登录
【变式训练 2】 如图，点$E$在$AC$上，$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$，$EF$平分$∠ AED$交$AB$于点$F$。已知$∠ ADE = ∠ B$，试说明：$EF // CD$。
答案
解:因为∠ADE=∠B,
所以DE//BC,所以∠ACB=∠AED。
因为CD平分∠ACB,EF平分∠AED,
所以∠ACD= $\frac{1}{2}$∠ACB,∠AEF= $\frac{1}{2}$∠AED,
所以∠ACD=∠AEF,所以EF//CD。
所以DE//BC,所以∠ACB=∠AED。
因为CD平分∠ACB,EF平分∠AED,
所以∠ACD= $\frac{1}{2}$∠ACB,∠AEF= $\frac{1}{2}$∠AED,
所以∠ACD=∠AEF,所以EF//CD。
解析
【分析】要证明$EF // CD$，需利用平行线的判定定理，结合已知条件推导角的等量关系。首先由$∠ ADE = ∠ B$，根据“同位角相等，两直线平行”推出$DE // BC$，再由平行线的性质得到$∠ AED = ∠ ACB$；接着利用角平分线的定义，得到$∠ AEF = \frac{1}{2}∠ AED$、$∠ ACD = \frac{1}{2}∠ ACB$，从而推出$∠ AEF = ∠ ACD$，最后根据“同位角相等，两直线平行”完成证明。
【解析】
证明：
$\because ∠ ADE = ∠ B$（已知），
$\therefore DE // BC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ AED = ∠ ACB$（两直线平行，同位角相等）。
$\because CD$平分$∠ ACB$，$EF$平分$∠ AED$（已知），
$\therefore ∠ ACD = \frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ AEF = \frac{1}{2}∠ AED$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ ACD = ∠ AEF$（等量代换），
$\therefore EF // CD$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$EF // CD$，证明过程如上。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题核心是通过已知角的关系推导平行线，再利用平行线性质和角平分线得到相等的同位角，进而证明目标直线平行，属于基础几何证明题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
【解析】
证明：
$\because ∠ ADE = ∠ B$（已知），
$\therefore DE // BC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ AED = ∠ ACB$（两直线平行，同位角相等）。
$\because CD$平分$∠ ACB$，$EF$平分$∠ AED$（已知），
$\therefore ∠ ACD = \frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ AEF = \frac{1}{2}∠ AED$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ ACD = ∠ AEF$（等量代换），
$\therefore EF // CD$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$EF // CD$，证明过程如上。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题核心是通过已知角的关系推导平行线，再利用平行线性质和角平分线得到相等的同位角，进而证明目标直线平行，属于基础几何证明题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
1. 如图，$AB // CD$，一个三角板的两个顶点分别在$AB$与$CD$上。若$∠ 1 = 35^{\circ}$，则$∠ 2$的度数为(
A.$125^{\circ}$
B.$115^{\circ}$
C.$108^{\circ}$
D.$105^{\circ}$
A
)A.$125^{\circ}$
B.$115^{\circ}$
C.$108^{\circ}$
D.$105^{\circ}$
答案
1. A
解析
解：过三角板的直角顶点作直线$EF // AB$。
因为$AB // CD$，所以$EF // CD$。
由$EF // AB$，得$∠1=∠3=35^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
三角板直角为$90^{\circ}$，故$∠4=90^{\circ}-∠3=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$。
由$EF // CD$，得$∠2+∠4=180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
所以$∠2=180^{\circ}-∠4=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$。
答案：A
因为$AB // CD$，所以$EF // CD$。
由$EF // AB$，得$∠1=∠3=35^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
三角板直角为$90^{\circ}$，故$∠4=90^{\circ}-∠3=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$。
由$EF // CD$，得$∠2+∠4=180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
所以$∠2=180^{\circ}-∠4=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$。
答案：A
