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19. 若最简二次根式$\sqrt[a+1]{2a+5}$与$\sqrt{4a+3b}$相等，则$b=$
1
。答案
19. 1
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个相等的最简二次根式需要满足两个核心条件：一是根指数相同（二次根式的根指数为2），二是被开方数相等。我们可以先根据根指数的要求求出a的值，再将a代入被开方数相等的关系式，就能顺利求出b的值。
【解析】
解：
∵ $\sqrt[a+1]{2a+5}$是最简二次根式
∴ 根指数满足$a+1=2$，解得$a=1$
将$a=1$代入$2a+5$，可得$2×1+5=7$
∵ 两个最简二次根式相等
∴ 被开方数相等，即$4a+3b=7$
把$a=1$代入上式得：$4×1 + 3b =7$
整理得$3b=3$，解得$b=1$
【答案】
1
【知识点】
最简二次根式的定义；二次根式相等的条件；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记两个最简二次根式相等时，根指数和被开方数分别对应相等的性质，易错点是容易忽略二次根式根指数为2的隐含条件，掌握上述规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确两个相等的最简二次根式需要满足两个核心条件：一是根指数相同（二次根式的根指数为2），二是被开方数相等。我们可以先根据根指数的要求求出a的值，再将a代入被开方数相等的关系式，就能顺利求出b的值。
【解析】
解：
∵ $\sqrt[a+1]{2a+5}$是最简二次根式
∴ 根指数满足$a+1=2$，解得$a=1$
将$a=1$代入$2a+5$，可得$2×1+5=7$
∵ 两个最简二次根式相等
∴ 被开方数相等，即$4a+3b=7$
把$a=1$代入上式得：$4×1 + 3b =7$
整理得$3b=3$，解得$b=1$
【答案】
1
【知识点】
最简二次根式的定义；二次根式相等的条件；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记两个最简二次根式相等时，根指数和被开方数分别对应相等的性质，易错点是容易忽略二次根式根指数为2的隐含条件，掌握上述规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
.若$\sqrt{45}$与最简二次根式$\sqrt{m+1}$是同类二次根式，则$m$的值为
4
.答案
20. 4
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路逐步推导：首先回忆同类二次根式的定义，明确判断同类二次根式的前提是先将所有二次根式化为最简形式。第一步先把非最简的$\sqrt{45}$化简为最简二次根式；第二步结合$\sqrt{m+1}$是最简二次根式的条件，根据同类二次根式“化简后被开方数相同”的特征，列关于$m$的方程；第三步解方程即可得到$m$的值。
【解析】
解：先化简$\sqrt{45}$：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$
已知$\sqrt{45}$与最简二次根式$\sqrt{m+1}$是同类二次根式，说明二者化简后的被开方数相等，因此可得：
$m+1=5$
解得：$m=5-1=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 同类二次根式的定义
2. 二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式章节的基础常考题，解题的易错点是忽略先化简非最简二次根式，直接令$m+1=45$得到错误结果，解题时要特别注意题目中“最简二次根式”的限定条件。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，我们可以按照以下思路逐步推导：首先回忆同类二次根式的定义，明确判断同类二次根式的前提是先将所有二次根式化为最简形式。第一步先把非最简的$\sqrt{45}$化简为最简二次根式；第二步结合$\sqrt{m+1}$是最简二次根式的条件，根据同类二次根式“化简后被开方数相同”的特征，列关于$m$的方程；第三步解方程即可得到$m$的值。
【解析】
解：先化简$\sqrt{45}$：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$
已知$\sqrt{45}$与最简二次根式$\sqrt{m+1}$是同类二次根式，说明二者化简后的被开方数相等，因此可得：
$m+1=5$
解得：$m=5-1=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 同类二次根式的定义
2. 二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式章节的基础常考题，解题的易错点是忽略先化简非最简二次根式，直接令$m+1=45$得到错误结果，解题时要特别注意题目中“最简二次根式”的限定条件。
