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21. 甲、乙两组的测试成绩如下：
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98；
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1)求甲组数据的四分位数$Q_{1},Q_{2},Q_{3}$；
(2)根据四分位数,在下图中绘制甲组的箱线图；
(3)根据箱线图和对四分位数的理解,谈谈你对两组成绩的看法.
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98；
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1)求甲组数据的四分位数$Q_{1},Q_{2},Q_{3}$；
(2)根据四分位数,在下图中绘制甲组的箱线图；
(3)根据箱线图和对四分位数的理解,谈谈你对两组成绩的看法.
答案
21.(1)把甲组的成绩从小到大排序:60,70,70,80,89,91,92,96,98,100,所以$Q_1=70$,$Q_2=\frac{89+91}{2}=90$,$Q_3=96$.
(2)如图所示.
(3)根据箱线图和四分位数可知甲组成绩比较分散,乙组成绩比较集中.(合理即可)
解析
【分析】
解决本题可按三步梳理思路：1. 求甲组四分位数：先把甲组数据从小到大排序，四分位数是将排序后的数据四等分的数值，其中$Q_2$是全部数据的中位数，$Q_1$是前半部分数据的中位数，$Q_3$是后半部分数据的中位数，按规则计算即可。2. 绘制箱线图：箱线图需要标记最小值、$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$、最大值五个关键值，确定这五个值对应分数后按规范绘制即可。3. 分析两组成绩：对比两组箱线图的整体跨度、箱体宽度，就能判断两组成绩的集中或离散程度。
【解析】
(1) 先将甲组10个成绩从小到大排序：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100。
$Q_2$是全部数据的中位数，取排序后第5、第6个数的平均值：$Q_2=\frac{89+91}{2}=90$；
前半部分数据为前5个：60，70，70，80，89，该部分的中位数为$Q_1=70$；
后半部分数据为后5个：91，92，96，98，100，该部分的中位数为$Q_3=96$。
(2) 先确定甲组箱线图的五个关键值：最小值60、$Q_1=70$、$Q_2=90$、$Q_3=96$、最大值100，按箱线图绘制规则标注对应数值即可完成绘制。
(3) 对比两组箱线图：甲组成绩最小值为60、最大值为100，整体波动范围大，箱体（$Q_1$到$Q_3$）跨度也大；乙组成绩最小值为70、最大值为96，整体波动小，箱体跨度也更小，因此甲组成绩更分散，乙组成绩更集中。
【答案】
(1) $Q_1=70$，$Q_2=90$，$Q_3=96$
(2)
(3) 甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中（合理即可）
【知识点】
四分位数计算，箱线图绘制，统计数据分析
【点评】
本题围绕统计的基础知识点设置问题，既考查数据排序、四分位数计算的基础能力，也考查对统计图表的解读、应用能力，需要学生能结合图表特征分析数据的离散趋势，属于统计部分的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
解决本题可按三步梳理思路：1. 求甲组四分位数：先把甲组数据从小到大排序，四分位数是将排序后的数据四等分的数值，其中$Q_2$是全部数据的中位数，$Q_1$是前半部分数据的中位数，$Q_3$是后半部分数据的中位数，按规则计算即可。2. 绘制箱线图：箱线图需要标记最小值、$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$、最大值五个关键值，确定这五个值对应分数后按规范绘制即可。3. 分析两组成绩：对比两组箱线图的整体跨度、箱体宽度，就能判断两组成绩的集中或离散程度。
【解析】
(1) 先将甲组10个成绩从小到大排序：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100。
$Q_2$是全部数据的中位数，取排序后第5、第6个数的平均值：$Q_2=\frac{89+91}{2}=90$；
前半部分数据为前5个：60，70，70，80，89，该部分的中位数为$Q_1=70$；
后半部分数据为后5个：91，92，96，98，100，该部分的中位数为$Q_3=96$。
(2) 先确定甲组箱线图的五个关键值：最小值60、$Q_1=70$、$Q_2=90$、$Q_3=96$、最大值100，按箱线图绘制规则标注对应数值即可完成绘制。
(3) 对比两组箱线图：甲组成绩最小值为60、最大值为100，整体波动范围大，箱体（$Q_1$到$Q_3$）跨度也大；乙组成绩最小值为70、最大值为96，整体波动小，箱体跨度也更小，因此甲组成绩更分散，乙组成绩更集中。
【答案】
(1) $Q_1=70$，$Q_2=90$，$Q_3=96$
(2)
(3) 甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中（合理即可）
【知识点】
四分位数计算，箱线图绘制，统计数据分析
【点评】
本题围绕统计的基础知识点设置问题，既考查数据排序、四分位数计算的基础能力，也考查对统计图表的解读、应用能力，需要学生能结合图表特征分析数据的离散趋势，属于统计部分的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
22. 某年5个城市的人均生活用电量如下表所示.
请根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则,把这5个城市分为两组.
请根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则,把这5个城市分为两组.
