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例 1 如图，$AB // CD$，$CE$平分$∠ ACD$交$AB$于点$E$。若$∠ A = 108^{\circ}$，求$∠ AEC$的度数。
答案
因为$AB // CD$，
所以$∠ A + ∠ ACD = 180^{\circ}$。
又因为$∠ A = 108^{\circ}$，
所以$∠ ACD = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$。
因为$CE$平分$∠ ACD$，
所以$∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACD = \frac{1}{2}×72^{\circ} = 36^{\circ}$。
因为$AB // CD$，
所以$∠ AEC = ∠ DCE = 36^{\circ}$。
故$∠ AEC$的度数为$36^{\circ}$。
所以$∠ A + ∠ ACD = 180^{\circ}$。
又因为$∠ A = 108^{\circ}$，
所以$∠ ACD = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$。
因为$CE$平分$∠ ACD$，
所以$∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACD = \frac{1}{2}×72^{\circ} = 36^{\circ}$。
因为$AB // CD$，
所以$∠ AEC = ∠ DCE = 36^{\circ}$。
故$∠ AEC$的度数为$36^{\circ}$。
解析
【分析】
本题需结合平行线的性质和角平分线的定义求解。首先利用“两直线平行，同旁内角互补”求出∠ACD的度数，再根据角平分线的定义得到∠DCE的度数，最后利用“两直线平行，内错角相等”得出∠AEC的度数。
【解析】
1. 因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 $ ∠ A + ∠ ACD = 180° $。
2. 已知 $ ∠ A = 108° $，代入得 $ ∠ ACD = 180° - 108° = 72° $。
3. 因为 $ CE $ 平分 $ ∠ ACD $，根据角平分线的定义，$ ∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACD = \frac{1}{2} × 72° = 36° $。
4. 又因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，内错角相等”，可得 $ ∠ AEC = ∠ DCE = 36° $。
【答案】
$ 36° $
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的性质与角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质，以及角平分线的等分作用，属于基础几何题，侧重对基础知识点的应用。
【难度系数】
0.6
本题需结合平行线的性质和角平分线的定义求解。首先利用“两直线平行，同旁内角互补”求出∠ACD的度数，再根据角平分线的定义得到∠DCE的度数，最后利用“两直线平行，内错角相等”得出∠AEC的度数。
【解析】
1. 因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 $ ∠ A + ∠ ACD = 180° $。
2. 已知 $ ∠ A = 108° $，代入得 $ ∠ ACD = 180° - 108° = 72° $。
3. 因为 $ CE $ 平分 $ ∠ ACD $，根据角平分线的定义，$ ∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACD = \frac{1}{2} × 72° = 36° $。
4. 又因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，内错角相等”，可得 $ ∠ AEC = ∠ DCE = 36° $。
【答案】
$ 36° $
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的性质与角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质，以及角平分线的等分作用，属于基础几何题，侧重对基础知识点的应用。
【难度系数】
0.6
【变式训练 1】 如图，直线$AB$，$BC$，$BD$交于点$B$，且$AB // CD$，$BC$平分$∠ ABD$。若$∠ 1 = 50^{\circ}$，求$∠ 2$的度数。
答案
解:因为AB//CD,
所以∠ABC=∠1=50°,∠ABD+∠BDC=180°。
因为BC平分∠ABD,
所以∠ABD=2∠ABC=2×50°=100°,
所以∠BDC=180°-∠ABD=180°-100°=80°。
因为∠2与∠BDC是对顶角,
所以∠2=∠BDC=80°。
所以∠ABC=∠1=50°,∠ABD+∠BDC=180°。
因为BC平分∠ABD,
所以∠ABD=2∠ABC=2×50°=100°,
所以∠BDC=180°-∠ABD=180°-100°=80°。
因为∠2与∠BDC是对顶角,
所以∠2=∠BDC=80°。
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行线的性质、角平分线的定义和对顶角的性质逐步推导：首先利用AB//CD，同位角∠1与∠ABC相等，得到∠ABC的度数；再根据BC平分∠ABD，算出∠ABD的度数；接着利用AB//CD，同旁内角∠ABD与∠BDC互补，求出∠BDC的度数；最后根据∠2与∠BDC是对顶角，得出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ AB//CD，
∴ ∠ABC = ∠1 = 50°（两直线平行，同位角相等），
