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5. 如图,正方形网格中每个小正方形的边长为1,点A,B,C,D都在小正方形的顶点上。
（1）判断△ABC的形状,并说明理由。
（2）若△ABC的外接圆为⊙O,判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由。
（1）判断△ABC的形状,并说明理由。
（2）若△ABC的外接圆为⊙O,判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由。
答案
5. (1) $△ ABC$是等腰直角三角形。理由略。 (2) 点D在$\odot O$上。理由略。
解析
【分析】
（1）要判断△ABC的形状，可借助网格特征，先通过勾股定理分别计算AB、AC、BC三边长度的平方，再用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形，同时验证是否有两边相等，即可确定三角形形状；
（2）直角三角形的外接圆圆心为斜边中点，半径为斜边长度的一半，先求出△ABC外接圆的半径，再计算点D到圆心的距离，将距离与半径对比，就能判断点D和⊙O的位置关系。
【解析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度的平方：
$AB^2=2^2+4^2=4+16=20$，
$AC^2=4^2+(-2)^2=16+4=20$，
$BC^2=6^2+2^2=36+4=40$，
因此$AB^2+AC^2=BC^2$，且$AB=AC$，
故△ABC是等腰直角三角形。
（2）点D在⊙O上，理由如下：
∵△ABC是直角三角形，其外接圆⊙O的直径为斜边BC，圆心O是BC的中点，
∴外接圆半径$r=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×\sqrt{40}=\sqrt{10}$。
设B为坐标原点建立平面直角坐标系，可得$C(6,2)$，$D(6,0)$，BC中点O的坐标为$(3,1)$，
根据勾股定理计算OD的长度：$OD=\sqrt{(6-3)^2+(0-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}=r$，
即点D到圆心O的距离等于半径，因此点D在⊙O上。
【答案】
（1）$△ ABC$是等腰直角三角形；
（2）点D在$\odot O$上。
【知识点】
勾股定理及逆定理；点与圆的位置关系；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题结合网格考查三角形形状判定和点与圆的位置关系，解题核心是利用勾股定理计算线段长度，再结合相关性质推理，解题时可通过建立平面直角坐标系简化计算。
【难度系数】
0.7
（1）要判断△ABC的形状，可借助网格特征，先通过勾股定理分别计算AB、AC、BC三边长度的平方，再用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形，同时验证是否有两边相等，即可确定三角形形状；
（2）直角三角形的外接圆圆心为斜边中点，半径为斜边长度的一半，先求出△ABC外接圆的半径，再计算点D到圆心的距离，将距离与半径对比，就能判断点D和⊙O的位置关系。
【解析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度的平方：
$AB^2=2^2+4^2=4+16=20$，
$AC^2=4^2+(-2)^2=16+4=20$，
$BC^2=6^2+2^2=36+4=40$，
因此$AB^2+AC^2=BC^2$，且$AB=AC$，
故△ABC是等腰直角三角形。
（2）点D在⊙O上，理由如下：
∵△ABC是直角三角形，其外接圆⊙O的直径为斜边BC，圆心O是BC的中点，
∴外接圆半径$r=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×\sqrt{40}=\sqrt{10}$。
设B为坐标原点建立平面直角坐标系，可得$C(6,2)$，$D(6,0)$，BC中点O的坐标为$(3,1)$，
根据勾股定理计算OD的长度：$OD=\sqrt{(6-3)^2+(0-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}=r$，
即点D到圆心O的距离等于半径，因此点D在⊙O上。
【答案】
（1）$△ ABC$是等腰直角三角形；
（2）点D在$\odot O$上。
【知识点】
勾股定理及逆定理；点与圆的位置关系；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题结合网格考查三角形形状判定和点与圆的位置关系，解题核心是利用勾股定理计算线段长度，再结合相关性质推理，解题时可通过建立平面直角坐标系简化计算。
【难度系数】
0.7
6. 在平面直角坐标系中，已知点$A(1,3),B(3,3),C(5,1)$，则经过$A,B,C$三点的圆的半径为
$\sqrt{10}$
。答案
6. $\sqrt{10}$。提示:$△ ABC$的外心是三边中垂线的交点,可得圆心的坐标为$(2,0)$。由勾股定理,得半径长为$\sqrt{10}$。
解析
【分析】
要确定过A、B、C三点的圆的半径，首先明确过不共线三点的圆的圆心是△ABC的外心，即三边垂直平分线的交点。解题步骤可分为三步：1. 先找易求的边的垂直平分线：观察A、B两点纵坐标相同，线段AB为水平线段，可快速求出AB的垂直平分线；2. 设圆心坐标，利用“圆心到三个顶点距离相等”列方程求解圆心坐标；3. 利用勾股定理计算圆心到任意顶点的距离，即为圆的半径。
