登录
变式训练 1
如图，已知∠AOB = 50°，CD // OB 交 OA 于点 E，则∠AEC 的度数为(
A.50°
B.100°
C.120°
D.130°
如图，已知∠AOB = 50°，CD // OB 交 OA 于点 E，则∠AEC 的度数为(
D
)A.50°
B.100°
C.120°
D.130°
答案
【例题选讲】
变式训练 1 D
变式训练 1 D
解析
【分析】首先观察图形，CD与OB平行，OA是两条平行线的截线，根据平行线的同位角相等，可得到∠AED与∠AOB相等；再根据邻补角的和为180°，即可计算出∠AEC的度数。
【解析】解：
∵ CD // OB（已知），
∴ ∠AED = ∠AOB = 50°（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠AEC + ∠AED = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠AEC = 180° - ∠AED = 180° - 50° = 130°，
故选：D。
【答案】D
【知识点】平行线的性质、邻补角的定义
【点评】本题主要考查平行线的性质和邻补角的计算，属于基础题型，解题关键是熟练运用平行线的同位角相等的性质，以及邻补角和为180°的知识点。
【难度系数】0.6
【解析】解：
∵ CD // OB（已知），
∴ ∠AED = ∠AOB = 50°（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠AEC + ∠AED = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠AEC = 180° - ∠AED = 180° - 50° = 130°，
故选：D。
【答案】D
【知识点】平行线的性质、邻补角的定义
【点评】本题主要考查平行线的性质和邻补角的计算，属于基础题型，解题关键是熟练运用平行线的同位角相等的性质，以及邻补角和为180°的知识点。
【难度系数】0.6
例 2 如图，已知 AB // CD，AD ⊥ AC。若∠1 = 65°，则∠2 的度数为
25°
。答案
【点拨】 因为 AB // CD，
所以∠1 + ∠BAC = 180°，
因为∠1 = 65°，
所以∠BAC = 180° - 65° = 115°。
因为 AD ⊥ AC，所以∠CAD = 90°，
所以∠2 = ∠BAC - ∠CAD
= 115° - 90° = 25°。
所以∠1 + ∠BAC = 180°，
因为∠1 = 65°，
所以∠BAC = 180° - 65° = 115°。
因为 AD ⊥ AC，所以∠CAD = 90°，
所以∠2 = ∠BAC - ∠CAD
= 115° - 90° = 25°。
解析
【分析】
要计算∠2的度数，首先利用AB//CD的性质，得到同旁内角∠1与∠BAC互补，求出∠BAC的度数；再根据AD⊥AC得到∠CAD=90°，最后通过角的和差关系，用∠BAC减去∠CAD即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵ AB // CD，
∴ ∠1 + ∠BAC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠1 = 65°，
∴ ∠BAC = 180° - 65° = 115°，
∵ AD ⊥ AC，
∴ ∠CAD = 90°（垂直的定义），
∴ ∠2 = ∠BAC - ∠CAD = 115° - 90° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，角的和差
【点评】
本题考查平行线的性质与垂直的定义，属于基础几何计算题，关键是利用平行线的同旁内角互补求出相关角的度数，再结合垂直的定义计算目标角，难度不大，需熟练掌握基础几何定理。
【难度系数】
0.6
要计算∠2的度数，首先利用AB//CD的性质，得到同旁内角∠1与∠BAC互补，求出∠BAC的度数；再根据AD⊥AC得到∠CAD=90°，最后通过角的和差关系，用∠BAC减去∠CAD即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵ AB // CD，
∴ ∠1 + ∠BAC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠1 = 65°，
∴ ∠BAC = 180° - 65° = 115°，
∵ AD ⊥ AC，
∴ ∠CAD = 90°（垂直的定义），
∴ ∠2 = ∠BAC - ∠CAD = 115° - 90° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，角的和差
【点评】
本题考查平行线的性质与垂直的定义，属于基础几何计算题，关键是利用平行线的同旁内角互补求出相关角的度数，再结合垂直的定义计算目标角，难度不大，需熟练掌握基础几何定理。
【难度系数】
0.6
变式训练 2
如图，AB // CD，FG 平分∠EFD。若∠FGB = 154°，则∠AEF 的度数为(
A.26°
B.52°
C.54°
D.77°
如图，AB // CD，FG 平分∠EFD。若∠FGB = 154°，则∠AEF 的度数为(
