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12. 求下列各式的值：
(1)$\sqrt{1.44}$；
(2)$-\sqrt[3]{0.027}$；
(3)$\sqrt{10^{-6}}$；
(4)$\sqrt{\frac{9}{64}}$；
(5)$\sqrt{1+\frac{24}{25}}$；
(6)$-\sqrt[3]{-2-\frac{10}{27}}$.
(1)$\sqrt{1.44}$；
(2)$-\sqrt[3]{0.027}$；
(3)$\sqrt{10^{-6}}$；
(4)$\sqrt{\frac{9}{64}}$；
(5)$\sqrt{1+\frac{24}{25}}$；
(6)$-\sqrt[3]{-2-\frac{10}{27}}$.
答案
12.解:(1)原式$=\sqrt{1.2^2}=1.2$.
(2)原式$=-\sqrt[3]{0.3^3}=-0.3$.
(3)原式$=10^{-3}=0.001$.
(4)原式$=\sqrt{(\frac{3}{8})^2}=\frac{3}{8}$.
(5)原式$=\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}$.
(6)原式$=-\sqrt[3]{-\frac{64}{27}}=\frac{4}{3}$.
(2)原式$=-\sqrt[3]{0.3^3}=-0.3$.
(3)原式$=10^{-3}=0.001$.
(4)原式$=\sqrt{(\frac{3}{8})^2}=\frac{3}{8}$.
(5)原式$=\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}$.
(6)原式$=-\sqrt[3]{-\frac{64}{27}}=\frac{4}{3}$.
解析
【分析】
本题考查算术平方根与立方根的化简计算，解题思路如下：1. 先明确核心性质：算术平方根的结果为非负数，对非负数a有$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$；立方根的符号与被开方数一致，对任意实数a有$\sqrt[3]{a^3}=a$。2. 处理每道小题时，若被开方数是混合运算或带分数，先计算化简被开方数，再将其转化为某个数的平方（开平方题）或立方（开立方题）的形式，最后结合根式性质和运算符号计算最终结果。
【解析】
(1) 因为$1.2^2=1.44$，所以原式$=\sqrt{1.2^2}=1.2$；
(2) 因为$0.3^3=0.027$，所以原式$=-\sqrt[3]{0.3^3}=-0.3$；
(3) 因为$(10^{-3})^2=10^{-6}$，所以原式$=\sqrt{(10^{-3})^2}=10^{-3}=0.001$；
(4) 因为$(\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}$，所以原式$=\sqrt{(\frac{3}{8})^2}=\frac{3}{8}$；
(5) 先计算被开方数：$1+\frac{24}{25}=\frac{25}{25}+\frac{24}{25}=\frac{49}{25}$，又因为$(\frac{7}{5})^2=\frac{49}{25}$，所以原式$=\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}$；
(6) 先计算被开方数：$-2-\frac{10}{27}=-\frac{54}{27}-\frac{10}{27}=-\frac{64}{27}$，又因为$(-\frac{4}{3})^3=-\frac{64}{27}$，所以原式$=-\sqrt[3]{-\frac{64}{27}}=-(-\frac{4}{3})=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$1.2$；(2)$-0.3$；(3)$0.001$；(4)$\frac{3}{8}$；(5)$\frac{7}{5}$；(6)$\frac{4}{3}$
【知识点】
算术平方根的性质、立方根的性质、根式化简
【点评】
本题是根式运算的基础题型，重点考查对算术平方根、立方根定义和性质的运用，计算时需先化简被开方数再开方，尤其要注意立方根运算中符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
本题考查算术平方根与立方根的化简计算，解题思路如下：1. 先明确核心性质：算术平方根的结果为非负数，对非负数a有$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$；立方根的符号与被开方数一致，对任意实数a有$\sqrt[3]{a^3}=a$。2. 处理每道小题时，若被开方数是混合运算或带分数，先计算化简被开方数，再将其转化为某个数的平方（开平方题）或立方（开立方题）的形式，最后结合根式性质和运算符号计算最终结果。
【解析】
(1) 因为$1.2^2=1.44$，所以原式$=\sqrt{1.2^2}=1.2$；
(2) 因为$0.3^3=0.027$，所以原式$=-\sqrt[3]{0.3^3}=-0.3$；
(3) 因为$(10^{-3})^2=10^{-6}$，所以原式$=\sqrt{(10^{-3})^2}=10^{-3}=0.001$；
(4) 因为$(\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}$，所以原式$=\sqrt{(\frac{3}{8})^2}=\frac{3}{8}$；
(5) 先计算被开方数：$1+\frac{24}{25}=\frac{25}{25}+\frac{24}{25}=\frac{49}{25}$，又因为$(\frac{7}{5})^2=\frac{49}{25}$，所以原式$=\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}$；
(6) 先计算被开方数：$-2-\frac{10}{27}=-\frac{54}{27}-\frac{10}{27}=-\frac{64}{27}$，又因为$(-\frac{4}{3})^3=-\frac{64}{27}$，所以原式$=-\sqrt[3]{-\frac{64}{27}}=-(-\frac{4}{3})=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$1.2$；(2)$-0.3$；(3)$0.001$；(4)$\frac{3}{8}$；(5)$\frac{7}{5}$；(6)$\frac{4}{3}$
【知识点】
算术平方根的性质、立方根的性质、根式化简
【点评】
本题是根式运算的基础题型，重点考查对算术平方根、立方根定义和性质的运用，计算时需先化简被开方数再开方，尤其要注意立方根运算中符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
13.已知实数$m,n$满足等式$(2m+4)^2 + \sqrt{4-n}=0.$
(1)求$m,n$的值；
(2)求$3n-2m$的平方根.