∠ABD + ∠BDC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ BC平分∠ABD，
∴ ∠ABD = 2∠ABC = 2×50° = 100°，
∴ ∠BDC = 180° - ∠ABD = 180° - 100° = 80°。
∵ ∠2与∠BDC是对顶角，
∴ ∠2 = ∠BDC = 80°（对顶角相等）。
【答案】
80°
【知识点】
平行线的性质、角平分线定义、对顶角性质
【点评】
本题综合考查平行线的性质、角平分线的定义及对顶角的性质，解题思路清晰，步骤明确，属于几何基础题型，主要检验学生对平行线相关性质的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合平行线的性质、角平分线的定义和对顶角的性质逐步推导：首先利用AB//CD，同位角∠1与∠ABC相等，得到∠ABC的度数；再根据BC平分∠ABD，算出∠ABD的度数；接着利用AB//CD，同旁内角∠ABD与∠BDC互补，求出∠BDC的度数；最后根据∠2与∠BDC是对顶角，得出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ AB//CD，
∴ ∠ABC = ∠1 = 50°（两直线平行，同位角相等），
∠ABD + ∠BDC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ BC平分∠ABD，
∴ ∠ABD = 2∠ABC = 2×50° = 100°，
∴ ∠BDC = 180° - ∠ABD = 180° - 100° = 80°。
∵ ∠2与∠BDC是对顶角，
∴ ∠2 = ∠BDC = 80°（对顶角相等）。
【答案】
80°
【知识点】
平行线的性质、角平分线定义、对顶角性质
【点评】
本题综合考查平行线的性质、角平分线的定义及对顶角的性质，解题思路清晰，步骤明确，属于几何基础题型，主要检验学生对平行线相关性质的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.6
例 2 如图，已知点$E$在$CD$上，点$F$在$AB$上，$DF$与$BE$交于点$P$，且$∠ 1 = ∠ B$，$∠ B + ∠ BFD = 90^{\circ}$。
(1)若$∠ 2 = 125^{\circ}$，求$∠ C$的度数；
(2)若$∠ 1$和$∠ D$互余，试说明：$AB // CD$。
(1)若$∠ 2 = 125^{\circ}$，求$∠ C$的度数；
(2)若$∠ 1$和$∠ D$互余，试说明：$AB // CD$。
答案
(1)因为∠1=∠B，所以CF//EB，所以∠C+∠2=180°。又因为∠2=125°，所以∠C=180°-125°=55°。
(2)因为∠1=∠B，∠B+∠BFD=90°，所以∠1+∠BFD=90°。又因为∠1和∠D互余，即∠1+∠D=90°，所以∠BFD=∠D，所以AB//CD。
(2)因为∠1=∠B，∠B+∠BFD=90°，所以∠1+∠BFD=90°。又因为∠1和∠D互余，即∠1+∠D=90°，所以∠BFD=∠D，所以AB//CD。
解析
【分析】
第(1)问：已知∠1=∠B，根据“内错角相等，两直线平行”可判定CF//EB，再利用平行线“同旁内角互补”的性质，结合∠2的度数即可求出∠C；
第(2)问：先通过∠1=∠B和∠B+∠BFD=90°推导出∠1+∠BFD=90°，再结合∠1与∠D互余（∠1+∠D=90°），利用同角的余角相等得到∠BFD=∠D，最后根据“内错角相等，两直线平行”证明AB//CD。
【解析】
(1) 因为∠1=∠B，根据内错角相等，两直线平行，所以CF//EB。
根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得∠C + ∠2 = 180°。
已知∠2=125°，代入计算得：∠C = 180° - 125° = 55°。
(2) 已知∠1=∠B，且∠B + ∠BFD = 90°，将∠B替换为∠1，可得∠1 + ∠BFD = 90°。
又因为∠1和∠D互余，即∠1 + ∠D = 90°。
根据同角的余角相等，所以∠BFD = ∠D。
根据内错角相等，两直线平行，因此AB//CD。
【答案】
(1) ∠C=55°；(2) AB//CD，证明如上。
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，余角的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础应用，结合余角性质即可解决，需熟练掌握平行线的相关定理，理清角的等量关系。
【难度系数】
0.7
第(1)问：已知∠1=∠B，根据“内错角相等，两直线平行”可判定CF//EB，再利用平行线“同旁内角互补”的性质，结合∠2的度数即可求出∠C；
第(2)问：先通过∠1=∠B和∠B+∠BFD=90°推导出∠1+∠BFD=90°，再结合∠1与∠D互余（∠1+∠D=90°），利用同角的余角相等得到∠BFD=∠D，最后根据“内错角相等，两直线平行”证明AB//CD。
【解析】
(1) 因为∠1=∠B，根据内错角相等，两直线平行，所以CF//EB。
根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得∠C + ∠2 = 180°。
已知∠2=125°，代入计算得：∠C = 180° - 125° = 55°。
(2) 已知∠1=∠B，且∠B + ∠BFD = 90°，将∠B替换为∠1，可得∠1 + ∠BFD = 90°。
又因为∠1和∠D互余，即∠1 + ∠D = 90°。
根据同角的余角相等，所以∠BFD = ∠D。
根据内错角相等，两直线平行，因此AB//CD。
【答案】
(1) ∠C=55°；(2) AB//CD，证明如上。
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，余角的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础应用，结合余角性质即可解决，需熟练掌握平行线的相关定理，理清角的等量关系。
【难度系数】
0.7
