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1. 如图，点A，B，C，D在$\odot O$上，AC与BD交于点E。写出$\odot O$的内接三角形：
$△ ABC,△ DBC$
。答案
1. $△ ABC,△ DBC$
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的内接三角形的定义，明确判断依据：一个三角形是圆的内接三角形的充要条件是它的三个顶点都在这个圆上。接下来观察图形，排除顶点包含E（E是AC与BD的交点，不在⊙O上）的三角形，再筛选出三个顶点都在⊙O上的三角形即可。
【解析】
根据圆的内接三角形的定义：三个顶点都在同一个圆上的三角形叫做这个圆的内接三角形。
已知点A、B、C、D都在⊙O上，点E不在⊙O上：
1. $△ ABC$的三个顶点A、B、C均在⊙O上，属于⊙O的内接三角形；
2. $△ DBC$的三个顶点D、B、C均在⊙O上，属于⊙O的内接三角形。
其余三角形顶点都包含点E，不符合要求。
【答案】
$△ ABC,△ DBC$
【知识点】
圆的内接三角形概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆的内接三角形定义的理解和运用，只要准确掌握定义，注意排除顶点不在圆上的三角形，就能快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆圆的内接三角形的定义，明确判断依据：一个三角形是圆的内接三角形的充要条件是它的三个顶点都在这个圆上。接下来观察图形，排除顶点包含E（E是AC与BD的交点，不在⊙O上）的三角形，再筛选出三个顶点都在⊙O上的三角形即可。
【解析】
根据圆的内接三角形的定义：三个顶点都在同一个圆上的三角形叫做这个圆的内接三角形。
已知点A、B、C、D都在⊙O上，点E不在⊙O上：
1. $△ ABC$的三个顶点A、B、C均在⊙O上，属于⊙O的内接三角形；
2. $△ DBC$的三个顶点D、B、C均在⊙O上，属于⊙O的内接三角形。
其余三角形顶点都包含点E，不符合要求。
【答案】
$△ ABC,△ DBC$
【知识点】
圆的内接三角形概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆的内接三角形定义的理解和运用，只要准确掌握定义，注意排除顶点不在圆上的三角形，就能快速得到答案。
【难度系数】
0.9
2. 如果一个三角形的外心在这个三角形的外部，那么这个三角形是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
C
)。A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形外心的基本定义，再回忆不同类型三角形对应的外心位置规律，将题干给出的“外心在三角形外部”的条件对应到规律中即可得出答案。首先，外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心；其次三类三角形外心位置有固定规律：锐角三角形外心在内部、直角三角形外心在斜边中点（边上）、钝角三角形外心在外部，匹配规律就能选出正确选项。
【解析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是该三角形外接圆的圆心，不同类型三角形的外心位置如下：
1. 锐角三角形：外心位于三角形内部；
2. 直角三角形：外心位于斜边的中点，属于三角形的边上；
3. 钝角三角形：外心位于三角形外部。
题干说明三角形外心在外部，因此该三角形为钝角三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的概念；外心位置与三角形类型的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要牢记三类三角形外心的位置特点，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确三角形外心的基本定义，再回忆不同类型三角形对应的外心位置规律，将题干给出的“外心在三角形外部”的条件对应到规律中即可得出答案。首先，外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心；其次三类三角形外心位置有固定规律：锐角三角形外心在内部、直角三角形外心在斜边中点（边上）、钝角三角形外心在外部，匹配规律就能选出正确选项。
【解析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是该三角形外接圆的圆心，不同类型三角形的外心位置如下：
1. 锐角三角形：外心位于三角形内部；
2. 直角三角形：外心位于斜边的中点，属于三角形的边上；
3. 钝角三角形：外心位于三角形外部。
题干说明三角形外心在外部，因此该三角形为钝角三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的概念；外心位置与三角形类型的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要牢记三类三角形外心的位置特点，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3. 下列命题不正确的是(
A.过一点有无数个圆
B.过三点能作一个圆
C.三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
D.直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
B
)。A.过一点有无数个圆
B.过三点能作一个圆
C.三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
D.直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
答案
3. B
解析
【分析】
这是一道圆相关概念的辨析题，解题时需逐个判断每个选项描述的正确性，最终选出错误命题。思考路径如下：首先回忆圆的确定条件，判断A、B选项的正误；再回忆三角形外心的定义判断C选项；最后结合外接圆的性质判断直角三角形外接圆的特点，验证D选项即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 过平面上任意一点，只要圆心是该点以外的任意点，半径取圆心到这个点的距离，就能作出过该点的圆，因此过一点有无数个圆，该选项正确，不符合题意。