(1)求$m,n$的值；
(2)求$3n-2m$的平方根.
答案
13.解:(1)$\because (2m+4)^2+\sqrt{4-n}=0$,
$\therefore 2m+4=0,4-n=0$,
$\therefore m=-2,n=4$.
(2)由(1)知$m=-2,n=4$,
$\therefore 3n-2m=3×4-2×(-2)=16$,
$\therefore 3n-2m$的平方根为$\pm4$.
$\therefore 2m+4=0,4-n=0$,
$\therefore m=-2,n=4$.
(2)由(1)知$m=-2,n=4$,
$\therefore 3n-2m=3×4-2×(-2)=16$,
$\therefore 3n-2m$的平方根为$\pm4$.
解析
【分析】
本题可结合非负数的性质逐步求解：（1）偶次乘方的结果、算术平方根的结果都属于非负数，当两个非负数的和为0时，这两个非负数各自都为0，据此可列出关于m、n的一元一次方程，解方程就能得到m、n的值；（2）把第(1)问求出的m、n代入$3n-2m$计算出结果，再根据平方根的定义求结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) 由平方和算术平方根的非负性可知，$(2m+4)^2≥0$，$\sqrt{4-n}≥0$，且$(2m+4)^2 + \sqrt{4-n}=0$，
因此可得$2m+4=0$，$4-n=0$，
解$2m+4=0$，移项得$2m=-4$，解得$m=-2$；
解$4-n=0$，移项得$n=4$。
(2) 将$m=-2$，$n=4$代入$3n-2m$得：
$3n-2m=3×4 - 2×(-2)=12 + 4=16$，
因为$(\pm4)^2=16$，根据平方根的定义，16的平方根为$\pm4$，即$3n-2m$的平方根为$\pm4$。
【答案】
(1)$m=-2$，$n=4$；(2)$\pm4$
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，平方根的定义
【点评】
本题是基础运算类题型，解题核心是掌握非负数的性质：若干个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，同时要注意正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根。
【难度系数】
0.8
本题可结合非负数的性质逐步求解：（1）偶次乘方的结果、算术平方根的结果都属于非负数，当两个非负数的和为0时，这两个非负数各自都为0，据此可列出关于m、n的一元一次方程，解方程就能得到m、n的值；（2）把第(1)问求出的m、n代入$3n-2m$计算出结果，再根据平方根的定义求结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) 由平方和算术平方根的非负性可知，$(2m+4)^2≥0$，$\sqrt{4-n}≥0$，且$(2m+4)^2 + \sqrt{4-n}=0$，
因此可得$2m+4=0$，$4-n=0$，
解$2m+4=0$，移项得$2m=-4$，解得$m=-2$；
解$4-n=0$，移项得$n=4$。
(2) 将$m=-2$，$n=4$代入$3n-2m$得：
$3n-2m=3×4 - 2×(-2)=12 + 4=16$，
因为$(\pm4)^2=16$，根据平方根的定义，16的平方根为$\pm4$，即$3n-2m$的平方根为$\pm4$。
【答案】
(1)$m=-2$，$n=4$；(2)$\pm4$
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，平方根的定义
【点评】
本题是基础运算类题型，解题核心是掌握非负数的性质：若干个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，同时要注意正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根。
【难度系数】
0.8
14.(2025·盐城一模)如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了3个单位长度到达点B,点A表示$-\sqrt{2}$,设点B所表示的数为m.
