=2,$
$\therefore x^2-xy+y^2$
$=x^2+2xy+y^2-2xy-xy$
$=(x+y)^2-3xy$
$=(2\sqrt{7})^2-3×2$
$=28-6$
$=22.$
解析
【分析】
本题可通过观察代数式的结构，结合乘法公式简化计算，避免直接代入的复杂运算：
(1)观察x、y的形式，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，直接套用平方差公式计算$xy$即可；
(2)若直接代入x、y计算$x^2$和$y^2$运算量较大，可将所求式子利用完全平方公式变形为$(x+y)^2-3xy$，先求出$x+y$与$xy$的值，再整体代入计算即可。
【解析】
(1)已知$x=\sqrt{7}+\sqrt{5},y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，根据平方差公式可得：
$xy=(\sqrt{7}+\sqrt{5})×(\sqrt{7}-\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2$
(2)先计算$x+y$的值：
$x+y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{7}$
将所求式子$x^2 - xy + y^2$变形，结合完全平方公式可得：
$x^2 - xy + y^2=x^2+2xy+y^2-3xy=(x+y)^2-3xy$
把$x+y=2\sqrt{7}$，$xy=2$代入上式：
原式$=(2\sqrt{7})^2-3×2=28-6=22$
【答案】
(1)$\boxed{2}$；(2)$\boxed{22}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式求值的常见题型，核心考查乘法公式在二次根式运算中的灵活应用，采用整体代入的思路可以有效简化计算步骤，降低出错概率，需要熟练掌握乘法公式的变形技巧。
【难度系数】
0.8
本题可通过观察代数式的结构，结合乘法公式简化计算，避免直接代入的复杂运算：
(1)观察x、y的形式，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，直接套用平方差公式计算$xy$即可；
(2)若直接代入x、y计算$x^2$和$y^2$运算量较大，可将所求式子利用完全平方公式变形为$(x+y)^2-3xy$，先求出$x+y$与$xy$的值，再整体代入计算即可。
【解析】
(1)已知$x=\sqrt{7}+\sqrt{5},y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，根据平方差公式可得：
$xy=(\sqrt{7}+\sqrt{5})×(\sqrt{7}-\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2$
(2)先计算$x+y$的值：
$x+y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{7}$
将所求式子$x^2 - xy + y^2$变形，结合完全平方公式可得：
$x^2 - xy + y^2=x^2+2xy+y^2-3xy=(x+y)^2-3xy$
把$x+y=2\sqrt{7}$，$xy=2$代入上式：
原式$=(2\sqrt{7})^2-3×2=28-6=22$
【答案】
(1)$\boxed{2}$；(2)$\boxed{22}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题是二次根式求值的常见题型，核心考查乘法公式在二次根式运算中的灵活应用，采用整体代入的思路可以有效简化计算步骤，降低出错概率，需要熟练掌握乘法公式的变形技巧。
【难度系数】
0.8
16. 下列说法正确的是 （
A.－4 的平方根是±2
B.16 的算术平方根是 4
C.$\sqrt{4}$是最简二次根式
D.27 的立方根是±3
B
）A.－4 的平方根是±2
B.16 的算术平方根是 4
C.$\sqrt{4}$是最简二次根式
D.27 的立方根是±3
答案
16.B
解析
【分析】
这是一道根式相关基础概念的辨析题，解题时先分别回忆平方根、算术平方根、最简二次根式、立方根的定义要点，再逐个核对选项描述是否符合概念，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：平方根的定义中，负数没有平方根，-4是负数，不存在平方根，故A错误；
B选项：算术平方根是指一个非负数的正的平方根，16的正平方根为4，因此16的算术平方根是4，故B正确；
C选项：最简二次根式要求被开方数不含能开得尽方的因数或因式，$\sqrt{4}$的被开方数4可以开方得到2，因此$\sqrt{4}=2$，不是最简二次根式，故C错误；
D选项：任意实数的立方根都只有1个，正数的立方根是正数，因此27的立方根是3，不是±3，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
平方根与算术平方根；最简二次根式；立方根
【点评】
本题考查根式相关基础概念的辨析，易错点是容易混淆平方根、算术平方根、立方根的取值特点，只要准确掌握各概念的定义，就能快速判断正误，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
这是一道根式相关基础概念的辨析题，解题时先分别回忆平方根、算术平方根、最简二次根式、立方根的定义要点，再逐个核对选项描述是否符合概念，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：平方根的定义中，负数没有平方根，-4是负数，不存在平方根，故A错误；
B选项：算术平方根是指一个非负数的正的平方根，16的正平方根为4，因此16的算术平方根是4，故B正确；
C选项：最简二次根式要求被开方数不含能开得尽方的因数或因式，$\sqrt{4}$的被开方数4可以开方得到2，因此$\sqrt{4}=2$，不是最简二次根式，故C错误；
D选项：任意实数的立方根都只有1个，正数的立方根是正数，因此27的立方根是3，不是±3，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
平方根与算术平方根；最简二次根式；立方根
【点评】
本题考查根式相关基础概念的辨析，易错点是容易混淆平方根、算术平方根、立方根的取值特点，只要准确掌握各概念的定义，就能快速判断正误，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
17. 把$(1-x)\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}$根号外面的因式移到根号内得 （
