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小结与思考
一、选择题
一、选择题
答案
解：
1. 根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形。
等腰三角形、线段、钝角均是轴对称图形，直角三角形只有为等腰直角三角形时才满足轴对称图形的要求，因此不一定是轴对称图形的是直角三角形。
答案：D
2. 勾股数的定义：满足两个正整数的平方和等于第三个正整数的平方的一组正整数叫做勾股数。
A. $1^2+2^2 ≠ 3^2$，不符合要求；
B. $2^2+3^2 ≠ 4^2$，不符合要求；
C. 0.3、0.4、0.5不是正整数，不符合要求；
D. $5^2+12^2=13^2$，三个数均为正整数，符合勾股数定义。
答案：D
3. 关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
点$P(-2,3)$关于x轴对称的点横坐标为$-2$，纵坐标为$-3$，对应坐标为$(-2,-3)$。
答案：B
4. 无理数的定义：无限不循环小数为无理数。
$0$、$\frac{1}{3}$、$3.14$均为有理数，$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数。
答案：C
5. 将$x=1$代入一次函数$y=2x+1$，得$y=2×1+1=3$。
答案：C
6. 在$△ ABC$中，$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-70°-50°=60°$，根据全等三角形对应角相等的性质，由$△ ABC ≌ △ DEF$得$∠ F=∠ C=60°$。
答案：C
1. 根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形。
等腰三角形、线段、钝角均是轴对称图形，直角三角形只有为等腰直角三角形时才满足轴对称图形的要求，因此不一定是轴对称图形的是直角三角形。
答案：D
2. 勾股数的定义：满足两个正整数的平方和等于第三个正整数的平方的一组正整数叫做勾股数。
A. $1^2+2^2 ≠ 3^2$，不符合要求；
B. $2^2+3^2 ≠ 4^2$，不符合要求；
C. 0.3、0.4、0.5不是正整数，不符合要求；
D. $5^2+12^2=13^2$，三个数均为正整数，符合勾股数定义。
答案：D
3. 关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
点$P(-2,3)$关于x轴对称的点横坐标为$-2$，纵坐标为$-3$，对应坐标为$(-2,-3)$。
答案：B
4. 无理数的定义：无限不循环小数为无理数。
$0$、$\frac{1}{3}$、$3.14$均为有理数，$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数。
答案：C
5. 将$x=1$代入一次函数$y=2x+1$，得$y=2×1+1=3$。
答案：C
6. 在$△ ABC$中，$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-70°-50°=60°$，根据全等三角形对应角相等的性质，由$△ ABC ≌ △ DEF$得$∠ F=∠ C=60°$。
答案：C
解析
【分析】
这组选择题均为基础考察题，解题时遵循对应知识点优先的思路：第一步先定位每道题考察的核心概念或性质，第二步结合定义对选项逐一验证，可使用直接判断法或排除法筛选答案，无需复杂计算或推导，紧扣教材基础内容即可作答。
【解析】
1. 根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形。等腰三角形、线段、钝角均是轴对称图形，直角三角形只有为等腰直角三角形时才满足轴对称图形的要求，因此不一定是轴对称图形的是直角三角形。
2. 勾股数的定义：满足两个正整数的平方和等于第三个正整数的平方的一组正整数叫做勾股数。
A. $1^2+2^2=5≠9=3^2$，不符合要求；
B. $2^2+3^2=13≠16=4^2$，不符合要求；
C. 0.3、0.4、0.5不是正整数，不符合要求；
D. $5^2+12^2=25+144=169=13^2$，三个数均为正整数，符合勾股数定义。
3. 关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数。点$P(-2,3)$关于x轴对称的点横坐标为$-2$，纵坐标为$-3$，对应坐标为$(-2,-3)$。
4. 无理数的定义：无限不循环小数为无理数。$0$是整数、$\frac{1}{3}$是无限循环小数、$3.14$是有限小数，三者均为有理数，$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数。
5. 将$x=1$代入一次函数$y=2x+1$，得$y=2×1+1=3$。
6. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-70°-50°=60°$，根据全等三角形对应角相等的性质，由$△ ABC ≌ △ DEF$得$∠ F=∠ C=60°$。
【答案】
1.D；2.D；3.B；4.C；5.C；6.C
【知识点】
基础概念辨析，坐标与函数基础，三角形性质
【点评】
这组题侧重对教材核心概念、基本性质的识记与简单应用考察，题型常规，没有设置易错陷阱，只要熟练掌握课本基础内容就能快速作答，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
