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2.反证法的奇妙之旅——探究数的性质
在数学的世界里,反证法是一种非常有趣且强大的证明方法.通过假设与结论相反的情况,再推出矛盾,从而证明原结论的正确性.今天,就让我们借助反证法,深入探究数的性质.
【知识回顾】
我们已经学习了有理数和无理数的概念,整数和分数统称为有理数,而无限不循环小数是无理数.并且我们还知道可以用反证法来证明一个数是无理数,比如证明$\sqrt{2}$是无理数时,先假设$\sqrt{2}$是有理数,写成$\frac{m}{n}$($m,n$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式,然后通过一系列推理得出矛盾,进而证明$\sqrt{2}$是无理数.
【探究任务】
(1)小组讨论:仔细回顾证明$\sqrt{2}$是无理数的过程,总结反证法的证明步骤;
(2)实践操作:你能仿照证明$\sqrt{2}$是无理数的方法,用反证法证明$\sqrt{2}-1$也是无理数吗?请写出详细的证明过程;
(3)拓展思考:除了$\sqrt{2}$和$\sqrt{2}-1$,你还能想到哪些数?可以尝试用反证法来探究其是有理数还是无理数.选择一个数,和小组同学一起讨论并尝试证明.
在数学的世界里,反证法是一种非常有趣且强大的证明方法.通过假设与结论相反的情况,再推出矛盾,从而证明原结论的正确性.今天,就让我们借助反证法,深入探究数的性质.
【知识回顾】
我们已经学习了有理数和无理数的概念,整数和分数统称为有理数,而无限不循环小数是无理数.并且我们还知道可以用反证法来证明一个数是无理数,比如证明$\sqrt{2}$是无理数时,先假设$\sqrt{2}$是有理数,写成$\frac{m}{n}$($m,n$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式,然后通过一系列推理得出矛盾,进而证明$\sqrt{2}$是无理数.
【探究任务】
(1)小组讨论:仔细回顾证明$\sqrt{2}$是无理数的过程,总结反证法的证明步骤;
(2)实践操作:你能仿照证明$\sqrt{2}$是无理数的方法,用反证法证明$\sqrt{2}-1$也是无理数吗?请写出详细的证明过程;
(3)拓展思考:除了$\sqrt{2}$和$\sqrt{2}-1$,你还能想到哪些数?可以尝试用反证法来探究其是有理数还是无理数.选择一个数,和小组同学一起讨论并尝试证明.
答案
2.(1)解:反证法的证明步骤:
第一步:提出反设,即假设要证明的结论不成立,也就是假设原命题的反面成立.
第二步:进行推理,根据假设以及已知条件进行一系列的逻辑推理.
第三步:推出矛盾,在推理过程中得出与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果.
第四步:得出结论,由于出现矛盾,说明假设不成立,从而证明原命题成立.
(2)证明:假设$\sqrt{2}-1$不是无理数,那么$\sqrt{2}-1$是有理数,
所以$\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$($p,q$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式,
则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$.
因为 $p,q$ 是正整数,所以$\frac{p+q}{q}$是有理数,这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾.
因此,$\sqrt{2}-1$不是有理数,它是无理数.
(3)解:(答案不唯一)探究$\sqrt{3}$.
假设$\sqrt{3}$不是无理数,那么$\sqrt{3}$是有理数,所以$\sqrt{3}$可以写成$\frac{a}{b}$($a,b$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式.
根据平方根的意义,得$(\frac{a}{b})^2=3$,即$\frac{a^2}{b^2}=3,3b^2=a^2$.
因为$3b^2$是3的倍数,所以$a^2$是3的倍数,从而可知$a$是3的倍数,设$a=3c$($c$是正整数).
把$a=3c$代入$3b^2=a^2$,得$3b^2=9c^2$,即$b^2=3c^2$,因此$b$也是3的倍数,
于是$a,b$都是3的倍数,这与$a,b$没有大于1的公约数相矛盾,所以$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$不成立,即$\sqrt{3}$不是有理数,它是无理数.
第一步:提出反设,即假设要证明的结论不成立,也就是假设原命题的反面成立.
第二步:进行推理,根据假设以及已知条件进行一系列的逻辑推理.
第三步:推出矛盾,在推理过程中得出与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果.
第四步:得出结论,由于出现矛盾,说明假设不成立,从而证明原命题成立.
(2)证明:假设$\sqrt{2}-1$不是无理数,那么$\sqrt{2}-1$是有理数,
所以$\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$($p,q$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式,
则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$.
因为 $p,q$ 是正整数,所以$\frac{p+q}{q}$是有理数,这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾.
因此,$\sqrt{2}-1$不是有理数,它是无理数.
(3)解:(答案不唯一)探究$\sqrt{3}$.