A.$\sqrt{1-x}$
B.$\sqrt{x-1}$
C.$-\sqrt{1-x}$
D.$-\sqrt{x-1}$
D
）A.$\sqrt{1-x}$
B.$\sqrt{x-1}$
C.$-\sqrt{1-x}$
D.$-\sqrt{x-1}$
答案
17.D
解析
【分析】
要解决将根号外因式移入根号内的问题，需明确两个核心要点：一是二次根式的被开方数必须为非负数，先据此求出x的取值范围，判断根号外因式(1-x)的正负性；二是负数移入根号内时，要先把负号留在根号外，再将正数部分平方后与根号内的被开方数相乘，最后化简得到结果。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
要使二次根式$\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}$有意义，需满足被开方数非负且分母不为0，即：
$\dfrac{1}{x-1}＞0$，解得$x-1＞0$，即$x＞1$。
第二步：判断根号外因式的符号
因为$x＞1$，所以$1-x＜0$，可将$1-x$变形为$-(x-1)$。
第三步：将因式移入根号内化简
原式$=-(x-1)\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}$
把正数$x-1$平方后移入根号内，得：
$=-\sqrt{(x-1)^2 · \dfrac{1}{x-1}}$
化简根号内的式子：
$=-\sqrt{x-1}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，易错点是忽略先判断根号外因式的正负，直接将$(1-x)$平方移入根号内得到错误结果。解题时先根据二次根式的定义确定未知数的取值范围，再处理符号问题即可避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决将根号外因式移入根号内的问题，需明确两个核心要点：一是二次根式的被开方数必须为非负数，先据此求出x的取值范围，判断根号外因式(1-x)的正负性；二是负数移入根号内时，要先把负号留在根号外，再将正数部分平方后与根号内的被开方数相乘，最后化简得到结果。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
要使二次根式$\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}$有意义，需满足被开方数非负且分母不为0，即：
$\dfrac{1}{x-1}＞0$，解得$x-1＞0$，即$x＞1$。
第二步：判断根号外因式的符号
因为$x＞1$，所以$1-x＜0$，可将$1-x$变形为$-(x-1)$。
第三步：将因式移入根号内化简
原式$=-(x-1)\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}$
把正数$x-1$平方后移入根号内，得：
$=-\sqrt{(x-1)^2 · \dfrac{1}{x-1}}$
化简根号内的式子：
$=-\sqrt{x-1}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，易错点是忽略先判断根号外因式的正负，直接将$(1-x)$平方移入根号内得到错误结果。解题时先根据二次根式的定义确定未知数的取值范围，再处理符号问题即可避免出错。
【难度系数】
0.7
18.已知实数a在数轴上的对应点的位置如图，则化简$(\sqrt{a-1})^2 - \sqrt{(a-2)^2}$的结果是
（
A.$2a - 3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3 - 2a$
（
A
）A.$2a - 3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3 - 2a$
答案
18.A
解析
【分析】
首先观察数轴可得实数a的取值范围为1＜a＜2，接下来回忆二次根式的相关性质：(√x)²=x（x≥0），√(x²)=|x|。先判断两个根号内表达式的正负：a-1＞0，a-2＜0，再分别依据性质化简两个二次根式，最后去括号合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知 $1 ＜ a ＜ 2$，
因此 $a-1＞0$，$a-2＜0$。
根据二次根式的性质化简原式：
$(\sqrt{a-1})^2 = a-1$（被开方数非负时，$(\sqrt{x})^2=x$），
$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|=2-a$（负数的绝对值是它的相反数）。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(a-1)-(2-a)\\&=a-1-2+a\\&=2a-3\end{aligned}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，数轴的应用
【点评】
本题是基础常考题，将数轴、绝对值、二次根式化简的知识点结合考查，解题的核心是先通过数轴确定字母的取值范围，再判断绝对值内、二次根式被开方数的正负，结合对应性质逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴可得实数a的取值范围为1＜a＜2，接下来回忆二次根式的相关性质：(√x)²=x（x≥0），√(x²)=|x|。先判断两个根号内表达式的正负：a-1＞0，a-2＜0，再分别依据性质化简两个二次根式，最后去括号合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知 $1 ＜ a ＜ 2$，
因此 $a-1＞0$，$a-2＜0$。
根据二次根式的性质化简原式：
$(\sqrt{a-1})^2 = a-1$（被开方数非负时，$(\sqrt{x})^2=x$），
$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|=2-a$（负数的绝对值是它的相反数）。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(a-1)-(2-a)\\&=a-1-2+a\\&=2a-3\end{aligned}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，数轴的应用
【点评】
本题是基础常考题，将数轴、绝对值、二次根式化简的知识点结合考查，解题的核心是先通过数轴确定字母的取值范围，再判断绝对值内、二次根式被开方数的正负，结合对应性质逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