这组选择题均为基础考察题，解题时遵循对应知识点优先的思路：第一步先定位每道题考察的核心概念或性质，第二步结合定义对选项逐一验证，可使用直接判断法或排除法筛选答案，无需复杂计算或推导，紧扣教材基础内容即可作答。
【解析】
1. 根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形。等腰三角形、线段、钝角均是轴对称图形，直角三角形只有为等腰直角三角形时才满足轴对称图形的要求，因此不一定是轴对称图形的是直角三角形。
2. 勾股数的定义：满足两个正整数的平方和等于第三个正整数的平方的一组正整数叫做勾股数。
A. $1^2+2^2=5≠9=3^2$，不符合要求；
B. $2^2+3^2=13≠16=4^2$，不符合要求；
C. 0.3、0.4、0.5不是正整数，不符合要求；
D. $5^2+12^2=25+144=169=13^2$，三个数均为正整数，符合勾股数定义。
3. 关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数。点$P(-2,3)$关于x轴对称的点横坐标为$-2$，纵坐标为$-3$，对应坐标为$(-2,-3)$。
4. 无理数的定义：无限不循环小数为无理数。$0$是整数、$\frac{1}{3}$是无限循环小数、$3.14$是有限小数，三者均为有理数，$\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数。
5. 将$x=1$代入一次函数$y=2x+1$，得$y=2×1+1=3$。
6. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-70°-50°=60°$，根据全等三角形对应角相等的性质，由$△ ABC ≌ △ DEF$得$∠ F=∠ C=60°$。
【答案】
1.D；2.D；3.B；4.C；5.C；6.C
【知识点】
基础概念辨析，坐标与函数基础，三角形性质
【点评】
这组题侧重对教材核心概念、基本性质的识记与简单应用考察，题型常规，没有设置易错陷阱，只要熟练掌握课本基础内容就能快速作答，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
1.(2025·苏州期末)下列四个实数中,是无理数的是
（
A.$-\dfrac{11}{7}$
B.$\sqrt{3}$
C.0
D.$\sqrt{4}$
（
B
）A.$-\dfrac{11}{7}$
B.$\sqrt{3}$
C.0
D.$\sqrt{4}$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断四个实数中的无理数，首先要明确有理数和无理数的定义：有理数包括整数和分数，本质是可化为有限小数或无限循环小数的数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。解题时先将可化简的数化简，再逐个对照定义判断即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$-\dfrac{11}{7}$是分数，属于有理数，不符合要求；
B选项：$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数，符合要求；
C选项：0是整数，属于有理数，不符合要求；
D选项：先化简得$\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别；算术平方根的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是掌握有理数和无理数的分类标准，注意判断带根号的数时要先化简，不能直接认定带根号的数都是无理数。
【难度系数】
0.9
要判断四个实数中的无理数，首先要明确有理数和无理数的定义：有理数包括整数和分数，本质是可化为有限小数或无限循环小数的数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。解题时先将可化简的数化简，再逐个对照定义判断即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$-\dfrac{11}{7}$是分数，属于有理数，不符合要求；
B选项：$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数，符合要求；
C选项：0是整数，属于有理数，不符合要求；
D选项：先化简得$\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别；算术平方根的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是掌握有理数和无理数的分类标准，注意判断带根号的数时要先化简，不能直接认定带根号的数都是无理数。
【难度系数】
0.9
2. 已知$a=\sqrt{5},b=2,c=\sqrt{3}$，则$a,b,c$的大小关系是 （
A.$b＞a＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$a＞b＞c$
D.$b＞c＞a$
C
）A.$b＞a＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$a＞b＞c$
D.$b＞c＞a$
答案
2.C
解析
【分析】
要比较三个正数的大小，直接比较带根号的无理数难度较大，我们可以利用正数的性质：正数的平方越大，原数本身越大。通过计算三个数的平方，将无理数转化为整数，再比较整数的大小，就能反推出原数的大小关系。
【解析】
解：