假设$\sqrt{3}$不是无理数,那么$\sqrt{3}$是有理数,所以$\sqrt{3}$可以写成$\frac{a}{b}$($a,b$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式.
根据平方根的意义,得$(\frac{a}{b})^2=3$,即$\frac{a^2}{b^2}=3,3b^2=a^2$.
因为$3b^2$是3的倍数,所以$a^2$是3的倍数,从而可知$a$是3的倍数,设$a=3c$($c$是正整数).
把$a=3c$代入$3b^2=a^2$,得$3b^2=9c^2$,即$b^2=3c^2$,因此$b$也是3的倍数,
于是$a,b$都是3的倍数,这与$a,b$没有大于1的公约数相矛盾,所以$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$不成立,即$\sqrt{3}$不是有理数,它是无理数.
解析
【分析】
(1) 第(1)问梳理反证法的逻辑流程即可：反证法的核心是“否定结论→推导出矛盾→肯定原结论”，按照这个逻辑顺序拆分步骤即可。
(2) 第(2)问类比$\sqrt{2}$是无理数的证明思路，先假设$\sqrt{2}-1$是有理数，利用有理数可表示为两个互质正整数之比的性质，变形得到$\sqrt{2}$也为有理数，与已知$\sqrt{2}$是无理数的结论矛盾，即可完成证明。
(3) 第(3)问为开放性探究，可选取$\sqrt{3}$这类开方开不尽的数，仿照$\sqrt{2}$的证明过程：先假设其为有理数，写成既约分数形式，平方后推导分子分母存在大于1的公共因数，与“互质”的前提矛盾，即可证明其为无理数。
【解析】
(1) 反证法的证明步骤：
第一步：提出反设，假设要证明的结论不成立，也就是原命题的反面成立；
第二步：进行推理，结合假设和已知条件开展一系列逻辑推理；
第三步：推出矛盾，推理过程中得到与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果；
第四步：得出结论，矛盾说明假设不成立，因此原命题成立。
(2) 证明：假设$\sqrt{2}-1$不是无理数，那么$\sqrt{2}-1$是有理数，
所以$\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$（$p,q$是正整数，且没有大于1的公约数）的形式，
则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$。
因为$p,q$是正整数，所以$\frac{p+q}{q}$是有理数，这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾。
因此假设不成立，$\sqrt{2}-1$是无理数。
(3) （示例）探究$\sqrt{3}$是无理数，证明如下：
假设$\sqrt{3}$不是无理数，那么$\sqrt{3}$是有理数，所以$\sqrt{3}$可以写成$\frac{a}{b}$（$a,b$是正整数，且没有大于1的公约数）的形式。
根据平方根的意义，得$(\frac{a}{b})^2=3$，即$\frac{a^2}{b^2}=3$，$3b^2=a^2$。
因为$3b^2$是3的倍数，所以$a^2$是3的倍数，从而可知$a$是3的倍数，设$a=3c$（$c$是正整数）。
把$a=3c$代入$3b^2=a^2$，得$3b^2=9c^2$，即$b^2=3c^2$，因此$b$也是3的倍数。
于是$a,b$都是3的倍数，这与$a,b$没有大于1的公约数相矛盾，所以$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$不成立，即$\sqrt{3}$不是有理数，它是无理数。
【答案】
(1)反证法的证明步骤:
第一步:提出反设,即假设要证明的结论不成立,也就是假设原命题的反面成立.
第二步:进行推理,根据假设以及已知条件进行一系列的逻辑推理.
第三步:推出矛盾,在推理过程中得出与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果.
第四步:得出结论,由于出现矛盾,说明假设不成立,从而证明原命题成立.
(2)证明:假设$\sqrt{2}-1$不是无理数,那么$\sqrt{2}-1$是有理数,
所以$\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$($p,q$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式,
则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$.
因为 $p,q$ 是正整数,所以$\frac{p+q}{q}$是有理数,这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾.
因此,$\sqrt{2}-1$不是有理数,它是无理数.
(3)(答案不唯一)探究$\sqrt{3}$:
假设$\sqrt{3}$不是无理数,那么$\sqrt{3}$是有理数,所以$\sqrt{3}$可以写成$\frac{a}{b}$($a,b$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式.
根据平方根的意义,得$(\frac{a}{b})^2=3$,即$\frac{a^2}{b^2}=3,3b^2=a^2$.
因为$3b^2$是3的倍数,所以$a^2$是3的倍数,从而可知$a$是3的倍数,设$a=3c$($c$是正整数).
把$a=3c$代入$3b^2=a^2$,得$3b^2=9c^2$,即$b^2=3c^2$,因此$b$也是3的倍数,
于是$a,b$都是3的倍数,这与$a,b$没有大于1的公约数相矛盾,所以$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$不成立,即$\sqrt{3}$不是有理数,它是无理数.