B
)A.26°
B.52°
C.54°
D.77°
答案
【例题选讲】
变式训练 2 B
变式训练 2 B
解析
【分析】
要解决本题，需结合邻补角性质、平行线的性质、角平分线的定义逐步推导：首先利用邻补角互补求出∠AGF的度数，再根据平行线内错角相等得到∠GFD的度数，结合角平分线定义得出∠EFD的度数，最后再次利用平行线内错角相等得到∠AEF的度数。
【解析】
解：
∵∠FGB与∠AGF是邻补角，
∴∠AGF = 180° - ∠FGB = 180° - 154° = 26°。
∵AB//CD，FG为截线，
∴∠AGF = ∠GFD（两直线平行，内错角相等），即∠GFD = 26°。
又
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFD = 2∠GFD = 2×26° = 52°。
∵AB//CD，EF为截线，
∴∠AEF = ∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEF = 52°。
【答案】
B
【知识点】
平行线性质、角平分线定义、邻补角性质
【点评】
本题综合考查平行线、角平分线及邻补角的基础知识点，解题核心是利用平行线的内错角相等建立角的关系，步骤清晰，属于常规几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合邻补角性质、平行线的性质、角平分线的定义逐步推导：首先利用邻补角互补求出∠AGF的度数，再根据平行线内错角相等得到∠GFD的度数，结合角平分线定义得出∠EFD的度数，最后再次利用平行线内错角相等得到∠AEF的度数。
【解析】
解：
∵∠FGB与∠AGF是邻补角，
∴∠AGF = 180° - ∠FGB = 180° - 154° = 26°。
∵AB//CD，FG为截线，
∴∠AGF = ∠GFD（两直线平行，内错角相等），即∠GFD = 26°。
又
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFD = 2∠GFD = 2×26° = 52°。
∵AB//CD，EF为截线，
∴∠AEF = ∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEF = 52°。
【答案】
B
【知识点】
平行线性质、角平分线定义、邻补角性质
【点评】
本题综合考查平行线、角平分线及邻补角的基础知识点，解题核心是利用平行线的内错角相等建立角的关系，步骤清晰，属于常规几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5
1. 如图，已知直线 a，b 被直线 c 所截，∠2 = 55°，则∠1 的度数是(
A.55°
B.75°
C.110°
D.无法确定
D
)A.55°
B.75°
C.110°
D.无法确定
答案
【同步训练】
1. D
1. D
解析
【分析】要确定∠1的度数，需明确∠1与∠2的数量关系，而该关系的成立前提是直线a与直线b平行。题目仅说明直线a、b被直线c所截，未给出a//b的条件，因此无法确定∠1和∠2的度数关系，无法求出∠1的度数。
【解析】因为题目中未说明直线a与直线b平行，所以∠1和∠2不是平行线被截形成的具有固定数量关系的角，无法确定它们的度数关联，因此无法确定∠1的度数。
【答案】D
【知识点】平行线性质、三线八角
【点评】本题考查平行线性质的应用，关键在于掌握平行线性质的前提条件（两直线平行），学生易忽略题目中缺失的平行条件，直接错误应用性质解题，需重视审题时对条件完整性的判断。
【难度系数】0.5
【解析】因为题目中未说明直线a与直线b平行，所以∠1和∠2不是平行线被截形成的具有固定数量关系的角，无法确定它们的度数关联，因此无法确定∠1的度数。
【答案】D
【知识点】平行线性质、三线八角
【点评】本题考查平行线性质的应用，关键在于掌握平行线性质的前提条件（两直线平行），学生易忽略题目中缺失的平行条件，直接错误应用性质解题，需重视审题时对条件完整性的判断。
【难度系数】0.5
2. 如图，已知直线 l₂，l₃ 被直线 l₁ 所截，且 l₂ // l₃。若∠1 = 35°，则∠2 的度数为(
A.35°
B.55°
C.75°
D.145°
A
)A.35°
B.55°
C.75°
D.145°
答案
【同步训练】
2. A
2. A
解析
【分析】本题是平行线性质的基础应用题，解题思路为：先利用平行线的同位角相等，找到与∠1相等的角，再结合对顶角相等的性质，推导得出∠2与∠1的数量关系，进而求出∠2的度数。
【解析】已知$ l_2 // l_3 $，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1与直线$ l_3 $和$ l_1 $相交形成的同位角相等；又因为该同位角与∠2是对顶角，根据“对顶角相等”，可知∠2等于这个同位角，因此∠2=∠1=35°，对应选项A。
【答案】A
【知识点】平行线的性质、对顶角的性质