2. 已知直线$a$，$b$被直线$AB$所截，且$a // b$，$AC ⊥ a$。若$∠ 1 = 30^{\circ}$，则$∠ 2 =$(
A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$
B
)A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$
答案
2. B
解析
解：因为 $AC ⊥ a$，所以 $∠ ACO = 90°$（$O$为直线$a$与$AC$的垂足）。
由于 $a // b$，$AC$为截线，所以 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 的对顶角互余（两直线平行，同位角相等）。
已知 $∠ 1 = 30°$，则 $∠ 2 = 90° - 30° = 60°$。
B
由于 $a // b$，$AC$为截线，所以 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 的对顶角互余（两直线平行，同位角相等）。
已知 $∠ 1 = 30°$，则 $∠ 2 = 90° - 30° = 60°$。
B
3. 如图，$AB // CD$，$∠ α = 45^{\circ}$，$∠ D = ∠ C$，则$∠ B =$(
A.$45^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$125^{\circ}$
D.$135^{\circ}$
D
)A.$45^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$125^{\circ}$
D.$135^{\circ}$
答案
3. D
解析
解：因为 $AB // CD$，$∠ α = 45^{\circ}$，所以$∠ D = ∠ α = 45^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
因为$∠ D = ∠ C$，所以$∠ C = 45^{\circ}$。
因为 $AB // CD$，所以$∠ B + ∠ C = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），则$∠ B = 180^{\circ} - ∠ C = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$。
D
因为$∠ D = ∠ C$，所以$∠ C = 45^{\circ}$。
因为 $AB // CD$，所以$∠ B + ∠ C = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），则$∠ B = 180^{\circ} - ∠ C = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$。
D
4. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，如果$∠ 1 = 59^{\circ}$，那么$∠ 2 =$
62°
。答案
4. 62°
解析
【分析】
要解决这道题，需结合折叠的性质、平角的定义和平行线的性质来思考。首先，长方形纸片折叠后，重合的角相等，因此与∠1相邻的角和∠1度数相同；这两个角与中间的角组成一个平角（180°），可先算出中间角的度数；再根据长方形对边平行，内错角相等，即可得到∠2的度数。
【解析】
根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，所以与∠1相邻的角等于∠1，即该角为59°。
由于这两个角（∠1和相邻角）与中间的角构成平角，平角为180°，因此中间角的度数为：
$180° - 59°×2 = 180° - 118° = 62°$。
又因为长方形的对边互相平行，根据平行线的内错角相等，可知∠2等于这个中间角，所以$∠2 = 62°$。
【答案】
62°
【知识点】
折叠的性质、平角的定义、平行线的性质
【点评】
本题是折叠类角度计算的基础题，核心是利用折叠前后角相等的性质，结合平角和平行线的内错角性质求解，难度不大，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合折叠的性质、平角的定义和平行线的性质来思考。首先，长方形纸片折叠后，重合的角相等，因此与∠1相邻的角和∠1度数相同；这两个角与中间的角组成一个平角（180°），可先算出中间角的度数；再根据长方形对边平行，内错角相等，即可得到∠2的度数。
【解析】
根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，所以与∠1相邻的角等于∠1，即该角为59°。
由于这两个角（∠1和相邻角）与中间的角构成平角，平角为180°，因此中间角的度数为：
$180° - 59°×2 = 180° - 118° = 62°$。
又因为长方形的对边互相平行，根据平行线的内错角相等，可知∠2等于这个中间角，所以$∠2 = 62°$。
【答案】
62°
【知识点】
折叠的性质、平角的定义、平行线的性质
【点评】
本题是折叠类角度计算的基础题，核心是利用折叠前后角相等的性质，结合平角和平行线的内错角性质求解，难度不大，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在$3 × 3$的正方形网格中标出了$∠ 1$，$∠ 2$，$∠ 3$，则$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 =$
90°
。答案
5. 90°
解析
【分析】要计算∠1+∠2+∠3，可利用3×3网格的边长特征，结合锐角三角函数的两角和公式转化角度。设每个小正方形边长为1，先确定各角所在直角三角形的直角边长，计算正切值，再通过两角和公式求出∠1+∠2的度数，最后结合∠3的度数得到三个角的和。
【解析】设每个小正方形的边长为1：
1. 对于∠1：所在直角三角形的两条直角边为1和2，故$\tan∠1=\frac{1}{2}$；
2. 对于∠2：所在直角三角形的两条直角边为1和3，故$\tan∠2=\frac{1}{3}$；
3. 对于∠3：所在直角三角形为等腰直角三角形，故$\tan∠3=1$，即∠3=45°。