【知识点】
反证法、无理数的判定、有理数的概念
【点评】
本题以反证法为核心探究无理数的性质，既巩固了反证法的使用流程，也加深了对有理数、无理数概念的理解，引导学生掌握类比迁移的解题方法，开放性探究环节还能锻炼逻辑推理能力和自主探究意识。
【难度系数】
0.65
(1) 第(1)问梳理反证法的逻辑流程即可：反证法的核心是“否定结论→推导出矛盾→肯定原结论”，按照这个逻辑顺序拆分步骤即可。
(2) 第(2)问类比$\sqrt{2}$是无理数的证明思路，先假设$\sqrt{2}-1$是有理数，利用有理数可表示为两个互质正整数之比的性质，变形得到$\sqrt{2}$也为有理数，与已知$\sqrt{2}$是无理数的结论矛盾，即可完成证明。
(3) 第(3)问为开放性探究，可选取$\sqrt{3}$这类开方开不尽的数，仿照$\sqrt{2}$的证明过程：先假设其为有理数，写成既约分数形式，平方后推导分子分母存在大于1的公共因数，与“互质”的前提矛盾，即可证明其为无理数。
【解析】
(1) 反证法的证明步骤：
第一步：提出反设，假设要证明的结论不成立，也就是原命题的反面成立；
第二步：进行推理，结合假设和已知条件开展一系列逻辑推理；
第三步：推出矛盾，推理过程中得到与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果；
第四步：得出结论，矛盾说明假设不成立，因此原命题成立。
(2) 证明：假设$\sqrt{2}-1$不是无理数，那么$\sqrt{2}-1$是有理数，
所以$\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$（$p,q$是正整数，且没有大于1的公约数）的形式，
则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$。
因为$p,q$是正整数，所以$\frac{p+q}{q}$是有理数，这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾。
因此假设不成立，$\sqrt{2}-1$是无理数。
(3) （示例）探究$\sqrt{3}$是无理数，证明如下：
假设$\sqrt{3}$不是无理数，那么$\sqrt{3}$是有理数，所以$\sqrt{3}$可以写成$\frac{a}{b}$（$a,b$是正整数，且没有大于1的公约数）的形式。
根据平方根的意义，得$(\frac{a}{b})^2=3$，即$\frac{a^2}{b^2}=3$，$3b^2=a^2$。
因为$3b^2$是3的倍数，所以$a^2$是3的倍数，从而可知$a$是3的倍数，设$a=3c$（$c$是正整数）。
把$a=3c$代入$3b^2=a^2$，得$3b^2=9c^2$，即$b^2=3c^2$，因此$b$也是3的倍数。
于是$a,b$都是3的倍数，这与$a,b$没有大于1的公约数相矛盾，所以$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$不成立，即$\sqrt{3}$不是有理数，它是无理数。
【答案】
(1)反证法的证明步骤:
第一步:提出反设,即假设要证明的结论不成立,也就是假设原命题的反面成立.
第二步:进行推理,根据假设以及已知条件进行一系列的逻辑推理.
第三步:推出矛盾,在推理过程中得出与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果.
第四步:得出结论,由于出现矛盾,说明假设不成立,从而证明原命题成立.
(2)证明:假设$\sqrt{2}-1$不是无理数,那么$\sqrt{2}-1$是有理数,
所以$\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$($p,q$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式,
则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$.
因为 $p,q$ 是正整数,所以$\frac{p+q}{q}$是有理数,这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾.
因此,$\sqrt{2}-1$不是有理数,它是无理数.
(3)(答案不唯一)探究$\sqrt{3}$:
假设$\sqrt{3}$不是无理数,那么$\sqrt{3}$是有理数,所以$\sqrt{3}$可以写成$\frac{a}{b}$($a,b$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式.
根据平方根的意义,得$(\frac{a}{b})^2=3$,即$\frac{a^2}{b^2}=3,3b^2=a^2$.
因为$3b^2$是3的倍数,所以$a^2$是3的倍数,从而可知$a$是3的倍数,设$a=3c$($c$是正整数).
把$a=3c$代入$3b^2=a^2$,得$3b^2=9c^2$,即$b^2=3c^2$,因此$b$也是3的倍数,
于是$a,b$都是3的倍数,这与$a,b$没有大于1的公约数相矛盾,所以$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$不成立,即$\sqrt{3}$不是有理数,它是无理数.
【知识点】
反证法、无理数的判定、有理数的概念
【点评】
本题以反证法为核心探究无理数的性质，既巩固了反证法的使用流程，也加深了对有理数、无理数概念的理解，引导学生掌握类比迁移的解题方法，开放性探究环节还能锻炼逻辑推理能力和自主探究意识。
【难度系数】
0.65