【难度系数】
0.75
若最简二次根式$\sqrt{3x - 8}$和$\sqrt{17 - 2x}$可以合并，则$x =$
5
.答案
21. 5
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确核心规律：可合并的最简二次根式属于同类二次根式，它们的被开方数一定相等。解题思路为：第一步根据上述规律列出关于x的一元一次方程；第二步解一元一次方程得到x的初步结果；第三步验证所得x是否满足二次根式被开方数非负的要求，确保结果符合题意。
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{3x - 8}$和$\sqrt{17 - 2x}$可以合并
∴ 二者为同类二次根式，被开方数相等，可列方程：
$3x - 8 = 17 - 2x$
移项得：$3x + 2x = 17 + 8$
合并同类项得：$5x = 25$
系数化为1得：$x = 5$
验证：当$x=5$时，$3x-8=7≥0$，$17-2x=7≥0$，两个二次根式均有意义，符合要求。
【答案】
5
【知识点】
同类二次根式；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于二次根式板块的基础题型，解题的关键是掌握可合并最简二次根式的性质，同时要注意验证结果是否满足二次根式的成立条件，避免出现无意义的结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确核心规律：可合并的最简二次根式属于同类二次根式，它们的被开方数一定相等。解题思路为：第一步根据上述规律列出关于x的一元一次方程；第二步解一元一次方程得到x的初步结果；第三步验证所得x是否满足二次根式被开方数非负的要求，确保结果符合题意。
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{3x - 8}$和$\sqrt{17 - 2x}$可以合并
∴ 二者为同类二次根式，被开方数相等，可列方程：
$3x - 8 = 17 - 2x$
移项得：$3x + 2x = 17 + 8$
合并同类项得：$5x = 25$
系数化为1得：$x = 5$
验证：当$x=5$时，$3x-8=7≥0$，$17-2x=7≥0$，两个二次根式均有意义，符合要求。
【答案】
5
【知识点】
同类二次根式；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于二次根式板块的基础题型，解题的关键是掌握可合并最简二次根式的性质，同时要注意验证结果是否满足二次根式的成立条件，避免出现无意义的结果。
【难度系数】
0.8
22. 计算：$\sqrt{\dfrac{ab^3}{16}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{a}} × \sqrt{8b^2}.$
答案
22. 解:原式=$\sqrt{\dfrac{ab^3}{16}·a·8b^2}$
$=\sqrt{\dfrac{a^2b^5}{2}}=\dfrac{ab^2}{2}\sqrt{2b}.$
$=\sqrt{\dfrac{a^2b^5}{2}}=\dfrac{ab^2}{2}\sqrt{2b}.$
解析
【分析】
要解这道二次根式乘除混合运算题，首先依据二次根式的运算法则：同次根式相乘除时，根指数不变，仅将被开方数相乘除。首先要明确字母的取值范围：由二次根式有意义、分母不为0的条件可得$a＞0,b≥0$，避免开方时出现符号错误；接下来将所有被开方数统一放到同一个根号下进行乘除运算，先计算被开方数的结果，最后将得到的二次根式化简为最简二次根式即可。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件，得$a＞0,b≥0$。
根据二次根式乘除运算法则$\sqrt{A}÷\sqrt{B}×\sqrt{C}=\sqrt{A÷ B× C}（A≥0,B＞0,C≥0）$，可得：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{\dfrac{ab^3}{16} ÷ \dfrac{1}{a} × 8b^2}\\&=\sqrt{\dfrac{ab^3}{16} × a × 8b^2}\\&=\sqrt{\dfrac{8a^2b^5}{16}}\\&=\sqrt{\dfrac{a^2b^5}{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{a^2b^4·2b}{4}}\\&=\dfrac{\sqrt{a^2b^4}·\sqrt{2b}}{\sqrt{4}}\\&=\dfrac{ab^2\sqrt{2b}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{ab^2}{2}\sqrt{2b}$
【知识点】