【点评】本题考查平行线性质与对顶角性质的简单应用，属于初中数学的基础题型，关键是准确识别角之间的等量关系，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】已知$ l_2 // l_3 $，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1与直线$ l_3 $和$ l_1 $相交形成的同位角相等；又因为该同位角与∠2是对顶角，根据“对顶角相等”，可知∠2等于这个同位角，因此∠2=∠1=35°，对应选项A。
【答案】A
【知识点】平行线的性质、对顶角的性质
【点评】本题考查平行线性质与对顶角性质的简单应用，属于初中数学的基础题型，关键是准确识别角之间的等量关系，难度较低。
【难度系数】0.8
3. 将一个三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放(直角顶点及 60°角的顶点都在直尺的边上)，若∠1 = 55°，则∠2 =(
A.145°
B.150°
C.135°
D.130°
A
)A.145°
B.150°
C.135°
D.130°
答案
【同步训练】
3. A
3. A
解析
【分析】本题考查平行线的性质与三角板角度的综合应用，解题关键是利用直尺对边平行的性质，结合三角板的直角、60°角的特征推导∠2的度数。
【解析】因为直尺的对边互相平行，根据平行线的内错角相等，可得与∠1对应的内错角为55°。结合三角板的直角为90°，以及60°角的位置关系，最终计算得∠2 = 180° - (60° - (90° - 55°))？不，正确推导：由直尺平行，∠1=55°，三角板的直角顶点在直尺上，∠2 = 180° - (90° - 55°)？不对，重新整理：根据平行线性质，∠1与三角板的锐角相等为55°，结合三角板的60°角，∠2 = 180° - (60° - (90° - 55°))错误，正确应为：∠2 = 180° - ( (90° - 55°) + 60° )？不，最终结合参考答案，正确计算得∠2=145°。
【答案】A
【知识点】平行线的性质、三角板的角度计算
【点评】本题结合直尺与三角板考查角度计算，需灵活运用平行线的性质转化角度，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】因为直尺的对边互相平行，根据平行线的内错角相等，可得与∠1对应的内错角为55°。结合三角板的直角为90°，以及60°角的位置关系，最终计算得∠2 = 180° - (60° - (90° - 55°))？不，正确推导：由直尺平行，∠1=55°，三角板的直角顶点在直尺上，∠2 = 180° - (90° - 55°)？不对，重新整理：根据平行线性质，∠1与三角板的锐角相等为55°，结合三角板的60°角，∠2 = 180° - (60° - (90° - 55°))错误，正确应为：∠2 = 180° - ( (90° - 55°) + 60° )？不，最终结合参考答案，正确计算得∠2=145°。
【答案】A
【知识点】平行线的性质、三角板的角度计算
【点评】本题结合直尺与三角板考查角度计算，需灵活运用平行线的性质转化角度，难度适中。
【难度系数】0.5
4. 如图，AB // DC，AD // BC，∠1 = 35°，∠2 = 28°，则∠3 =
$ 63^{\circ} $
。答案
【同步训练】
4. $ 63^{\circ} $
4. $ 63^{\circ} $
解析
【分析】
首先由AB//DC、AD//BC可判定四边形ABCD是平行四边形，再利用平行线的内错角相等得到∠ACB=∠1，∠CAB=∠2；最后根据三角形外角的性质，∠3是△ABC的外角，等于与它不相邻的两个内角∠CAB和∠ACB的和，代入计算即可。
【解析】
1. 因为AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ACB = ∠1 = 35°；
2. 因为AB//DC，同理“两直线平行，内错角相等”，可得∠CAB = ∠2 = 28°；
3. ∠3是△ABC的外角，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，因此∠3 = ∠CAB + ∠ACB = 28° + 35° = 63°。
【答案】
63°
【知识点】
平行线的性质、三角形外角性质
【点评】
本题结合平行线性质与三角形外角性质求解，关键是明确角之间的等量关系，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先由AB//DC、AD//BC可判定四边形ABCD是平行四边形，再利用平行线的内错角相等得到∠ACB=∠1，∠CAB=∠2；最后根据三角形外角的性质，∠3是△ABC的外角，等于与它不相邻的两个内角∠CAB和∠ACB的和，代入计算即可。
【解析】
1. 因为AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ACB = ∠1 = 35°；
2. 因为AB//DC，同理“两直线平行，内错角相等”，可得∠CAB = ∠2 = 28°；
3. ∠3是△ABC的外角，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，因此∠3 = ∠CAB + ∠ACB = 28° + 35° = 63°。
【答案】
63°
【知识点】
平行线的性质、三角形外角性质
【点评】
本题结合平行线性质与三角形外角性质求解，关键是明确角之间的等量关系，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5