B. 只有不在同一条直线上的三个点才能确定唯一的一个圆，若三个点在同一直线上，无法作出过这三点的圆，因此该选项描述错误，符合题意。
C. 三角形外心的定义就是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心，该选项正确，不符合题意。
D. 直角三角形的外心在斜边的中点处，因此外接圆的半径为斜边长度的一半，即外接圆的直径就是直角三角形的斜边，该选项正确，不符合题意。
综上，不正确的命题是B选项。
【答案】
B
【知识点】
圆的确定条件；三角形外心定义；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是忽略“过三点作圆”的前提是三点不共线，日常学习中要注意记准概念的限定条件，避免遗漏前提导致判断错误。
【难度系数】
0.7
这是一道圆相关概念的辨析题，解题时需逐个判断每个选项描述的正确性，最终选出错误命题。思考路径如下：首先回忆圆的确定条件，判断A、B选项的正误；再回忆三角形外心的定义判断C选项；最后结合外接圆的性质判断直角三角形外接圆的特点，验证D选项即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 过平面上任意一点，只要圆心是该点以外的任意点，半径取圆心到这个点的距离，就能作出过该点的圆，因此过一点有无数个圆，该选项正确，不符合题意。
B. 只有不在同一条直线上的三个点才能确定唯一的一个圆，若三个点在同一直线上，无法作出过这三点的圆，因此该选项描述错误，符合题意。
C. 三角形外心的定义就是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心，该选项正确，不符合题意。
D. 直角三角形的外心在斜边的中点处，因此外接圆的半径为斜边长度的一半，即外接圆的直径就是直角三角形的斜边，该选项正确，不符合题意。
综上，不正确的命题是B选项。
【答案】
B
【知识点】
圆的确定条件；三角形外心定义；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是忽略“过三点作圆”的前提是三点不共线，日常学习中要注意记准概念的限定条件，避免遗漏前提导致判断错误。
【难度系数】
0.7
4. 用直尺和圆规作出如图三角形的外接圆。（只需作出图形，并保留作图痕迹，不必写作法）
答案
解：
分别对两个三角形完成如下尺规作图：
1. 作出三角形任意两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外接圆的圆心O；
2. 以点O为圆心，点O到三角形任意一个顶点的距离为半径作圆，所得的圆即为对应三角形的外接圆，保留所有垂直平分线的尺规作图圆弧痕迹、直线痕迹即可。
其中锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部。
分别对两个三角形完成如下尺规作图：
1. 作出三角形任意两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外接圆的圆心O；
2. 以点O为圆心，点O到三角形任意一个顶点的距离为半径作圆，所得的圆即为对应三角形的外接圆，保留所有垂直平分线的尺规作图圆弧痕迹、直线痕迹即可。
其中锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部。
解析
【分析】
要作三角形的外接圆，需先确定圆心和半径。三角形外接圆的圆心叫做外心，外心到三角形三个顶点的距离相等。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此外心是三角形任意两边垂直平分线的交点。找到交点作为圆心后，以圆心到任意一个顶点的距离为半径画圆即可，注意锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部。
【解析】
1. 作图（1）的锐角三角形外接圆：
① 用尺规作出三角形任意两条边（如AB、BC）的垂直平分线，两条线的交点O在三角形内部，即为外接圆的圆心；
② 以O为圆心，OA（或OB、OC）的长为半径作圆，保留垂直平分线的所有尺规作图痕迹，所得圆就是该三角形的外接圆。
2. 作图（2）的钝角三角形外接圆：
① 用尺规作出三角形任意两条边（如AB、AC）的垂直平分线，两条线的交点O在三角形外部，即为外接圆的圆心；
② 以O为圆心，OA（或OB、OC）的长为半径作圆，保留所有作图痕迹，所得圆就是该三角形的外接圆。
【答案】
按上述要求作出两个三角形的外接圆，保留所有尺规作图痕迹即可（锐角三角形外心在其内部，钝角三角形外心在其外部）。
【知识点】
三角形外接圆，线段垂直平分线性质，尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是理解三角形外心的定义和性质，作图时要注意保留规范的尺规操作痕迹，同时准确区分不同类型三角形外心的位置。
【难度系数】
0.8
要作三角形的外接圆，需先确定圆心和半径。三角形外接圆的圆心叫做外心，外心到三角形三个顶点的距离相等。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此外心是三角形任意两边垂直平分线的交点。找到交点作为圆心后，以圆心到任意一个顶点的距离为半径画圆即可，注意锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部。
【解析】
1. 作图（1）的锐角三角形外接圆：
① 用尺规作出三角形任意两条边（如AB、BC）的垂直平分线，两条线的交点O在三角形内部，即为外接圆的圆心；
② 以O为圆心，OA（或OB、OC）的长为半径作圆，保留垂直平分线的所有尺规作图痕迹，所得圆就是该三角形的外接圆。
2. 作图（2）的钝角三角形外接圆：
① 用尺规作出三角形任意两条边（如AB、AC）的垂直平分线，两条线的交点O在三角形外部，即为外接圆的圆心；
② 以O为圆心，OA（或OB、OC）的长为半径作圆，保留所有作图痕迹，所得圆就是该三角形的外接圆。
【答案】
按上述要求作出两个三角形的外接圆，保留所有尺规作图痕迹即可（锐角三角形外心在其内部，钝角三角形外心在其外部）。
【知识点】
三角形外接圆，线段垂直平分线性质，尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是理解三角形外心的定义和性质，作图时要注意保留规范的尺规操作痕迹，同时准确区分不同类型三角形外心的位置。
【难度系数】
0.8
