1.定理:两角分别的两个三角形相似。

1.相等

【分析】
本题考查相似三角形判定定理的记忆，解题时首先回忆相似三角形的角相关判定规则：如果两个三角形有两个角分别相等，那么第三个角也必然相等，两个三角形的形状完全相同，满足相似三角形的定义，因此空缺处应填写描述两角关系的正确表述。
【解析】
根据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，可知此处应填入“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题是基础概念考察题，难度较低，核心是对教材中基础定理的识记掌握，平时学习中牢记核心定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9

2.定理:两边且的两个三角形相似。

2.成比例 夹角相等

【分析】
本题考查相似三角形的判定定理，解题时需回忆与两边相关的相似三角形判定条件：首先对应边的关系不是相等而是成比例，其次对应的角必须是两组成比例边的夹角，而非其中一边的对角，才能判定两个三角形相似，结合定理内容即可补全空缺。
【解析】
根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，此处需注意角的位置必须是两组对应边的夹角，若为一边的对角则无法判定相似，因此两个空依次填入成比例、夹角相等。
【答案】
成比例 夹角相等
【知识点】
相似三角形的判定定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对相似三角形判定定理的记忆与理解，学习时要准确区分各判定定理的条件，尤其注意本定理中“夹角”的限定，避免概念记错导致失分。
【难度系数】
0.9

3.定理:三边的两个三角形相似。

3.成比例

【分析】
本题考查相似三角形判定定理的识记，解题时只需回忆所学的相似三角形判定相关定理内容，找到对应三边关系的判定条款即可完成填空。
【解析】
根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，因此横线处应填写“成比例”。
【答案】
成比例
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对核心定理的记忆熟练度，属于基础类题型，只要平时注重定理的背诵积累就能轻松得分。
【难度系数】
0.9

1.如图,在$△ ABC$中,如果$DE$与$BC$不平行,那么下列条件中,不能判定$△ AED$与$△ ABC$相似的是()。

A.$∠ ADE=∠ C$
B.$∠ AED=∠ B$
C.$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$
D.$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$

1.C

【分析】
要判断△AED与△ABC是否相似，首先可知两个三角形有公共角∠A，因此可结合相似三角形的判定定理分析：要么再找到一组相等的角，满足“两角分别相等的两个三角形相似”；要么找到夹∠A的两组边对应成比例，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，依次对各选项判断即可。
【解析】
△AED和△ABC存在公共角∠A，即∠DAE=∠CAB。
选项A：若∠ADE=∠C，结合∠A=∠A，满足两角分别相等，可判定△AED∽△ABC，不符合题意；
选项B：若∠AED=∠B，结合∠A=∠A，满足两角分别相等，可判定△AED∽△ABC，不符合题意；
选项C：若$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，此时∠A不是成比例线段AD、DE与AB、BC的夹角，不满足相似三角形的判定条件，无法判定两个三角形相似，符合题意；
选项D：若$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，且两组边的夹角均为∠A，满足两边对应成比例且夹角相等，可判定△AED∽△ABC，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；对应边与对应角识别
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，重点考查对“两边成比例且夹角相等”判定定理的理解，做题时要注意相等的角必须是两组成比例线段的夹角，不能随意套用边的比例关系判定相似。
【难度系数】
0.7

2.如图,点 P 在$△ ABC$的边 AC 上,要判定$△ ABP∽△ ACB$,需添加一个条件,不正确的是()。

A.$∠ ABP=∠ C$
B.$∠ APB=∠ ABC$
C.$\frac{AP}{AB}=\frac{AB}{AC}$
D.$\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{CB}$

2.D

【分析】
要判定△ABP∽△ACB，首先观察两个三角形的公共角：∠A是△ABP和△ACB的公共角，即已经有一组对应角相等。根据相似三角形的判定定理，此时有两种判定思路：①再添加一组对应角相等；②添加夹这组公共角的两组对应边成比例。接下来逐一验证四个选项，不符合上述判定思路的即为不正确选项。
【解析】
解：在△ABP和△ACB中，∠A为公共角，即∠A=∠A。
选项A：添加∠ABP=∠C，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABP∽△ACB，不符合题意；
选项B：添加∠APB=∠ABC，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABP∽△ACB，不符合题意；
选项C：添加$\frac{AP}{AB}=\frac{AB}{AC}$，即夹公共角∠A的两组边对应成比例，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABP∽△ACB，不符合题意；
选项D：添加$\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{CB}$，该比例中的边不是夹公共角∠A的对应边，且无法证明对应夹角相等，不满足相似三角形的判定条件，不能判定△ABP∽△ACB，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的应用、比例线段对应关系
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是先确定两个三角形的公共角，再结合相似判定条件逐一验证选项，尤其要注意用两边成比例判定相似时，相等的角必须是两组对应边的夹角，避免搞错边的对应关系出错。
【难度系数】
0.7

