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24. 小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$3+2\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}+2=(1+\sqrt{2})^2$。善于思考的小明进行了以下探索：设$a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$（其中$a,b,m,n$均为整数），则有$a+b\sqrt{2}=m^2+2n^2+2mn\sqrt{2}$，所以$a=m^2+2n^2$，$b=2mn$。这样小明就找到了一种把部分$a+b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法。
请仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1) 当$a,b,m,n$均为正整数时，若$a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，用含$m,n$的式子分别表示$a,b$的值；
(2) 试把$7+4\sqrt{3}$化成一个完全平方式。
请仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1) 当$a,b,m,n$均为正整数时，若$a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，用含$m,n$的式子分别表示$a,b$的值；
(2) 试把$7+4\sqrt{3}$化成一个完全平方式。
答案
24. 解:(1)$\because a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2,$
$\therefore a+b\sqrt{3}=m^2+2\sqrt{3}mn+3n^2,$
$\therefore a=m^2+3n^2,b=2mn.$
(2)$7+4\sqrt{3}=4+4\sqrt{3}+3=(2+\sqrt{3})^2.$
$\therefore a+b\sqrt{3}=m^2+2\sqrt{3}mn+3n^2,$
$\therefore a=m^2+3n^2,b=2mn.$
(2)$7+4\sqrt{3}=4+4\sqrt{3}+3=(2+\sqrt{3})^2.$
解析
【分析】
本题为材料探究题，解题思路可分为两步：
(1) 参照题干给出的推导逻辑，先利用完全平方公式将$(m+n\sqrt{3})^2$展开，再将展开式与$a+b\sqrt{3}$对比，让等式两边的有理数部分、含$\sqrt{3}$的无理数部分系数分别对应相等，即可得到$a$、$b$的表达式。
(2) 逆向使用第(1)问的结论，已知$a=7$、$b=4$，先通过$b=2mn=4$找出符合条件的正整数$m$、$n$，再代入$a$的表达式验证，最终写出对应的完全平方式即可。
【解析】
(1) 对等式右边展开计算：
$\because a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$
$\therefore a+b\sqrt{3}=m^2+2mn\sqrt{3}+3n^2$
对比等式两边对应项系数，可得：
$a=m^2+3n^2$，$b=2mn$
(2) 对于$7+4\sqrt{3}$，结合(1)的结论可知$b=4=2mn$，即$mn=2$，因为$m$、$n$均为正整数，可得两组可能取值：$m=2,n=1$或$m=1,n=2$。
代入$a=m^2+3n^2$验证：当$m=2,n=1$时，$a=2^2+3×1^2=7$，符合要求。
因此可得：
$7+4\sqrt{3}=4+4\sqrt{3}+3=(2+\sqrt{3})^2$
【答案】
(1) $a=m^2+3n^2$，$b=2mn$；
(2) $7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 二次根式运算
3. 类比探究
【点评】
本题属于阅读迁移类题型，要求学生先读懂材料给出的推导方法，再类比应用到新的问题场景中，既考查了二次根式和完全平方公式的基础掌握情况，也考查了知识迁移应用的能力，解题的关键是抓住等式两边有理部分和无理部分分别对应相等的规律。
【难度系数】
0.8
本题为材料探究题，解题思路可分为两步：
(1) 参照题干给出的推导逻辑，先利用完全平方公式将$(m+n\sqrt{3})^2$展开，再将展开式与$a+b\sqrt{3}$对比，让等式两边的有理数部分、含$\sqrt{3}$的无理数部分系数分别对应相等，即可得到$a$、$b$的表达式。
(2) 逆向使用第(1)问的结论，已知$a=7$、$b=4$，先通过$b=2mn=4$找出符合条件的正整数$m$、$n$，再代入$a$的表达式验证，最终写出对应的完全平方式即可。
【解析】
(1) 对等式右边展开计算：
$\because a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$
$\therefore a+b\sqrt{3}=m^2+2mn\sqrt{3}+3n^2$
对比等式两边对应项系数，可得：
$a=m^2+3n^2$，$b=2mn$
(2) 对于$7+4\sqrt{3}$，结合(1)的结论可知$b=4=2mn$，即$mn=2$，因为$m$、$n$均为正整数，可得两组可能取值：$m=2,n=1$或$m=1,n=2$。
代入$a=m^2+3n^2$验证：当$m=2,n=1$时，$a=2^2+3×1^2=7$，符合要求。
因此可得：
$7+4\sqrt{3}=4+4\sqrt{3}+3=(2+\sqrt{3})^2$
【答案】
(1) $a=m^2+3n^2$，$b=2mn$；
(2) $7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 二次根式运算
3. 类比探究
【点评】
本题属于阅读迁移类题型，要求学生先读懂材料给出的推导方法，再类比应用到新的问题场景中，既考查了二次根式和完全平方公式的基础掌握情况，也考查了知识迁移应用的能力，解题的关键是抓住等式两边有理部分和无理部分分别对应相等的规律。
【难度系数】
0.8
25. 先来看一个有趣的现象：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^2×2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，这个根号里的“2”经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”。具有这种现象的数还有许多，例如：$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$，等等。
(1) $\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\_\_\_\_\_\_$，并证明你的猜想；
(2) 请用一个正整数$n(n≥2)$表示含有上述规律的等式，并给出证明；
(3) 按此规律，若$\sqrt{a+\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$（$a,b$为正整数），求$a+b$的值。
(1) $\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\_\_\_\_\_\_$，并证明你的猜想；
