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7. 如图，AB // CD，点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上。如果∠CFE : ∠EFB = 3 : 4，∠ABF = 40°，求∠BEF 的度数。
能力提高
能力提高
答案
【同步训练】
7. 解：因为 $ AB // CD $，$ ∠ ABF = 40^{\circ} $，
所以 $ ∠ CFB = 180^{\circ} - ∠ ABF = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} $。
又因为 $ ∠ CFE : ∠ EFB = 3 : 4 $，
所以 $ ∠ CFE = \frac{3}{7} ∠ CFB = \frac{3}{7} × 140^{\circ} = 60^{\circ} $。
因为 $ AB // CD $，
所以 $ ∠ BEF = ∠ CFE = 60^{\circ} $。
7. 解：因为 $ AB // CD $，$ ∠ ABF = 40^{\circ} $，
所以 $ ∠ CFB = 180^{\circ} - ∠ ABF = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} $。
又因为 $ ∠ CFE : ∠ EFB = 3 : 4 $，
所以 $ ∠ CFE = \frac{3}{7} ∠ CFB = \frac{3}{7} × 140^{\circ} = 60^{\circ} $。
因为 $ AB // CD $，
所以 $ ∠ BEF = ∠ CFE = 60^{\circ} $。
解析
【分析】
要解决本题，首先利用平行线AB//CD的同旁内角互补性质求出∠CFB的度数，再根据∠CFE与∠EFB的比例关系计算出∠CFE的度数，最后利用平行线的内错角相等性质得到∠BEF的度数。
【解析】
解：
∵ AB // CD，∠ABF = 40°，
∴ ∠CFB + ∠ABF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠CFB = 180° - 40° = 140°。
又
∵ ∠CFE : ∠EFB = 3 : 4，且∠CFE + ∠EFB = ∠CFB，
∴ ∠CFE = $\frac{3}{3+4}$ × ∠CFB = $\frac{3}{7}$ × 140° = 60°。
∵ AB // CD，
∴ ∠BEF = ∠CFE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BEF = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质、比例计算
【点评】
本题结合平行线的性质和比例关系进行角度计算，解题核心是利用平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质，属于几何基础角度计算题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用平行线AB//CD的同旁内角互补性质求出∠CFB的度数，再根据∠CFE与∠EFB的比例关系计算出∠CFE的度数，最后利用平行线的内错角相等性质得到∠BEF的度数。
【解析】
解：
∵ AB // CD，∠ABF = 40°，
∴ ∠CFB + ∠ABF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠CFB = 180° - 40° = 140°。
又
∵ ∠CFE : ∠EFB = 3 : 4，且∠CFE + ∠EFB = ∠CFB，
∴ ∠CFE = $\frac{3}{3+4}$ × ∠CFB = $\frac{3}{7}$ × 140° = 60°。
∵ AB // CD，
∴ ∠BEF = ∠CFE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BEF = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质、比例计算
【点评】
本题结合平行线的性质和比例关系进行角度计算，解题核心是利用平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质，属于几何基础角度计算题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
8. 如图，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 上的点，ED // AB，DF // AC，那么∠FDE 与∠A 相等吗？为什么？
答案
【同步训练】
8. 解：$ ∠ FDE = ∠ A $。理由如下：
因为 $ ED // AB $，所以 $ ∠ FDE = ∠ BFD $。
因为 $ DF // AC $，所以 $ ∠ BFD = ∠ A $，
所以 $ ∠ FDE = ∠ A $。
8. 解：$ ∠ FDE = ∠ A $。理由如下：
因为 $ ED // AB $，所以 $ ∠ FDE = ∠ BFD $。
因为 $ DF // AC $，所以 $ ∠ BFD = ∠ A $，