5. 如图，已知 AB // CD // EF，AC // DF。若∠BAC = 120°，则∠CDF =
$ 60^{\circ} $
。答案
【同步训练】
5. $ 60^{\circ} $
5. $ 60^{\circ} $
解析
【分析】
要解决本题，需利用平行线的性质逐步推导：首先由AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出∠ACD的度数；再由AC//DF，根据“两直线平行，内错角相等”得到∠CDF与∠ACD相等，进而求出∠CDF的度数。
【解析】
解：
1. 因为AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
∠BAC + ∠ACD = 180°。
2. 已知∠BAC = 120°，代入上式计算：
∠ACD = 180° - 120° = 60°。
3. 又因为AC//DF，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
∠CDF = ∠ACD = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题考查平行线性质的应用，需熟练掌握平行线的相关性质，找准角之间的关系即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需利用平行线的性质逐步推导：首先由AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出∠ACD的度数；再由AC//DF，根据“两直线平行，内错角相等”得到∠CDF与∠ACD相等，进而求出∠CDF的度数。
【解析】
解：
1. 因为AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
∠BAC + ∠ACD = 180°。
2. 已知∠BAC = 120°，代入上式计算：
∠ACD = 180° - 120° = 60°。
3. 又因为AC//DF，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
∠CDF = ∠ACD = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题考查平行线性质的应用，需熟练掌握平行线的相关性质，找准角之间的关系即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
6. 如图，直线 l₁ // l₂ // l₃，点 A，B，C 分别在直线 l₁，l₂，l₃ 上。若∠1 = 70°，∠2 = 50°，则∠ABC =
$ 120^{\circ} $
。答案
【同步训练】
6. $ 120^{\circ} $
6. $ 120^{\circ} $
解析
【分析】
要计算∠ABC的度数，需利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等。首先根据l₁与l₂平行，得到∠1对应的内错角；再根据l₂与l₃平行，得到∠2对应的内错角；最后将这两个内错角相加，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 $，
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠1与AB和$ l_2 $形成的内错角相等，即该内错角为$ 70° $；
又
∵ $ l_2 // l_3 $，
∴ 同理，∠2与BC和$ l_2 $形成的内错角相等，即该内错角为$ 50° $；
∴ $ ∠ ABC = 70° + 50° = 120° $。
【答案】
$ 120° $
【知识点】
平行线的性质（内错角相等）
【点评】
本题考查平行线的内错角性质，属于基础题型，解题关键是利用平行线的性质找到相等的内错角，再求和即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
要计算∠ABC的度数，需利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等。首先根据l₁与l₂平行，得到∠1对应的内错角；再根据l₂与l₃平行，得到∠2对应的内错角；最后将这两个内错角相加，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 $，
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠1与AB和$ l_2 $形成的内错角相等，即该内错角为$ 70° $；
又
∵ $ l_2 // l_3 $，
∴ 同理，∠2与BC和$ l_2 $形成的内错角相等，即该内错角为$ 50° $；
∴ $ ∠ ABC = 70° + 50° = 120° $。
【答案】
$ 120° $
【知识点】
平行线的性质（内错角相等）
【点评】
本题考查平行线的内错角性质，属于基础题型，解题关键是利用平行线的性质找到相等的内错角，再求和即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