∵a、b、c均为正数，分别计算三个数的平方：
$a^2=(\sqrt{5})^2=5$，
$b^2=2^2=4$，
$c^2=(\sqrt{3})^2=3$，
∵$5＞4＞3$，即$a^2＞b^2＞c^2$，
又
∵正数比较大小时，平方越大，原数越大，
∴$a＞b＞c$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 二次根式的性质
3. 平方法比较大小
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心解题方法是平方法，该方法可以将带根号的无理数转化为整数，降低比较难度，需注意平方法仅适用于待比较数全为非负数的情况。
【难度系数】
0.9
要比较三个正数的大小，直接比较带根号的无理数难度较大，我们可以利用正数的性质：正数的平方越大，原数本身越大。通过计算三个数的平方，将无理数转化为整数，再比较整数的大小，就能反推出原数的大小关系。
【解析】
解：
∵a、b、c均为正数，分别计算三个数的平方：
$a^2=(\sqrt{5})^2=5$，
$b^2=2^2=4$，
$c^2=(\sqrt{3})^2=3$，
∵$5＞4＞3$，即$a^2＞b^2＞c^2$，
又
∵正数比较大小时，平方越大，原数越大，
∴$a＞b＞c$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 二次根式的性质
3. 平方法比较大小
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心解题方法是平方法，该方法可以将带根号的无理数转化为整数，降低比较难度，需注意平方法仅适用于待比较数全为非负数的情况。
【难度系数】
0.9
3. 新情境（2025·广安）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数$\sqrt{2}$。他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”。请估计$\sqrt{2}$的值在 （
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
A
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
3.A
解析
【分析】
要估计$\sqrt{2}$的取值范围，可利用算术平方根的增减性（被开方数越大，对应的正算术平方根越大）求解：首先找到与被开方数2相邻的两个正整数的完全平方数，通过比较平方的大小，即可推出$\sqrt{2}$的取值范围。先计算得1的平方为1，2的平方为4，2介于1和4之间，因此$\sqrt{2}$就介于$\sqrt{1}$和$\sqrt{4}$之间，对应得到取值范围后即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，
且$1＜2＜4$，对于正数$a$、$b$，若$a＜b$，则$\sqrt{a}＜\sqrt{b}$，
∴ $\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，
即$1＜\sqrt{2}＜2$，
因此$\sqrt{2}$的值在1和2之间，故选A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的性质；无理数的估算
【点评】
本题以第一次数学危机的相关史实为命题背景，考查无理数大小估算的基础方法，解题核心是通过平方运算确定被开方数介于哪两个相邻正整数的平方之间，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要估计$\sqrt{2}$的取值范围，可利用算术平方根的增减性（被开方数越大，对应的正算术平方根越大）求解：首先找到与被开方数2相邻的两个正整数的完全平方数，通过比较平方的大小，即可推出$\sqrt{2}$的取值范围。先计算得1的平方为1，2的平方为4，2介于1和4之间，因此$\sqrt{2}$就介于$\sqrt{1}$和$\sqrt{4}$之间，对应得到取值范围后即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，
且$1＜2＜4$，对于正数$a$、$b$，若$a＜b$，则$\sqrt{a}＜\sqrt{b}$，
∴ $\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，
即$1＜\sqrt{2}＜2$，
因此$\sqrt{2}$的值在1和2之间，故选A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的性质；无理数的估算
【点评】
本题以第一次数学危机的相关史实为命题背景，考查无理数大小估算的基础方法，解题核心是通过平方运算确定被开方数介于哪两个相邻正整数的平方之间，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
4. 用四舍五入法得到的近似数 1.05 万,下列说法正确的是 （
A.精确到百分位
B.精确到 0.01
C.精确到百位
D.精确到万位
C
）A.精确到百分位
B.精确到 0.01
C.精确到百位
D.精确到万位
答案
4.C
解析
【分析】
要判断带单位的近似数的精确数位，首先需要明确：不能直接按照近似数的小数部分数位判断，需要先把带单位的数还原为不带单位的普通整数，再看近似数的最后一位数字对应在原数的哪个数位上，就是精确到哪一位。我们可以先把1.05万还原，再对应找数位，最后逐一判断选项即可。
【解析】