所以 $ ∠ FDE = ∠ A $。
解析
【分析】要判断∠FDE与∠A是否相等，需结合已知的两组平行线，利用平行线的性质逐步推导角的等量关系：先由ED//AB得到∠FDE与∠BFD相等，再由DF//AC得到∠BFD与∠A相等，通过等量代换即可得出结论。
【解析】解：∠FDE = ∠A，理由如下：
∵ ED // AB（已知），
∴ ∠FDE = ∠BFD（两直线平行，内错角相等）；
又
∵ DF // AC（已知），
∴ ∠BFD = ∠A（两直线平行，同位角相等）；
∴ ∠FDE = ∠A（等量代换）。
【答案】∠FDE与∠A相等
【知识点】平行线的性质
【点评】本题是平行线性质的基础应用，通过两次平行线的性质推导角的关系，属于几何入门的基础推理题，考查学生对平行线性质的掌握和简单逻辑推理能力。
【难度系数】0.6
【解析】解：∠FDE = ∠A，理由如下：
∵ ED // AB（已知），
∴ ∠FDE = ∠BFD（两直线平行，内错角相等）；
又
∵ DF // AC（已知），
∴ ∠BFD = ∠A（两直线平行，同位角相等）；
∴ ∠FDE = ∠A（等量代换）。
【答案】∠FDE与∠A相等
【知识点】平行线的性质
【点评】本题是平行线性质的基础应用，通过两次平行线的性质推导角的关系，属于几何入门的基础推理题，考查学生对平行线性质的掌握和简单逻辑推理能力。
【难度系数】0.6
9. 如图，点 E，F，G 分别在 BC，AB，AC 上，且 EF ⊥ AB，GD // BC 交 AB 于点 D，∠1 = ∠2。判断 CD 与 AB 的位置关系，并说明理由。
答案
【同步训练】
9. 解：$ CD ⊥ AB $。理由如下：
因为 $ DG // BC $，所以 $ ∠ 1 = ∠ DCB $。
因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，所以 $ ∠ 2 = ∠ DCB $，
所以 $ CD // EF $，所以 $ ∠ CDB = ∠ EFB $。
因为 $ EF ⊥ AB $，所以 $ ∠ EFB = 90^{\circ} $，
所以 $ ∠ CDB = 90^{\circ} $，所以 $ CD ⊥ AB $。
9. 解：$ CD ⊥ AB $。理由如下：
因为 $ DG // BC $，所以 $ ∠ 1 = ∠ DCB $。
因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，所以 $ ∠ 2 = ∠ DCB $，
所以 $ CD // EF $，所以 $ ∠ CDB = ∠ EFB $。
因为 $ EF ⊥ AB $，所以 $ ∠ EFB = 90^{\circ} $，
所以 $ ∠ CDB = 90^{\circ} $，所以 $ CD ⊥ AB $。
解析
【分析】要判断CD与AB的位置关系，结合已知条件EF⊥AB、GD//BC、∠1=∠2，先利用平行线的性质得到∠1与∠DCB的关系，再通过等量代换推导CD与EF平行，最后结合EF⊥AB的条件，利用平行线的性质和垂直的定义得出结论。
【解析】解：CD⊥AB，理由如下：
1. 因为DG//BC（已知），根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠1=∠DCB；
2. 又因为∠1=∠2（已知），通过等量代换得∠2=∠DCB；
3. 根据“同位角相等，两直线平行”，由∠2=∠DCB推出CD//EF；
4. 因为EF⊥AB（已知），所以∠EFB=90°；
5. 根据“两直线平行，同位角相等”，由CD//EF得∠CDB=∠EFB=90°；
6. 根据垂直的定义，可得CD⊥AB。
【答案】CD⊥AB
【知识点】平行线的性质、平行线的判定、垂直的定义
【点评】本题综合考查平行线的性质与判定，解题关键是通过角的等量关系推导直线平行，再结合垂直定义得出结论，属于基础几何证明题，注重逻辑推理能力的考查。
【难度系数】0.5
【解析】解：CD⊥AB，理由如下：
1. 因为DG//BC（已知），根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠1=∠DCB；
2. 又因为∠1=∠2（已知），通过等量代换得∠2=∠DCB；
3. 根据“同位角相等，两直线平行”，由∠2=∠DCB推出CD//EF；
4. 因为EF⊥AB（已知），所以∠EFB=90°；
5. 根据“两直线平行，同位角相等”，由CD//EF得∠CDB=∠EFB=90°；
6. 根据垂直的定义，可得CD⊥AB。
【答案】CD⊥AB
【知识点】平行线的性质、平行线的判定、垂直的定义
【点评】本题综合考查平行线的性质与判定，解题关键是通过角的等量关系推导直线平行，再结合垂直定义得出结论，属于基础几何证明题，注重逻辑推理能力的考查。
【难度系数】0.5
10. 如图，C，D 是直线 AB 上的两点，∠1 + ∠2 = 180°，DG 平分∠CDF，DG 与 HF 交于点 E。
(1)CE 与 DF 平行吗？为什么？
(2)若∠1 = 50°，AB // EF，求∠HEG 的度数。
(1)CE 与 DF 平行吗？为什么？
(2)若∠1 = 50°，AB // EF，求∠HEG 的度数。
答案
【同步训练】
10. 解：(1)$ CE // DF $。理由如下：
因为 $ C $，$ D $ 是直线 $ AB $ 上的两点，