(2) 请用一个正整数$n(n≥2)$表示含有上述规律的等式，并给出证明；
(3) 按此规律，若$\sqrt{a+\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$（$a,b$为正整数），求$a+b$的值。
答案
25. 解:(1)$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{125}{24}}=\sqrt{\dfrac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
(2)$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$,证明如下:
$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^2-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^2·n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}.$
(3)由条件可知$a=8,b=a^2-1,$
$\therefore b=8^2-1=63,$
$\therefore a+b=8+63=71.$
$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{125}{24}}=\sqrt{\dfrac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
(2)$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$,证明如下:
$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^2-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^2·n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}.$
(3)由条件可知$a=8,b=a^2-1,$
$\therefore b=8^2-1=63,$
$\therefore a+b=8+63=71.$
解析
【分析】
本题是二次根式相关的规律探究题，解题思路如下：
(1) 先观察题干给出的示例：根号内带分数的整数部分、分子数值相同，分母为整数部分的平方减1，开方后结果为整数部分乘根号下“分子/分母”，据此猜想第一问结果，再将带分数化为假分数，拆分分子为平方数乘剩余项的形式，化简二次根式即可证明；
(2) 用正整数$n(n≥2)$表示带分数的整数部分，结合示例的规律写出通用等式，再按照和(1)相同的化简步骤验证等式成立即可；
(3) 对照第二问得出的一般规律，分子为8对应通用式中的$n$，即可得到$a$的值，再代入分母的规律表达式求出$b$，最后计算$a+b$即可。
【解析】
(1) 猜想结果为$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，证明：
$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{5×24 + 5}{24}}=\sqrt{\dfrac{125}{24}}=\sqrt{\dfrac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
(2) 通用规律等式为$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}（n≥2，n为正整数）$，证明：
左边$=\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^2· n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=$右边，等式成立。
(3) 根据(2)的规律，等式$\sqrt{a+\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$中分子为8，因此$a=8$，分母$b=a^2-1$，代入得$b=8^2-1=63$，所以$a+b=8+63=71$。
【答案】
(1) $5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$；(2) $\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}（n≥2，n为正整数）$；(3) $71$
【知识点】
二次根式化简，数字规律探究，代数式运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，以二次根式的化简为载体，需要从给出的特殊例子中归纳出通用规律，再运用规律解决具体问题，能较好地考查观察归纳能力和二次根式的运算能力。
【难度系数】
0.65
本题是二次根式相关的规律探究题，解题思路如下：
(1) 先观察题干给出的示例：根号内带分数的整数部分、分子数值相同，分母为整数部分的平方减1，开方后结果为整数部分乘根号下“分子/分母”，据此猜想第一问结果，再将带分数化为假分数，拆分分子为平方数乘剩余项的形式，化简二次根式即可证明；
(2) 用正整数$n(n≥2)$表示带分数的整数部分，结合示例的规律写出通用等式，再按照和(1)相同的化简步骤验证等式成立即可；
(3) 对照第二问得出的一般规律，分子为8对应通用式中的$n$，即可得到$a$的值，再代入分母的规律表达式求出$b$，最后计算$a+b$即可。
【解析】
(1) 猜想结果为$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，证明：
$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{5×24 + 5}{24}}=\sqrt{\dfrac{125}{24}}=\sqrt{\dfrac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
(2) 通用规律等式为$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}（n≥2，n为正整数）$，证明：
左边$=\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^2· n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=$右边，等式成立。
(3) 根据(2)的规律，等式$\sqrt{a+\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$中分子为8，因此$a=8$，分母$b=a^2-1$，代入得$b=8^2-1=63$，所以$a+b=8+63=71$。
【答案】
(1) $5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$；(2) $\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}（n≥2，n为正整数）$；(3) $71$
【知识点】
二次根式化简，数字规律探究，代数式运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，以二次根式的化简为载体，需要从给出的特殊例子中归纳出通用规律，再运用规律解决具体问题，能较好地考查观察归纳能力和二次根式的运算能力。
【难度系数】
0.65