步骤1：将1.05万还原为原数：$1.05×10000 = 10500$。
步骤2：确定精确数位：近似数1.05万的最后一位数字是5，对应在10500中的数位是百位，因此1.05万精确到百位。
步骤3：逐一分析选项：
A选项：精确到百分位是对纯小数1.05的判断，忽略了单位“万”，错误；
B选项：精确到0.01同样是仅针对小数1.05的精度，未考虑单位，错误；
C选项：符合推导结果，正确；
D选项：若精确到万位，结果应为1万，错误。
【答案】
C
【知识点】
近似数的精确度；数位判断
【点评】
本题的易错点是容易忽略“万”这个计数单位，直接按小数1.05的数位判断精确度，只要先将带单位的近似数还原为原数，再定位最后一位数字的对应数位，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
要判断带单位的近似数的精确数位，首先需要明确：不能直接按照近似数的小数部分数位判断，需要先把带单位的数还原为不带单位的普通整数，再看近似数的最后一位数字对应在原数的哪个数位上，就是精确到哪一位。我们可以先把1.05万还原，再对应找数位，最后逐一判断选项即可。
【解析】
步骤1：将1.05万还原为原数：$1.05×10000 = 10500$。
步骤2：确定精确数位：近似数1.05万的最后一位数字是5，对应在10500中的数位是百位，因此1.05万精确到百位。
步骤3：逐一分析选项：
A选项：精确到百分位是对纯小数1.05的判断，忽略了单位“万”，错误；
B选项：精确到0.01同样是仅针对小数1.05的精度，未考虑单位，错误；
C选项：符合推导结果，正确；
D选项：若精确到万位，结果应为1万，错误。
【答案】
C
【知识点】
近似数的精确度；数位判断
【点评】
本题的易错点是容易忽略“万”这个计数单位，直接按小数1.05的数位判断精确度，只要先将带单位的近似数还原为原数，再定位最后一位数字的对应数位，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
5. $\sqrt{(-5)^2}$的平方根是________.
答案
5.$\pm\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时要遵循先化简二次根式、再求平方根的顺序：①首先利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$计算$\sqrt{(-5)^2}$的结果；②再根据平方根的定义，求化简后所得正数的平方根，注意正数有两个互为相反数的平方根，不要混淆平方根和算术平方根的概念。
【解析】
第一步：化简二次根式：
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$；
第二步：求5的平方根：
根据平方根的定义，若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根，因为$(\pm\sqrt{5})^2=5$，所以5的平方根为$\pm\sqrt{5}$，即$\sqrt{(-5)^2}$的平方根是$\pm\sqrt{5}$。
【答案】
$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式化简，平方根的定义，有理数乘方
【点评】
本题是易错题，常见错误是直接认为$\sqrt{(-5)^2}=\pm5$，或者求平方根时只写出正的算术平方根，解题时要注意运算顺序，明确二次根式的结果是非负数，正数的平方根有两个且互为相反数。
【难度系数】
0.6
解题时要遵循先化简二次根式、再求平方根的顺序：①首先利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$计算$\sqrt{(-5)^2}$的结果；②再根据平方根的定义，求化简后所得正数的平方根，注意正数有两个互为相反数的平方根，不要混淆平方根和算术平方根的概念。
【解析】
第一步：化简二次根式：
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$；
第二步：求5的平方根：
根据平方根的定义，若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根，因为$(\pm\sqrt{5})^2=5$，所以5的平方根为$\pm\sqrt{5}$，即$\sqrt{(-5)^2}$的平方根是$\pm\sqrt{5}$。
【答案】
$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式化简，平方根的定义，有理数乘方
【点评】
本题是易错题，常见错误是直接认为$\sqrt{(-5)^2}=\pm5$，或者求平方根时只写出正的算术平方根，解题时要注意运算顺序，明确二次根式的结果是非负数，正数的平方根有两个且互为相反数。
【难度系数】
0.6
6.(2025·东海县模拟)请写出一个比1小的无理数：
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$(答案不唯一)
.答案
6.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先明确题目的两个限定条件：一是所写的数必须是无理数，二是这个数的大小要小于1。首先回忆无理数的定义及常见类型：无理数是无限不循环小数，常见的有开方开不尽的数的方根、含π的数等。接下来结合“小于1”的要求筛选合适的数：比如已知√2≈1.414，将其除以2得到$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，计算可得其值约为0.707，既小于1，又属于无理数，满足题目要求，也可以选择其他符合两个条件的数，如$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$、$\dfrac{π}{4}$等。