(1)实数m的值是________;
(2)在数轴上,C,D两点分别表示实数c和d,且$|2c+d|$与$\sqrt{d+4}$互为相反数,求$3c+d$的值;
(3)在数轴上,点E表示实数x,且$1＜x＜m$,化简:$|x-1|+\sqrt{(x-2)^2}$.
(1)实数m的值是________;
(2)在数轴上,C,D两点分别表示实数c和d,且$|2c+d|$与$\sqrt{d+4}$互为相反数,求$3c+d$的值;
(3)在数轴上,点E表示实数x,且$1＜x＜m$,化简:$|x-1|+\sqrt{(x-2)^2}$.
答案
14.(1)$-\sqrt{2}+3$
(2)解:$\because |2c+d|$与$\sqrt{d+4}$互为相反数,
$\therefore |2c+d|+\sqrt{d+4}=0$.
$\therefore 2c+d=0,d+4=0$,
$\therefore c=2,d=-4$,
$\therefore 3c+d=3×2+(-4)=2$.
(3)解:$\because 1＜x＜m,m=-\sqrt{2}+3$,
$\therefore x-1＞0,x-2＜0$,
$\therefore |x-1|+\sqrt{(x-2)^2}=|x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1$.
(2)解:$\because |2c+d|$与$\sqrt{d+4}$互为相反数,
$\therefore |2c+d|+\sqrt{d+4}=0$.
$\therefore 2c+d=0,d+4=0$,
$\therefore c=2,d=-4$,
$\therefore 3c+d=3×2+(-4)=2$.
(3)解:$\because 1＜x＜m,m=-\sqrt{2}+3$,
$\therefore x-1＞0,x-2＜0$,
$\therefore |x-1|+\sqrt{(x-2)^2}=|x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1$.
解析
【分析】
(1) 数轴上点向右平移时，对应的数值等于原数加上平移的单位长度，已知点A表示的数和向右平移的长度，直接相加即可求出m的值；
(2) 互为相反数的两个数之和为0，结合绝对值和算术平方根的非负性，若两个非负数相加得0，则这两个数均为0，据此列等式求出c、d的值，再代入计算3c+d即可；
(3) 先估算m的大小，确定x的取值范围，判断x-1和x-2的正负性，再根据绝对值的性质和二次根式$\sqrt{a^2}=|a|$的性质化简计算。
【解析】
(1) 蚂蚁从表示$-\sqrt{2}$的点A向右爬3个单位长度到达点B，因此点B对应的数$m=-\sqrt{2}+3$。
(2) 解：$\because |2c+d|$与$\sqrt{d+4}$互为相反数,
$\therefore |2c+d|+\sqrt{d+4}=0$,
$\because |2c+d|≥0$，$\sqrt{d+4}≥0$,
$\therefore 2c+d=0,d+4=0$,
解得$d=-4$，代入$2c+d=0$得$c=2$,
$\therefore 3c+d=3×2+(-4)=2$。
(3) 解：$\because m=-\sqrt{2}+3\approx3-1.414=1.586$，且$1＜x＜m$,
$\therefore 1＜x＜2$，即$x-1＞0,x-2＜0$,
$\therefore |x-1|+\sqrt{(x-2)^2}=|x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1$。
【答案】
(1) $3-\sqrt{2}$；(2) $2$；(3) $1$
【知识点】
数轴点的平移、非负数的性质、二次根式与绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，结合数轴考查了多个基础知识点，解题的关键是熟练掌握数轴平移规律、非负数和为0的条件，以及去绝对值前先判断代数式正负的原则，能很好地检验对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 数轴上点向右平移时，对应的数值等于原数加上平移的单位长度，已知点A表示的数和向右平移的长度，直接相加即可求出m的值；
(2) 互为相反数的两个数之和为0，结合绝对值和算术平方根的非负性，若两个非负数相加得0，则这两个数均为0，据此列等式求出c、d的值，再代入计算3c+d即可；
(3) 先估算m的大小，确定x的取值范围，判断x-1和x-2的正负性，再根据绝对值的性质和二次根式$\sqrt{a^2}=|a|$的性质化简计算。
【解析】
(1) 蚂蚁从表示$-\sqrt{2}$的点A向右爬3个单位长度到达点B，因此点B对应的数$m=-\sqrt{2}+3$。
(2) 解：$\because |2c+d|$与$\sqrt{d+4}$互为相反数,
$\therefore |2c+d|+\sqrt{d+4}=0$,
$\because |2c+d|≥0$，$\sqrt{d+4}≥0$,
$\therefore 2c+d=0,d+4=0$,
解得$d=-4$，代入$2c+d=0$得$c=2$,
$\therefore 3c+d=3×2+(-4)=2$。
(3) 解：$\because m=-\sqrt{2}+3\approx3-1.414=1.586$，且$1＜x＜m$,
$\therefore 1＜x＜2$，即$x-1＞0,x-2＜0$,
$\therefore |x-1|+\sqrt{(x-2)^2}=|x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1$。
【答案】
(1) $3-\sqrt{2}$；(2) $2$；(3) $1$
【知识点】
数轴点的平移、非负数的性质、二次根式与绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，结合数轴考查了多个基础知识点，解题的关键是熟练掌握数轴平移规律、非负数和为0的条件，以及去绝对值前先判断代数式正负的原则，能很好地检验对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
15.阅读下面的文字,解答问题.