【解析】
1. 求线段AB的垂直平分线：
已知$A(1,3)$，$B(3,3)$，两点纵坐标相等，故AB平行于x轴。
AB的中点坐标为$( \frac{1+3}{2},\frac{3+3}{2} )=(2,3)$，
垂直于水平线段的直线为竖直线，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$。
2. 求圆心坐标：
因为外心在AB的垂直平分线上，故可设圆心坐标为$(2,m)$。
由圆心到各顶点距离相等，即圆心到A的距离等于圆心到C的距离，列方程：
$\sqrt{(2-1)^2+(m-3)^2}=\sqrt{(2-5)^2+(m-1)^2}$
两边同时平方消去根号得：
$(2-1)^2+(m-3)^2=(2-5)^2+(m-1)^2$
展开计算：
$1+m^2-6m+9=9+m^2-2m+1$
化简得：$-4m=0$，解得$m=0$。
因此圆心坐标为$(2,0)$。
3. 计算半径：
半径为圆心到点A的距离，由勾股定理得：
$r=\sqrt{(2-1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
三角形外心的性质；垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基本概念相关的常规考题，解题的核心是抓住外心的性质，优先找坐标特征特殊的边的垂直平分线，能大幅简化计算过程，需要熟练掌握垂直平分线的求法和两点间距离的计算方法。
【难度系数】
0.7
要确定过A、B、C三点的圆的半径，首先明确过不共线三点的圆的圆心是△ABC的外心，即三边垂直平分线的交点。解题步骤可分为三步：1. 先找易求的边的垂直平分线：观察A、B两点纵坐标相同，线段AB为水平线段，可快速求出AB的垂直平分线；2. 设圆心坐标，利用“圆心到三个顶点距离相等”列方程求解圆心坐标；3. 利用勾股定理计算圆心到任意顶点的距离，即为圆的半径。
【解析】
1. 求线段AB的垂直平分线：
已知$A(1,3)$，$B(3,3)$，两点纵坐标相等，故AB平行于x轴。
AB的中点坐标为$( \frac{1+3}{2},\frac{3+3}{2} )=(2,3)$，
垂直于水平线段的直线为竖直线，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$。
2. 求圆心坐标：
因为外心在AB的垂直平分线上，故可设圆心坐标为$(2,m)$。
由圆心到各顶点距离相等，即圆心到A的距离等于圆心到C的距离，列方程：
$\sqrt{(2-1)^2+(m-3)^2}=\sqrt{(2-5)^2+(m-1)^2}$
两边同时平方消去根号得：
$(2-1)^2+(m-3)^2=(2-5)^2+(m-1)^2$
展开计算：
$1+m^2-6m+9=9+m^2-2m+1$
化简得：$-4m=0$，解得$m=0$。
因此圆心坐标为$(2,0)$。
3. 计算半径：
半径为圆心到点A的距离，由勾股定理得：
$r=\sqrt{(2-1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
三角形外心的性质；垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基本概念相关的常规考题，解题的核心是抓住外心的性质，优先找坐标特征特殊的边的垂直平分线，能大幅简化计算过程，需要熟练掌握垂直平分线的求法和两点间距离的计算方法。
【难度系数】
0.7
7.（多选题）如图，点A，B在$3×4$的正方形网格的格点上，在网格中再找一格点，使该点与A，B两点构成的三角形的外心也在格点上。下列选项中符合的点有（
A.点C
B.点D
C.点E
D.点F
ABC
）。A.点C
B.点D
C.点E
D.点F
答案
7. ABC。提示:由题意,外心在AB的中垂线上。图中符合外心位置的只有两个格点,分别位于点C的正上方和点D的正下方。分两种情况讨论,根据三角形的外心到三顶点的距离相等,得点C,D,E符合题意。
解析
【分析】
解题时先回忆三角形外心的核心性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，因此外心一定在线段AB的垂直平分线上。解题分两步走：第一步先在网格中找到AB垂直平分线上的所有格点，也就是可能的外心位置，本题共2个符合要求的格点；第二步对每个可能的外心，验证选项中的点是否满足“到外心的距离等于外心到A、B的距离”，满足则对应点符合要求。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据三角形外心的性质，外心到三角形三个顶点的距离相等，且本题要求外心为格点，因此外心必在AB的垂直平分线上。
1. 确定可能的外心：排查AB的垂直平分线上的格点，仅存在2个符合要求的格点，记为$O_1$（C点正上方格点）、$O_2$（D点正下方格点），即仅这两个点可能为所求三角形的外心。
2. 逐一验证选项：
选点C时：经计算$O_1A=O_1B=O_1C$，故$△ ABC$的外心为格点$O_1$，符合要求；
选点D时：经计算$O_2A=O_2B=O_2D$，故$△ ABD$的外心为格点$O_2$，符合要求；
选点E时：经计算$O_2A=O_2B=O_2E$，故$△ ABE$的外心为格点$O_2$，符合要求；
选点F时：不存在格点到A、B、F三点距离相等，故$△ ABF$的外心不是格点，不符合要求。
【答案】
ABC
【知识点】
三角形外心的性质，线段垂直平分线的性质，网格距离计算
【点评】