【解析】
要写出满足题意的数，需同时符合两个要求：
1. 是无理数：即无限不循环小数，不能表示为两个整数的比值；
2. 数值小于1。
我们以$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$为例验证：
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707＜1$，满足“比1小”的要求；
又因为$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，所以$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$也是无理数，两个条件均满足。
除此之外，$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$、$\dfrac{π}{4}$等也符合要求，答案不唯一。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
无理数的定义；实数的大小比较
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对无理数概念的理解和实数大小比较的掌握，只要紧扣两个限定条件即可写出正确答案，答案灵活多样，合理即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目的两个限定条件：一是所写的数必须是无理数，二是这个数的大小要小于1。首先回忆无理数的定义及常见类型：无理数是无限不循环小数，常见的有开方开不尽的数的方根、含π的数等。接下来结合“小于1”的要求筛选合适的数：比如已知√2≈1.414，将其除以2得到$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，计算可得其值约为0.707，既小于1，又属于无理数，满足题目要求，也可以选择其他符合两个条件的数，如$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$、$\dfrac{π}{4}$等。
【解析】
要写出满足题意的数，需同时符合两个要求：
1. 是无理数：即无限不循环小数，不能表示为两个整数的比值；
2. 数值小于1。
我们以$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$为例验证：
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707＜1$，满足“比1小”的要求；
又因为$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，所以$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$也是无理数，两个条件均满足。
除此之外，$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$、$\dfrac{π}{4}$等也符合要求，答案不唯一。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
无理数的定义；实数的大小比较
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对无理数概念的理解和实数大小比较的掌握，只要紧扣两个限定条件即可写出正确答案，答案灵活多样，合理即可。
【难度系数】
0.9
7.(2025·苏州期末)比较大小：$\sqrt{66}$ ______ 8.(填“＜”“=”或“＞”)
答案
7.＞
解析
【分析】
要比较带算术平方根的数和整数的大小，可利用正数的性质：两个正数比较大小，平方后数值大的原数也更大，因此我们可以通过平方法将带根号的数转化为整数，再和另一个数的平方结果比较，就能得出原数的大小关系。
【解析】
解：分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{66})^2=66$，
$8^2=64$，
∵$66＞64$，且$\sqrt{66}$和$8$都为正数，正数平方越大，原数越大，
∴$\sqrt{66}＞8$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，平方法是解决带算术平方根的正数大小比较问题的常用技巧，熟练掌握该方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要比较带算术平方根的数和整数的大小，可利用正数的性质：两个正数比较大小，平方后数值大的原数也更大，因此我们可以通过平方法将带根号的数转化为整数，再和另一个数的平方结果比较，就能得出原数的大小关系。
【解析】
解：分别计算两个数的平方：
$(\sqrt{66})^2=66$，
$8^2=64$，
∵$66＞64$，且$\sqrt{66}$和$8$都为正数，正数平方越大，原数越大，
∴$\sqrt{66}＞8$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，平方法是解决带算术平方根的正数大小比较问题的常用技巧，熟练掌握该方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8. 满足$\sqrt{11}≥ k$的最大整数$k$是________.