现规定:分别用$[x]$和$＜x＞$表示实数$x$的整数部分和小数部分,如实数$3.14$的整数部分是$[3.14]=3$,小数部分是$＜3.14＞=0.14$;实数$\sqrt{7}$的整数部分是$[\sqrt{7}]=2$,小数部分是无限不循环小数,无法写完整,但是把它的整数部分减去,就等于它的小数部分,即$\sqrt{7}-2$就是$\sqrt{7}$的小数部分,所以$＜\sqrt{7}＞=\sqrt{7}-2$.
(1)$[\sqrt{2}]=$ ,$＜\sqrt{2}＞=$ ;$[\sqrt{11}]=$ ,$＜\sqrt{11}＞=$ .
(2)如果$＜\sqrt{5}＞=a,[\sqrt{101}]=b$,求$a+b-\sqrt{5}$的立方根.
(3)若$[\dfrac{x+1}{2}]=2026$,求$x$的取值范围.
现规定:分别用$[x]$和$＜x＞$表示实数$x$的整数部分和小数部分,如实数$3.14$的整数部分是$[3.14]=3$,小数部分是$＜3.14＞=0.14$;实数$\sqrt{7}$的整数部分是$[\sqrt{7}]=2$,小数部分是无限不循环小数,无法写完整,但是把它的整数部分减去,就等于它的小数部分,即$\sqrt{7}-2$就是$\sqrt{7}$的小数部分,所以$＜\sqrt{7}＞=\sqrt{7}-2$.
(1)$[\sqrt{2}]=$ ,$＜\sqrt{2}＞=$ ;$[\sqrt{11}]=$ ,$＜\sqrt{11}＞=$ .
(2)如果$＜\sqrt{5}＞=a,[\sqrt{101}]=b$,求$a+b-\sqrt{5}$的立方根.
(3)若$[\dfrac{x+1}{2}]=2026$,求$x$的取值范围.
答案
15.(1)1 $\sqrt{2}-1$ 3 $\sqrt{11}-3$
(2)解:$\because \sqrt{5}$的整数部分是2,$\sqrt{101}$的整数部分是10,
$\therefore ＜\sqrt{5}＞=a=\sqrt{5}-2,[\sqrt{101}]=b=10$,
$\therefore a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+10-\sqrt{5}=8$.
又$\because 8$的立方根为2,$\therefore a+b-\sqrt{5}$的立方根是2.
(3)解:$\because [x]$表示实数$x$的整数部分,$[\frac{x+1}{2}]=2026$,
$\therefore 2026≤\frac{x+1}{2}＜2027$,
解得$4051≤ x＜4053$.
(2)解:$\because \sqrt{5}$的整数部分是2,$\sqrt{101}$的整数部分是10,
$\therefore ＜\sqrt{5}＞=a=\sqrt{5}-2,[\sqrt{101}]=b=10$,
$\therefore a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+10-\sqrt{5}=8$.
又$\because 8$的立方根为2,$\therefore a+b-\sqrt{5}$的立方根是2.
(3)解:$\because [x]$表示实数$x$的整数部分,$[\frac{x+1}{2}]=2026$,
$\therefore 2026≤\frac{x+1}{2}＜2027$,
解得$4051≤ x＜4053$.