本题结合网格考查三角形外心的相关应用，解题核心是先确定外心的可能位置，再根据外心到三顶点距离相等的性质逐一验证选项，需要掌握垂直平分线的特点和格点距离的计算方法，注意不要漏记外心的性质导致错选漏选。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆三角形外心的核心性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，因此外心一定在线段AB的垂直平分线上。解题分两步走：第一步先在网格中找到AB垂直平分线上的所有格点，也就是可能的外心位置，本题共2个符合要求的格点；第二步对每个可能的外心，验证选项中的点是否满足“到外心的距离等于外心到A、B的距离”，满足则对应点符合要求。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据三角形外心的性质，外心到三角形三个顶点的距离相等，且本题要求外心为格点，因此外心必在AB的垂直平分线上。
1. 确定可能的外心：排查AB的垂直平分线上的格点，仅存在2个符合要求的格点，记为$O_1$（C点正上方格点）、$O_2$（D点正下方格点），即仅这两个点可能为所求三角形的外心。
2. 逐一验证选项：
选点C时：经计算$O_1A=O_1B=O_1C$，故$△ ABC$的外心为格点$O_1$，符合要求；
选点D时：经计算$O_2A=O_2B=O_2D$，故$△ ABD$的外心为格点$O_2$，符合要求；
选点E时：经计算$O_2A=O_2B=O_2E$，故$△ ABE$的外心为格点$O_2$，符合要求；
选点F时：不存在格点到A、B、F三点距离相等，故$△ ABF$的外心不是格点，不符合要求。
【答案】
ABC
【知识点】
三角形外心的性质，线段垂直平分线的性质，网格距离计算
【点评】
本题结合网格考查三角形外心的相关应用，解题核心是先确定外心的可能位置，再根据外心到三顶点距离相等的性质逐一验证选项，需要掌握垂直平分线的特点和格点距离的计算方法，注意不要漏记外心的性质导致错选漏选。
【难度系数】
0.6
8. 如图,某小区内有三处消防应急设备存放点A,B,C。物业计划安装一个自动报警装置P,要求该装置到三个存放点的距离相等,以便报警信号以相同时间到达(忽略传播过程中的外界因素影响)。报警装置P应安装在什么位置?请用直尺和圆规在图上找到点P,并说明理由。
答案
8. 报警装置P应安装在$△ ABC$的外心的位置,理由是:三角形的外心到三顶点的距离相等。图略。
解析
【分析】
要找到到A、B、C三点距离相等的点P，可结合线段垂直平分线的性质思考：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。首先，到A、B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点都在线段BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就同时满足到A、B、C三点的距离相等，该点即为△ABC的外心。
【解析】
作图步骤：
1. 分别连接AB、BC；
2. 用尺规分别作出线段AB和线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的点P。
理由：因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB；点P在BC的垂直平分线上，所以PB=PC，因此PA=PB=PC，符合到三个存放点距离相等的要求，该点就是△ABC的外心。
【答案】
报警装置P应安装在$△ ABC$的外心的位置，理由是:三角形的外心到三顶点的距离相等。图略。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形外心的性质
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的应用，解题的关键是将“到三点距离相等”的实际需求，转化为作线段垂直平分线的几何问题，能有效锻炼学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
要找到到A、B、C三点距离相等的点P，可结合线段垂直平分线的性质思考：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。首先，到A、B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点都在线段BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就同时满足到A、B、C三点的距离相等，该点即为△ABC的外心。
【解析】
作图步骤：
1. 分别连接AB、BC；
2. 用尺规分别作出线段AB和线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的点P。
理由：因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB；点P在BC的垂直平分线上，所以PB=PC，因此PA=PB=PC，符合到三个存放点距离相等的要求，该点就是△ABC的外心。
【答案】
报警装置P应安装在$△ ABC$的外心的位置，理由是:三角形的外心到三顶点的距离相等。图略。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形外心的性质
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的应用，解题的关键是将“到三点距离相等”的实际需求，转化为作线段垂直平分线的几何问题，能有效锻炼学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