答案
8.3
解析
【分析】
要找到满足$\sqrt{11}≥ k$的最大整数$k$，核心是先确定$\sqrt{11}$的取值范围，我们可以通过“夹逼法”，找和11相邻的两个完全平方数，再利用算术平方根的性质推导$\sqrt{11}$介于哪两个相邻整数之间，进而找到符合条件的最大整数。
【解析】
解：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$
∴ 根据算术平方根的非负性，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$
即 $3＜\sqrt{11}＜4$
∴ 小于等于$\sqrt{11}$的整数包含3、2、1、0及所有负整数，其中最大的整数为3
因此满足条件的最大整数$k=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对无理数大小的估算能力，掌握“夹逼法”确定无理数范围的方法是解题关键，平时多记忆1到20的整数平方可提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
要找到满足$\sqrt{11}≥ k$的最大整数$k$，核心是先确定$\sqrt{11}$的取值范围，我们可以通过“夹逼法”，找和11相邻的两个完全平方数，再利用算术平方根的性质推导$\sqrt{11}$介于哪两个相邻整数之间，进而找到符合条件的最大整数。
【解析】
解：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$
∴ 根据算术平方根的非负性，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$
即 $3＜\sqrt{11}＜4$
∴ 小于等于$\sqrt{11}$的整数包含3、2、1、0及所有负整数，其中最大的整数为3
因此满足条件的最大整数$k=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对无理数大小的估算能力，掌握“夹逼法”确定无理数范围的方法是解题关键，平时多记忆1到20的整数平方可提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
9.已知正实数$x$的两个平方根是$a$和$a+b$.若$2a^2x+(a+b)^2x=27$,则$x=$
3
.答案
9.3
解析
【分析】
解题时首先利用正实数平方根的性质：正实数的两个平方根的平方都等于该正实数本身，可得$a^2=x$，$(a+b)^2=x$。再将这两个关系式代入题干给出的等式中，即可得到只含有未知数$x$的方程，结合$x$是正实数的条件解方程即可得到$x$的值。
【解析】
解：
∵正实数$x$的两个平方根是$a$和$a+b$
∴根据平方根的性质可得：$a^2 = x$，$(a+b)^2 = x$
将$a^2=x$，$(a+b)^2=x$代入$2a^2x + (a+b)^2x = 27$，得：
$2· x · x + x · x = 27$
合并同类项得：$3x^2 = 27$
两边同时除以3得：$x^2 = 9$
∵$x$是正实数
∴$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
平方根的性质；解一元二次方程
【点评】
本题重点考查平方根性质的灵活运用，解题的突破口是明确任意一个正实数的两个平方根的平方都等于原数，代入后将原式转化为关于$x$的方程求解即可，解题时注意不要忽略$x$是正实数的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用正实数平方根的性质：正实数的两个平方根的平方都等于该正实数本身，可得$a^2=x$，$(a+b)^2=x$。再将这两个关系式代入题干给出的等式中，即可得到只含有未知数$x$的方程，结合$x$是正实数的条件解方程即可得到$x$的值。
【解析】
解：
∵正实数$x$的两个平方根是$a$和$a+b$
∴根据平方根的性质可得：$a^2 = x$，$(a+b)^2 = x$
将$a^2=x$，$(a+b)^2=x$代入$2a^2x + (a+b)^2x = 27$，得：
$2· x · x + x · x = 27$
合并同类项得：$3x^2 = 27$
两边同时除以3得：$x^2 = 9$
∵$x$是正实数
∴$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
平方根的性质；解一元二次方程
【点评】
本题重点考查平方根性质的灵活运用，解题的突破口是明确任意一个正实数的两个平方根的平方都等于原数，代入后将原式转化为关于$x$的方程求解即可，解题时注意不要忽略$x$是正实数的限制条件。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10. 把下列各数填在相应的横线上.
$\frac{2}{3}, -0.\dot{3}\dot{1}, -(-2), -\sqrt[3]{27}, 1.732, \sqrt{3}, 0, \frac{π}{3}, 1.1010010001···$（相邻两个1之间依次多一个0）.
整数：______；
正分数：______；
无理数：______.
10. 把下列各数填在相应的横线上.
$\frac{2}{3}, -0.\dot{3}\dot{1}, -(-2), -\sqrt[3]{27}, 1.732, \sqrt{3}, 0, \frac{π}{3}, 1.1010010001···$（相邻两个1之间依次多一个0）.
整数：______；
正分数：______；
无理数：______.