根据两角和的正切公式：$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$，代入得：
$\tan(∠1+∠2)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1$，因此∠1+∠2=45°。
所以∠1+∠2+∠3=45°+45°=90°。
【答案】90°
【知识点】锐角三角函数、两角和公式、网格角度计算
【点评】本题借助网格的边长特点，运用三角函数两角和公式求解角度和，体现了数形结合思想，需准确判断各角对应直角三角形的边长，是经典的网格角度计算题。
【难度系数】0.5
【解析】设每个小正方形的边长为1：
1. 对于∠1：所在直角三角形的两条直角边为1和2，故$\tan∠1=\frac{1}{2}$；
2. 对于∠2：所在直角三角形的两条直角边为1和3，故$\tan∠2=\frac{1}{3}$；
3. 对于∠3：所在直角三角形为等腰直角三角形，故$\tan∠3=1$，即∠3=45°。
根据两角和的正切公式：$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$，代入得：
$\tan(∠1+∠2)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1$，因此∠1+∠2=45°。
所以∠1+∠2+∠3=45°+45°=90°。
【答案】90°
【知识点】锐角三角函数、两角和公式、网格角度计算
【点评】本题借助网格的边长特点，运用三角函数两角和公式求解角度和，体现了数形结合思想，需准确判断各角对应直角三角形的边长，是经典的网格角度计算题。
【难度系数】0.5
6. 如图，这是某路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行。若$∠ 1 = 30^{\circ}$，$∠ 2 = 50^{\circ}$，则$∠ 3 =$
160°
。答案
6. 160°
解析
【分析】要计算∠3的度数，已知工作篮底部与支撑平台平行，可通过作辅助线，利用平行线的性质转化角度。过∠2的顶点作平行于支撑平台的直线，根据平行线传递性，该直线也与工作篮底部平行，结合平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，建立∠1、∠2与∠3的关系，即可求出∠3。
【解析】过∠2的顶点作直线$ l // $支撑平台，因为工作篮底部与支撑平台平行，所以$ l // $工作篮底部。根据平行线内错角相等，直线$ l $与下杆的夹角等于$ ∠1 = 30° $，则直线$ l $与上杆的夹角为$ ∠2 - 30° = 50° - 30° = 20° $。由于$ l // $工作篮底部，根据平行线同旁内角互补，得$ 20° + ∠3 = 180° $，解得$ ∠3 = 180° - 20° = 160° $。
【答案】160°
【知识点】平行线的性质、内错角、同旁内角
【点评】本题通过作辅助线将复杂角度关系转化为平行线的基本性质，考查平行线性质的应用，关键是合理添加辅助线，将未知角转化为已知角的关系。
【难度系数】0.5
【解析】过∠2的顶点作直线$ l // $支撑平台，因为工作篮底部与支撑平台平行，所以$ l // $工作篮底部。根据平行线内错角相等，直线$ l $与下杆的夹角等于$ ∠1 = 30° $，则直线$ l $与上杆的夹角为$ ∠2 - 30° = 50° - 30° = 20° $。由于$ l // $工作篮底部，根据平行线同旁内角互补，得$ 20° + ∠3 = 180° $，解得$ ∠3 = 180° - 20° = 160° $。
【答案】160°
【知识点】平行线的性质、内错角、同旁内角
【点评】本题通过作辅助线将复杂角度关系转化为平行线的基本性质，考查平行线性质的应用，关键是合理添加辅助线，将未知角转化为已知角的关系。
【难度系数】0.5
7. 如图，已知$∠ A = ∠ C$，$AD ⊥ BE$，$BC ⊥ BE$，点$D$在线段$EC$上，试说明：$AB // CD$。
答案
7. 解:因为AD⊥BE,BC⊥BE,
所以∠EFD=∠EBC=90°,
所以AD//BC,所以∠ADE=∠C。
又因为∠A=∠C,
所以∠ADE=∠A,所以AB//CD。
所以∠EFD=∠EBC=90°,
所以AD//BC,所以∠ADE=∠C。
又因为∠A=∠C,
所以∠ADE=∠A,所以AB//CD。
解析
【分析】要证明AB//CD，需找到判定AB与CD平行的角关系。已知AD⊥BE、BC⊥BE，根据垂直定义可得两直线都与BE垂直，推出AD//BC；再利用平行线性质得到∠ADE=∠C，结合已知∠A=∠C，通过等量代换得到∠ADE=∠A，最后依据内错角相等判定AB//CD。
【解析】证明：
∵AD⊥BE，BC⊥BE（已知），
∴∠EFD=∠EBC=90°（垂直的定义），
∴AD//BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠ADE=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠A=∠C（已知），
∴∠ADE=∠A（等量代换），
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
【答案】AB//CD
【知识点】平行线的判定、平行线的性质、垂直的定义
【点评】本题是平行线判定与性质的基础应用，通过垂直关系推导平行线，结合角的等量代换完成证明，思路清晰，属于初中几何基础题型，考查学生对平行线相关定理的掌握与应用能力。
【难度系数】0.6
【解析】证明：
∵AD⊥BE，BC⊥BE（已知），
∴∠EFD=∠EBC=90°（垂直的定义），
∴AD//BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠ADE=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠A=∠C（已知），
∴∠ADE=∠A（等量代换），
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
【答案】AB//CD
【知识点】平行线的判定、平行线的性质、垂直的定义
【点评】本题是平行线判定与性质的基础应用，通过垂直关系推导平行线，结合角的等量代换完成证明，思路清晰，属于初中几何基础题型，考查学生对平行线相关定理的掌握与应用能力。
【难度系数】0.6