3.如图，在$□ ABCD$中，$AD=10\ \mathrm{cm}$，$CD=6\ \mathrm{cm}$，$E$为$AD$上一点，且$BE=BC$，$CE=CD$，则$DE=$。

3.3.6 cm

【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD//BC，进而推出内错角∠DEC=∠ECB；再结合已知CE=CD、BE=BC，利用等腰三角形两底角相等的性质，推导得到△CDE和△BCE的对应角相等，判定两个三角形相似；最后根据相似三角形对应边成比例列式计算，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=10 cm，AD//BC，
∴∠DEC=∠ECB（两直线平行，内错角相等）。
∵CE=CD，BE=BC，
∴∠D=∠DEC，∠BEC=∠ECB（等腰三角形两底角相等），
∴∠D=∠BEC，∠DEC=∠BCE，
∴△CDE∽△BCE（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{CD}{BC}=\frac{DE}{CE}$，
已知CD=6 cm，BC=10 cm，CE=CD=6 cm，代入比例式得：
$\frac{6}{10}=\frac{DE}{6}$，
解得$DE=\frac{6×6}{10}=3.6$ cm。
【答案】
3.6 cm
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过角的等量关系证明三角形相似，再借助相似的比例性质求解线段长度，能较好地考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

4.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BD⊥CD,如果AD=1,BC=3,那么BD=。

4.$\sqrt{3}$

【分析】
首先结合已知平行线的性质推导内错角相等，再结合两个直角的条件，可证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列式，即可求出BD的长度。
【解析】
解：$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ ADB=∠ DBC$（两直线平行，内错角相等），
$\because AB⊥ AD$，$BD⊥ CD$，
$\therefore ∠ A=∠ BDC=90°$，
$\therefore △ ABD ∽ △ DCB$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{BD}{BC}$，即$BD^2=AD· BC$，
将$AD=1$，$BC=3$代入得：$BD^2=1×3=3$，
$\because BD$是线段长度，为正数，
$\therefore BD=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是通过已知条件推导角的等量关系证明三角形相似，再借助相似的性质列比例式计算线段长度，能很好地考查对相似三角形相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7

5.如图,锐角三角形ABC的边AB,AC上的高线CE和BF相交于点D,请写出图中的两对相似三角形,并证明。

5.解:$△ BDE∽△ CDF,△ ABF∽△ ACE$。
证明略。(答案不唯一)

【分析】
要找出图中的相似三角形，可结合“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理分析：首先CE、BF是三角形的高线，可得到多个直角；再观察图中的公共角、对顶角，找到两组对应角相等的三角形即可。第一步可先找含对顶角的$△ BDE$和$△ CDF$，二者都有直角且对顶角相等，满足相似判定条件；第二步可找含公共角$∠ A$的$△ ABF$和$△ ACE$，二者都有直角且共享$∠ A$，也满足相似判定条件。
【解析】
选取两对相似三角形：$△ BDE ∽ △ CDF$，$△ ABF ∽ △ ACE$，证明如下：
1. 证明$△ BDE ∽ △ CDF$：
∵ CE是AB边上的高线，BF是AC边上的高线，
∴ $∠ BED = ∠ CFD = 90°$，
又
∵ $∠ BDE = ∠ CDF$（对顶角相等），
∴ 由两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ BDE ∽ △ CDF$。
2. 证明$△ ABF ∽ △ ACE$：
∵ CE是AB边上的高线，BF是AC边上的高线，
∴ $∠ AFB = ∠ AEC = 90°$，
又
∵ $∠ A = ∠ A$（公共角相等），
∴ 由两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABF ∽ △ ACE$。
（答案不唯一，其余合理相似对均可）
【答案】
$△ BDE∽ △ CDF$，$△ ABF∽ △ ACE$（答案不唯一）
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 对顶角的性质
3. 高线的定义
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是结合高线特征得到直角，再利用公共角、对顶角找到两组对应相等的角，即可快速判定相似三角形。
【难度系数】
0.7

6.如图,在$□ ABCD$中,E是AD延长线上一点,BE交AC于点F,交DC于点G,则下列结论错误的是()。

A.$△ ABE ∽ △ DGE$
B.$△ CGB ∽ △ DGE$
C.$△ BCF ∽ △ EAF$
D.$△ ACD ∽ △ GCF$

6.D

【分析】
首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行，再结合相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），逐一验证每个选项中的三角形是否满足相似条件即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AD//BC。
A选项：
∵AB//DG，
∴∠EDG=∠EAB，又∠E为公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABE∽△DGE，A结论正确。
B选项：
∵DE//BC，
∴∠EDG=∠BCG，∠E=∠GBC，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△CGB∽△DGE，B结论正确。
C选项：
∵AE//BC，
∴∠E=∠FBC，∠EAF=∠BCF，又∠AFE=∠CFB（对顶角相等），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BCF∽△EAF，C结论正确。
D选项：△ACD和△GCF仅存在公共角∠ACD=∠GCF，没有其他角相等或对应边成比例的条件，无法判定两个三角形相似，D结论错误。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题主要结合平行四边形的性质考查相似三角形的判定，需要熟练掌握由平行线得到角相等进而判定相似的常见模型，逐一分析选项即可得出答案。
【难度系数】
0.7