答案
10. $-(-2), -\sqrt[3]{27}, 0$
$\frac{2}{3},1.732$
$\sqrt{3},\frac{π}{3},1. 1010010001…$(相邻两个1之间依次多一个0)
$\frac{2}{3},1.732$
$\sqrt{3},\frac{π}{3},1. 1010010001…$(相邻两个1之间依次多一个0)
解析
【分析】
解决这类实数分类问题，首先要先将题目中含有运算的数化简，再分别明确整数、正分数、无理数的定义，逐一判断每个数所属类别，避免未化简直接判断出错。其中：整数包含正整数、0、负整数；正分数是大于0的分数，有限小数、无限循环小数都属于分数范畴；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环且有固定规律的小数三类，按这个标准逐一归类即可。
【解析】
首先化简题中可运算的数：
$-(-2)=2$，$-\sqrt[3]{27}=-3$
再根据对应定义分类：
1. 整数：包含正整数、0、负整数，符合要求的数为$-(-2), -\sqrt[3]{27}, 0$；
2. 正分数：大于0的分数，有限小数和无限循环小数均属于分数，符合要求的数为$\frac{2}{3}, 1.732$；
3. 无理数：无限不循环小数，$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，$\frac{π}{3}$含无理数π，$1.1010010001···$（相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，三者均为无理数。
【答案】
整数：$-(-2), -\sqrt[3]{27}, 0$
正分数：$\frac{2}{3},1.732$
无理数：$\sqrt{3},\frac{π}{3},1. 1010010001…$(相邻两个1之间依次多一个0)
【知识点】
实数的分类、无理数的识别、有理数的概念
【点评】
本题是实数分类的基础常规题，解题核心是先化简带运算的数，再结合各类数的定义判断，要注意不要将有限小数、无限循环小数错归为无理数，也不要忽略含π的数和无限不循环的规律小数都是无理数。
【难度系数】
0.8
解决这类实数分类问题，首先要先将题目中含有运算的数化简，再分别明确整数、正分数、无理数的定义，逐一判断每个数所属类别，避免未化简直接判断出错。其中：整数包含正整数、0、负整数；正分数是大于0的分数，有限小数、无限循环小数都属于分数范畴；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环且有固定规律的小数三类，按这个标准逐一归类即可。
【解析】
首先化简题中可运算的数：
$-(-2)=2$，$-\sqrt[3]{27}=-3$
再根据对应定义分类：
1. 整数：包含正整数、0、负整数，符合要求的数为$-(-2), -\sqrt[3]{27}, 0$；
2. 正分数：大于0的分数，有限小数和无限循环小数均属于分数，符合要求的数为$\frac{2}{3}, 1.732$；
3. 无理数：无限不循环小数，$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，$\frac{π}{3}$含无理数π，$1.1010010001···$（相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，三者均为无理数。
【答案】
整数：$-(-2), -\sqrt[3]{27}, 0$
正分数：$\frac{2}{3},1.732$
无理数：$\sqrt{3},\frac{π}{3},1. 1010010001…$(相邻两个1之间依次多一个0)
【知识点】
实数的分类、无理数的识别、有理数的概念
【点评】
本题是实数分类的基础常规题，解题核心是先化简带运算的数，再结合各类数的定义判断，要注意不要将有限小数、无限循环小数错归为无理数，也不要忽略含π的数和无限不循环的规律小数都是无理数。
【难度系数】
0.8
11. 求下列各式中的 $ x $.
(1)$5(x+2)^2 = 10$;
(2)$(x+4)^3 = -64$;
(3)$25(x-2)^2 = 81$;
(4)$27(x+1)^3 + 125 = 0$.
(1)$5(x+2)^2 = 10$;
(2)$(x+4)^3 = -64$;
(3)$25(x-2)^2 = 81$;
(4)$27(x+1)^3 + 125 = 0$.
答案
11.解:(1)等式两边都除以5,得$(x+2)^2=2$,
$\therefore x+2=\pm\sqrt{2}$,
$\therefore x=-2+\sqrt{2}$或$x=-2-\sqrt{2}$.
(2)$\because (x+4)^3=-64$,
$\therefore x+4=-4,\therefore x=-8$.
(3)等式两边都除以25,得$(x-2)^2=\frac{81}{25}$,
$\therefore x-2=\pm\sqrt{\frac{81}{25}}$,即$x-2=\frac{9}{5}$或$x-2=-\frac{9}{5}$,
则$x=\frac{19}{5}$或$x=\frac{1}{5}$.
(4)移项,得$27(x+1)^3=-125$,
两边都除以27,得$(x+1)^3=-\frac{125}{27}$,
$\therefore x+1=-\frac{5}{3}$,则$x=-\frac{8}{3}$.