二次根式乘除运算、最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题核心是熟练运用二次根式乘除运算法则，运算前先确定字母的取值范围可避免符号错误，最终结果要化简为最简二次根式，计算时注意被开方数的运算准确性即可。
【难度系数】
0.7
要解这道二次根式乘除混合运算题，首先依据二次根式的运算法则：同次根式相乘除时，根指数不变，仅将被开方数相乘除。首先要明确字母的取值范围：由二次根式有意义、分母不为0的条件可得$a＞0,b≥0$，避免开方时出现符号错误；接下来将所有被开方数统一放到同一个根号下进行乘除运算，先计算被开方数的结果，最后将得到的二次根式化简为最简二次根式即可。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件，得$a＞0,b≥0$。
根据二次根式乘除运算法则$\sqrt{A}÷\sqrt{B}×\sqrt{C}=\sqrt{A÷ B× C}（A≥0,B＞0,C≥0）$，可得：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{\dfrac{ab^3}{16} ÷ \dfrac{1}{a} × 8b^2}\\&=\sqrt{\dfrac{ab^3}{16} × a × 8b^2}\\&=\sqrt{\dfrac{8a^2b^5}{16}}\\&=\sqrt{\dfrac{a^2b^5}{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{a^2b^4·2b}{4}}\\&=\dfrac{\sqrt{a^2b^4}·\sqrt{2b}}{\sqrt{4}}\\&=\dfrac{ab^2\sqrt{2b}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{ab^2}{2}\sqrt{2b}$
【知识点】
二次根式乘除运算、最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题核心是熟练运用二次根式乘除运算法则，运算前先确定字母的取值范围可避免符号错误，最终结果要化简为最简二次根式，计算时注意被开方数的运算准确性即可。
【难度系数】
0.7
23.已知实数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示，化简：$|a| - \sqrt{(a+c)^2} + \sqrt{(c-a)^2} - (\sqrt{b})^2$.
答案
23. 解:由数轴可知:$c＜-a＜0＜a＜b.$
$\therefore c+a＜0,c-a＜0,$
$\therefore$原式$=a+(a+c)-(c-a)-b$
$=a+a+c-c+a-b$
$=3a-b.$
$\therefore c+a＜0,c-a＜0,$
$\therefore$原式$=a+(a+c)-(c-a)-b$
$=a+a+c-c+a-b$
$=3a-b.$
解析
【分析】
解题时首先观察数轴上点的位置，根据“数轴上右侧的数始终大于左侧的数”，确定a、b、c的大小关系和绝对值大小关系，再据此判断绝对值内、二次根式被开方数的正负；之后结合绝对值的化简规则、二次根式的性质，去掉绝对值和根号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴上点的位置可知：$c＜-a＜0＜a＜b$
$\therefore a+c＜0$，$c-a＜0$
根据绝对值和二次根式的性质化简原式：
原式$=a - |a+c| + |c-a| - b$
$=a+(a+c)-(c-a)-b$
$=a+a+c-c+a-b$
$=3a-b$
【答案】
$3a-b$
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，二次根式的性质
【点评】
本题是代数化简类的常规题型，解题的关键是结合数轴准确判断各代数式的正负，化简时要注意去绝对值和根号时的符号变化，避免因符号判断错误导致失分。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴上点的位置，根据“数轴上右侧的数始终大于左侧的数”，确定a、b、c的大小关系和绝对值大小关系，再据此判断绝对值内、二次根式被开方数的正负；之后结合绝对值的化简规则、二次根式的性质，去掉绝对值和根号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴上点的位置可知：$c＜-a＜0＜a＜b$
$\therefore a+c＜0$，$c-a＜0$
根据绝对值和二次根式的性质化简原式：
原式$=a - |a+c| + |c-a| - b$
$=a+(a+c)-(c-a)-b$
$=a+a+c-c+a-b$
$=3a-b$
【答案】
$3a-b$
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，二次根式的性质
【点评】
本题是代数化简类的常规题型，解题的关键是结合数轴准确判断各代数式的正负，化简时要注意去绝对值和根号时的符号变化，避免因符号判断错误导致失分。
【难度系数】
0.7