解析
【分析】
（1）解决第一问核心是先估算无理数的大小，确定其介于哪两个相邻正整数之间，整数部分$[x]$就是较小的那个整数，小数部分$＜x＞$等于原数减去整数部分即可。先判断$\sqrt{2}$介于1和2之间，$\sqrt{11}$介于3和4之间，对应计算即可。
（2）第二问沿用第一问的估算方法，先得出$\sqrt{5}$的小数部分$a$、$\sqrt{101}$的整数部分$b$，代入代数式化简后求立方根即可。
（3）第三问根据取整函数的性质：若$[x]=k$（$k$为整数），则$k≤x＜k+1$，将$\frac{x+1}{2}$代入该规则得到一元一次不等式，解不等式即可得到$x$的取值范围，注意边界等号的取舍。
【解析】
(1) $\because 1＜\sqrt{2}＜2$，$\therefore [\sqrt{2}]=1$，$＜\sqrt{2}＞=\sqrt{2}-1$；
$\because 3＜\sqrt{11}＜4$，$\therefore [\sqrt{11}]=3$，$＜\sqrt{11}＞=\sqrt{11}-3$。
(2) 解：$\because 2＜\sqrt{5}＜3$，$\therefore \sqrt{5}$的整数部分是2，$\therefore ＜\sqrt{5}＞=a=\sqrt{5}-2$，
$\because 10＜\sqrt{101}＜11$，$\therefore \sqrt{101}$的整数部分是10，即$[\sqrt{101}]=b=10$，
$\therefore a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+10-\sqrt{5}=8$，
又$\because 8$的立方根为2，$\therefore a+b-\sqrt{5}$的立方根是2。
(3) 解：$\because [x]$表示实数$x$的整数部分，若$[y]=k$（$k$为整数），则$k≤y＜k+1$，
已知$[\frac{x+1}{2}]=2026$，
$\therefore 2026≤\frac{x+1}{2}＜2027$，
不等式两边同乘2得：$4052≤x+1＜4054$，
两边同减1得：$4051≤x＜4053$。
【答案】
(1) $1$；$\sqrt{2}-1$；$3$；$\sqrt{11}-3$
(2) $2$
(3) $4051≤x＜4053$
【知识点】
1. 无理数大小估算
2. 新定义运算
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题结合新定义考查无理数估算、取整规则的理解及不等式的应用，解题关键是准确把握整数部分和小数部分的关系，熟练掌握无理数的估算方法，解不等式时要注意边界取值的合理性，避免错写等号。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问核心是先估算无理数的大小，确定其介于哪两个相邻正整数之间，整数部分$[x]$就是较小的那个整数，小数部分$＜x＞$等于原数减去整数部分即可。先判断$\sqrt{2}$介于1和2之间，$\sqrt{11}$介于3和4之间，对应计算即可。
（2）第二问沿用第一问的估算方法，先得出$\sqrt{5}$的小数部分$a$、$\sqrt{101}$的整数部分$b$，代入代数式化简后求立方根即可。
（3）第三问根据取整函数的性质：若$[x]=k$（$k$为整数），则$k≤x＜k+1$，将$\frac{x+1}{2}$代入该规则得到一元一次不等式，解不等式即可得到$x$的取值范围，注意边界等号的取舍。
【解析】
(1) $\because 1＜\sqrt{2}＜2$，$\therefore [\sqrt{2}]=1$，$＜\sqrt{2}＞=\sqrt{2}-1$；
$\because 3＜\sqrt{11}＜4$，$\therefore [\sqrt{11}]=3$，$＜\sqrt{11}＞=\sqrt{11}-3$。
(2) 解：$\because 2＜\sqrt{5}＜3$，$\therefore \sqrt{5}$的整数部分是2，$\therefore ＜\sqrt{5}＞=a=\sqrt{5}-2$，
$\because 10＜\sqrt{101}＜11$，$\therefore \sqrt{101}$的整数部分是10，即$[\sqrt{101}]=b=10$，
$\therefore a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+10-\sqrt{5}=8$，
又$\because 8$的立方根为2，$\therefore a+b-\sqrt{5}$的立方根是2。
(3) 解：$\because [x]$表示实数$x$的整数部分，若$[y]=k$（$k$为整数），则$k≤y＜k+1$，
已知$[\frac{x+1}{2}]=2026$，
$\therefore 2026≤\frac{x+1}{2}＜2027$，
不等式两边同乘2得：$4052≤x+1＜4054$，
两边同减1得：$4051≤x＜4053$。
【答案】
(1) $1$；$\sqrt{2}-1$；$3$；$\sqrt{11}-3$
(2) $2$
(3) $4051≤x＜4053$
【知识点】
1. 无理数大小估算
2. 新定义运算
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题结合新定义考查无理数估算、取整规则的理解及不等式的应用，解题关键是准确把握整数部分和小数部分的关系，熟练掌握无理数的估算方法，解不等式时要注意边界取值的合理性，避免错写等号。
【难度系数】
0.7