$\therefore x+2=\pm\sqrt{2}$,
$\therefore x=-2+\sqrt{2}$或$x=-2-\sqrt{2}$.
(2)$\because (x+4)^3=-64$,
$\therefore x+4=-4,\therefore x=-8$.
(3)等式两边都除以25,得$(x-2)^2=\frac{81}{25}$,
$\therefore x-2=\pm\sqrt{\frac{81}{25}}$,即$x-2=\frac{9}{5}$或$x-2=-\frac{9}{5}$,
则$x=\frac{19}{5}$或$x=\frac{1}{5}$.
(4)移项,得$27(x+1)^3=-125$,
两边都除以27,得$(x+1)^3=-\frac{125}{27}$,
$\therefore x+1=-\frac{5}{3}$,则$x=-\frac{8}{3}$.
解析
【分析】
这四道题均采用整体思想求解，首先把含x的括号部分看作一个整体，将等式变形为左边是完全平方或完全立方、右边是常数的形式；再根据平方根、立方根的性质开方：开平方时有两个互为相反数的结果，开立方时仅有唯一结果，最后解一元一次方程得到x的值，注意开平方不要漏解。
【解析】
(1)等式两边都除以5，得$(x+2)^2=2$，
$\therefore x+2=\pm\sqrt{2}$，
$\therefore x=-2+\sqrt{2}$或$x=-2-\sqrt{2}$。
(2)$\because (x+4)^3=-64$，
$\therefore x+4=-4$，$\therefore x=-8$。
(3)等式两边都除以25，得$(x-2)^2=\frac{81}{25}$，
$\therefore x-2=\pm\sqrt{\frac{81}{25}}$，即$x-2=\frac{9}{5}$或$x-2=-\frac{9}{5}$，
则$x=\frac{19}{5}$或$x=\frac{1}{5}$。
(4)移项，得$27(x+1)^3=-125$，
两边都除以27，得$(x+1)^3=-\frac{125}{27}$，
$\therefore x+1=-\frac{5}{3}$，则$x=-\frac{8}{3}$。
【答案】
(1)$x=-2\pm\sqrt{2}$；(2)$x=-8$；(3)$x=\frac{19}{5}$或$x=\frac{1}{5}$；(4)$x=-\frac{8}{3}$
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，开方解方程
【点评】
本题是开方运算解方程的基础题型，核心是运用整体思想简化运算，需注意区分开平方和开立方的差异：开平方要考虑正负两个根，避免漏解；开立方时根的符号与被开方数一致，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
这四道题均采用整体思想求解，首先把含x的括号部分看作一个整体，将等式变形为左边是完全平方或完全立方、右边是常数的形式；再根据平方根、立方根的性质开方：开平方时有两个互为相反数的结果，开立方时仅有唯一结果，最后解一元一次方程得到x的值，注意开平方不要漏解。
【解析】
(1)等式两边都除以5，得$(x+2)^2=2$，
$\therefore x+2=\pm\sqrt{2}$，
$\therefore x=-2+\sqrt{2}$或$x=-2-\sqrt{2}$。
(2)$\because (x+4)^3=-64$，
$\therefore x+4=-4$，$\therefore x=-8$。
(3)等式两边都除以25，得$(x-2)^2=\frac{81}{25}$，
$\therefore x-2=\pm\sqrt{\frac{81}{25}}$，即$x-2=\frac{9}{5}$或$x-2=-\frac{9}{5}$，
则$x=\frac{19}{5}$或$x=\frac{1}{5}$。
(4)移项，得$27(x+1)^3=-125$，
两边都除以27，得$(x+1)^3=-\frac{125}{27}$，
$\therefore x+1=-\frac{5}{3}$，则$x=-\frac{8}{3}$。
【答案】
(1)$x=-2\pm\sqrt{2}$；(2)$x=-8$；(3)$x=\frac{19}{5}$或$x=\frac{1}{5}$；(4)$x=-\frac{8}{3}$
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，开方解方程
【点评】
本题是开方运算解方程的基础题型，核心是运用整体思想简化运算，需注意区分开平方和开立方的差异：开平方要考虑正负两个根，避免漏解；开立方时根的符号与被开方数一致，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