所以 $ ∠ 1 + ∠ DCE = 180^{\circ} $。
又因为 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ} $，
所以 $ ∠ 2 = ∠ DCE $，所以 $ CE // DF $。
(2)由(1)知，$ CE // DF $。
又因为 $ ∠ 1 = 50^{\circ} $，所以 $ ∠ CDF = ∠ 1 = 50^{\circ} $。
因为 $ DG $ 平分 $ ∠ CDF $，
所以 $ ∠ CDE = \frac{1}{2} ∠ CDF = \frac{1}{2} × 50^{\circ} = 25^{\circ} $。
因为 $ AB // EF $，所以 $ ∠ HEG = ∠ CDE = 25^{\circ} $。
10. 解：(1)$ CE // DF $。理由如下：
因为 $ C $，$ D $ 是直线 $ AB $ 上的两点，
所以 $ ∠ 1 + ∠ DCE = 180^{\circ} $。
又因为 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ} $，
所以 $ ∠ 2 = ∠ DCE $，所以 $ CE // DF $。
(2)由(1)知，$ CE // DF $。
又因为 $ ∠ 1 = 50^{\circ} $，所以 $ ∠ CDF = ∠ 1 = 50^{\circ} $。
因为 $ DG $ 平分 $ ∠ CDF $，
所以 $ ∠ CDE = \frac{1}{2} ∠ CDF = \frac{1}{2} × 50^{\circ} = 25^{\circ} $。
因为 $ AB // EF $，所以 $ ∠ HEG = ∠ CDE = 25^{\circ} $。
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步分析：第(1)问判断CE与DF是否平行，需利用邻补角性质和同角的补角相等，推导内错角相等，进而判定平行；第(2)问结合平行线性质、角平分线定义，以及AB与EF平行的条件，推导∠HEG的度数。
【解析】
(1) $CE // DF$，理由如下：
因为C，D是直线AB上的两点，根据邻补角的定义，$∠ 1 + ∠ DCE = 180°$。
又已知$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，根据同角的补角相等，可得$∠ 2 = ∠ DCE$。
根据“内错角相等，两直线平行”，所以$CE // DF$。
(2) 由(1)知$CE // DF$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠ CDF = ∠ 1 = 50°$。
因为DG平分$∠ CDF$，根据角平分线的定义，$∠ CDE = \frac{1}{2}∠ CDF = \frac{1}{2} × 50° = 25°$。
又因为$AB // EF$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠ HEG = ∠ CDE = 25°$。
【答案】
(1) $CE$与$DF$平行；(2) $∠ HEG$的度数为$25°$
【知识点】
平行线判定、平行线性质、角平分线定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，结合邻补角、角平分线的知识，解题关键是理清角之间的关系，逐步推导得出结论，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需分两步分析：第(1)问判断CE与DF是否平行，需利用邻补角性质和同角的补角相等，推导内错角相等，进而判定平行；第(2)问结合平行线性质、角平分线定义，以及AB与EF平行的条件，推导∠HEG的度数。
【解析】
(1) $CE // DF$，理由如下：
因为C，D是直线AB上的两点，根据邻补角的定义，$∠ 1 + ∠ DCE = 180°$。
又已知$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，根据同角的补角相等，可得$∠ 2 = ∠ DCE$。
根据“内错角相等，两直线平行”，所以$CE // DF$。
(2) 由(1)知$CE // DF$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠ CDF = ∠ 1 = 50°$。
因为DG平分$∠ CDF$，根据角平分线的定义，$∠ CDE = \frac{1}{2}∠ CDF = \frac{1}{2} × 50° = 25°$。
又因为$AB // EF$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠ HEG = ∠ CDE = 25°$。
【答案】
(1) $CE$与$DF$平行；(2) $∠ HEG$的度数为$25°$
【知识点】
平行线判定、平行线性质、角平分线定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，结合邻补角、角平分线的知识，解题关键是理清角之间的关系，逐步推导得出结论，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
