6.如图，直线AD，BC交于点O，AB//EF//CD。若AO=2，OF=1，FD=2，则$\frac{BE}{EC}$的值为。

6.$\frac{3}{2}$

【分析】
首先观察图形特征，存在三条互相平行的直线AB、EF、CD，且这三条平行线同时截两条直线AD、BC，可直接运用平行线分线段成比例定理解题。解题时先找到与待求比例$\frac{BE}{EC}$对应的AD上的线段比例，先计算AF的长度：AF=AO+OF=2+1=3，再结合FD=2，即可得到对应线段的比值。
【解析】
解：
∵$AB// EF// CD$，
根据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，
可得$\frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FD}$。
又
∵$AF=AO+OF=2+1=3$，$FD=2$，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是准确识别三条平行线截两条直线的基本图形，找到对应成比例的线段，这类题目是相似章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7

7.如图，在$△ ABC$中，点$D,E,F$分别在边$AB,AC,BC$上，且$DE// BC$，$EF// AB$。若$AD=2BD$，则$\frac{CF}{BF}$的值为（）。

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$

7.A

【分析】
解题时先观察图形中的平行条件，结合已知的线段比例关系思考：首先由$DE// BC$，可利用平行线分线段成比例得到$AE$与$EC$的比值等于$AD$与$BD$的比值；再由$EF// AB$，再次利用平行线分线段成比例得到$CF$与$BF$的比值等于$CE$与$AE$的比值，代入已知比例即可求出结果。
【解析】
解：$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得
$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$
已知$AD=2BD$，即$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{1}$，因此$\frac{AE}{EC}=\frac{2}{1}$，即$\frac{EC}{AE}=\frac{1}{2}$。
又$\because EF// AB$，同理根据平行线分线段成比例定理，可得
$\frac{CF}{BF}=\frac{CE}{AE}$
将$\frac{CE}{AE}=\frac{1}{2}$代入，得$\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 比例的性质
【点评】
本题考查平行线分线段成比例的应用，解题关键是通过两组平行关系找到对应线段的比例联系，属于基础题型，熟练掌握平行线分线段成比例的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8

8.如图，E是$□ ABCD$的边AB延长线上的一点，DE交BC于点F，$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{3}$，EF=2，BF=1.5，求DF，BC的长。

8.解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,CD// AB$。
$\therefore \frac{BE}{AB}=\frac{EF}{DF}$。
$\therefore \frac{1}{3}=\frac{2}{DF},\therefore DF=6$。
又$\because CD// AB,\therefore CD// BE$。
$\therefore \frac{BF}{CF}=\frac{EF}{DF}$。 $\therefore \frac{1.5}{CF}=\frac{2}{6}$。 $\therefore CF=4.5$。
$\therefore BC=CF+BF=6$。

【分析】
解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，可得CD=AB、CD//BE，由此可判定△BEF和△CDF相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的$\frac{BE}{AB}$的比值和EF、BF的长度，先求出DF的长度，再求出CF的长度，最后通过BC=BF+CF即可算出BC的长。
【解析】
解：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB=CD$，$AD// BC$，$CD// AB$。
$\because CD// AB$，即$CD// BE$，
$\therefore ∠ E=∠ CDF$，$∠ EBF=∠ C$，
$\therefore △ BEF ∽ △ CDF$，
$\therefore \frac{BE}{CD}=\frac{EF}{DF}=\frac{BF}{CF}$。
又$\because CD=AB$，$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \frac{BE}{CD}=\frac{1}{3}$，即$\frac{EF}{DF}=\frac{1}{3}$。
将$EF=2$代入得$\frac{2}{DF}=\frac{1}{3}$，解得$DF=6$。
再将$BF=1.5$代入$\frac{BF}{CF}=\frac{1}{3}$，得$\frac{1.5}{CF}=\frac{1}{3}$，解得$CF=4.5$。
$\therefore BC=CF+BF=4.5+1.5=6$。
【答案】
$DF=6$，$BC=6$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形结合平行四边形的基础应用题，解题核心是利用平行四边形对边平行的性质找到相似三角形，再通过相似三角形的边比例关系建立等式求解未知线段，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在$△ ABC$中,D为边BC的中点,E为边AC上的任意一点,BE交AD于点O,某学生在研究这一问题时,发现了如下事实:
(1)当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}$时,有$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1}$(如图①);
(2)当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}=\frac{1}{1+2}$时,有$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{4}=\frac{2}{2+2}$(如图②);
(3)当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}=\frac{1}{1+3}$时,有$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{5}=\frac{2}{2+3}$(如图③)。
如图④,当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{1+n}$时,请你猜想$\frac{AO}{AD}$的一般结论,并证明你的结论。(其中n为正整数)

9.解:猜想$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n+2}$。
证明:过点 $D$ 作 $DF // BE$, 交 $AC$ 于点 $F$,
$\therefore AO: AD=AE: AF$。
$\because D$ 为边 $BC$ 的中点,
$\therefore CF=EF=\frac{1}{2}EC$。
$\because \frac{AE}{AC}=\frac{1}{1+n}$,
$\therefore AE:(AE+2EF)=1:(1+n)$。
$\therefore AE: EF=2: n$。
$\therefore AE: AF=2:(n+2)$, 即$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n+2}$。

【分析】
首先观察题目给出的3组特殊对应关系：当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{1+1}$时，$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{2+1}$；当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{1+2}$时，$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{2+2}$；当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{1+3}$时，$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{2+3}$，可类比猜想出当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{1+n}$时$\frac{AO}{AD}$的表达式。证明时需将AD上的比例关系转化为AC边上的线段比例，结合D是BC中点的条件，通过作DF平行于BE的辅助线，利用平行线分线段成比例定理，把$\frac{AO}{AD}$转化为$\frac{AE}{AF}$，再结合中点推导EF与AE的比例关系，最终即可验证猜想。
【解析】
猜想：$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n+2}$。
证明：过点 $D$ 作 $DF // BE$，交 $AC$ 于点 $F$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AO}{AD}=\frac{AE}{AF}$。
$\because D$ 为边 $BC$ 的中点，$DF // BE$，
$\therefore F$ 是$EC$的中点，即$CF=EF=\frac{1}{2}EC$。
$\because \frac{AE}{AC}=\frac{1}{1+n}$，$\therefore AC=(1+n)AE$，
又$\because AC=AE+EC=AE+2EF$，
$\therefore AE+2EF=(1+n)AE$，整理得$nAE=2EF$，即$\frac{AE}{EF}=\frac{2}{n}$。
设$AE=2k$，$EF=nk$（$k≠0$），则$AF=AE+EF=(n+2)k$，
$\therefore \frac{AE}{AF}=\frac{2k}{(n+2)k}=\frac{2}{n+2}$，
结合$\frac{AO}{AD}=\frac{AE}{AF}$，可得$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n+2}$。
【答案】
$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n+2}$
【知识点】
1.平行线分线段成比例定理 2.比例的性质 3.线段中点的性质
【点评】
本题是典型的几何规律探究题，既考查了从特殊到一般的归纳猜想能力，又考查了构造辅助线、利用比例性质完成几何证明的逻辑推理能力，对探究性思维的锻炼有较高价值。
【难度系数】
0.6