答案
22.将5个数据从小到大排序:788,812,847,886,910.把5个数据按大小顺序分成两组,共有4种情况,分别计算组内离差平方和,如下表所示:
| 分组 | 第一组离差平方和 | 第二组离差平方和 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 第1个间隔 | 0 | 5 592.8 | 5 592.8 |
| 第2个间隔 | 288 | 2 022 | 2 310 |
| 第3个间隔 | 1 760.7 | 288 | 2 048.7 |
| 第4个间隔 | 5 470.8 | 0 | 5 470.8 |
∵2 048.7＜2 310＜5 470.8＜5 592.8,
∴第三种情况的组内离差平方和最小,
∴这5个城市按组内离差平方和最小的分法为{C,D,E},{A,B}.
| 分组 | 第一组离差平方和 | 第二组离差平方和 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 第1个间隔 | 0 | 5 592.8 | 5 592.8 |
| 第2个间隔 | 288 | 2 022 | 2 310 |
| 第3个间隔 | 1 760.7 | 288 | 2 048.7 |
| 第4个间隔 | 5 470.8 | 0 | 5 470.8 |
∵2 048.7＜2 310＜5 470.8＜5 592.8,
∴第三种情况的组内离差平方和最小,
∴这5个城市按组内离差平方和最小的分法为{C,D,E},{A,B}.
解析
【分析】
要实现组内离差平方和最小的分组，核心是让每组内的数据尽可能接近，因此首先需要将所有人均用电量数据从小到大排序，最优分组一定是在相邻数据的间隔处分割，不会打乱数据顺序，否则组内数据差异会更大。5个有序数据分成2个非空组，共有4种分割方式，接下来只需分别计算每种分割方式下两组的离差平方和之和，找到和最小的分割方式即可，其中离差平方和是指每组内各数据与该组平均数的差的平方相加的结果。
【解析】
步骤1：将5个城市的人均生活用电量从小到大排序：$788, 812, 847, 886, 910$。
步骤2：有序数据分两组共有4种分割方式，分别计算每种方式的组内离差平方和总和：
分割1：第一组$\{788\}$，第二组$\{812,847,886,910\}$，总和为$0+5592.8=5592.8$
分割2：第一组$\{788,812\}$，第二组$\{847,886,910\}$，总和为$288+2022=2310$
分割3：第一组$\{788,812,847\}$，第二组$\{886,910\}$，总和为$1760.7+288=2048.7$
分割4：第一组$\{788,812,847,886\}$，第二组$\{910\}$，总和为$5470.8+0=5470.8$
步骤3：比较总和大小：$2048.7＜2310＜5470.8＜5592.8$，分割3的组内离差平方和最小，对应分组为$\{C,D,E\}$和$\{A,B\}$。
【答案】
两组分别为$\{C,D,E\}$、$\{A,B\}$
【知识点】
数据排序；离差平方和计算；最优分组原则
【点评】
本题考查统计分组的优化方法，需要理解组内离差平方和越小、组内数据相似度越高的特点，解题时需先对数据排序再按间隔分割计算，过程中要注意准确计算平均数和离差平方和，避免运算失误。
【难度系数】
0.55
要实现组内离差平方和最小的分组，核心是让每组内的数据尽可能接近，因此首先需要将所有人均用电量数据从小到大排序，最优分组一定是在相邻数据的间隔处分割，不会打乱数据顺序，否则组内数据差异会更大。5个有序数据分成2个非空组，共有4种分割方式，接下来只需分别计算每种分割方式下两组的离差平方和之和，找到和最小的分割方式即可，其中离差平方和是指每组内各数据与该组平均数的差的平方相加的结果。
【解析】
步骤1：将5个城市的人均生活用电量从小到大排序：$788, 812, 847, 886, 910$。
步骤2：有序数据分两组共有4种分割方式，分别计算每种方式的组内离差平方和总和：
分割1：第一组$\{788\}$，第二组$\{812,847,886,910\}$，总和为$0+5592.8=5592.8$
分割2：第一组$\{788,812\}$，第二组$\{847,886,910\}$，总和为$288+2022=2310$
分割3：第一组$\{788,812,847\}$，第二组$\{886,910\}$，总和为$1760.7+288=2048.7$
分割4：第一组$\{788,812,847,886\}$，第二组$\{910\}$，总和为$5470.8+0=5470.8$
步骤3：比较总和大小：$2048.7＜2310＜5470.8＜5592.8$，分割3的组内离差平方和最小，对应分组为$\{C,D,E\}$和$\{A,B\}$。
【答案】
两组分别为$\{C,D,E\}$、$\{A,B\}$
【知识点】
数据排序；离差平方和计算；最优分组原则
【点评】
本题考查统计分组的优化方法，需要理解组内离差平方和越小、组内数据相似度越高的特点，解题时需先对数据排序再按间隔分割计算，过程中要注意准确计算平均数和离差平方和，避免运算失误。
【难度系数】
0.55