7.如图，已知AB,CD,EF都与BD垂直，垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是()。

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{5}$

7.C

【分析】
首先观察图形，已知AB、CD、EF均垂直于BD，可先判定三条直线互相平行；再根据平行线得到两组相似三角形：△DEF∽△DAB、△BEF∽△BCD，分别写出两组相似三角形对应边的比例式；发现两个比例式的右侧分母均为BD，分子相加刚好等于BD，因此将两个比例式相加即可消去BD，代入AB和CD的长度就能求出EF的长。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，
∴AB//EF//CD，
∵AB//EF，
∴△DEF∽△DAB，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$ ①，
∵EF//CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$ ②，
①+②得：$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF+BF}{BD}$，
∵DF+BF=BD，
∴$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=1$，
把AB=1，CD=3代入得：
$EF+\frac{EF}{3}=1$，
解得$EF=\frac{3}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题型，解题核心是通过平行线构造相似三角形，再利用比例式的恒等变形消去未知线段，从而求出目标线段长度，能有效考查对相似性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

8.如图,在△ABC中,D是边BC上的点(不与点B,C重合)。过点D作DE//AB交AC于点E,过点D作DF//AC交AB于点F,N是线段BF上的点,BN=2NF,M是线段DE上的点,DM=2ME。若已知△CMN的面积,则一定能求出()。

A.△AFE的面积
B.△BDF的面积
C.△BCN的面积
D.△DCE的面积

8.D 解析:如图,连接ND。

$\because DE// AB,DF// AC,$
$\therefore ∠ ECD=∠ FDB,∠ FBD=∠ EDC,$
$∠ BFD=∠ A,∠ A=∠ DEC$。
$\therefore △ FBD∽△ EDC,∠ NFD=∠ MEC$。
$\therefore \frac{FB}{ED}=\frac{FD}{EC}$。
$\because DM=2ME,BN=2NF,$
$\therefore NF=\frac{1}{3}BF,ME=\frac{1}{3}DE$。
$\therefore \frac{NF}{ME}=\frac{BF}{DE}$。
$\therefore \frac{FD}{EC}=\frac{NF}{ME}$。
又$\because ∠ NFD=∠ MEC,$
$\therefore △ NFD∽△ MEC$。
$\therefore ∠ ECM=∠ FDN$。
$\because ∠ FDB=∠ ECD,$
$\therefore ∠ MCD=∠ NDB$。
$\therefore MC// ND$。
$\therefore S_{△ MNC}=S_{△ MDC}$。
$\because DM=2ME,$
$\therefore S_{△ MEC}=\frac{1}{2}S_{△ DMC}=\frac{1}{2}S_{△ MNC}$。
$\therefore S_{△ DCE}=S_{△ DMC}+S_{△ MEC}=\frac{3}{2}S_{△ CMN}$。
$\therefore$若已知$△ CMN$的面积,则一定能求出$△ DCE$的面积。

【分析】
解题时先观察题目给出的两组平行线条件，可得到多组相等的角，结合已知的线段比例关系（BN=2NF，DM=2ME），优先考虑通过相似三角形建立边、角的联系。首先作辅助线连接ND，先利用平行线的角的关系证明△FBD∽△EDC，得到边的比例关系；再结合已知的线段比例，推导证明△NFD∽△MEC，得到角相等，进一步推出MC和ND平行，利用“同底等高的三角形面积相等”将△CMN的面积转化为△MDC的面积；最后结合DM和ME的比例关系，得到△DCE的面积与△CMN面积的固定数量关系，即可确定答案。
【解析】
如图，连接ND。
$\because DE// AB,DF// AC,$
$\therefore ∠ ECD=∠ FDB,∠ FBD=∠ EDC,$
$∠ BFD=∠ A,∠ A=∠ DEC$。
$\therefore △ FBD ∽ △ EDC,∠ NFD=∠ MEC$。
$\therefore \frac{FB}{ED}=\frac{FD}{EC}$。
$\because DM=2ME,BN=2NF,$
$\therefore NF=\frac{1}{3}BF,ME=\frac{1}{3}DE$。
$\therefore \frac{NF}{ME}=\frac{BF}{DE}$。
$\therefore \frac{FD}{EC}=\frac{NF}{ME}$。
又$\because ∠ NFD=∠ MEC,$
$\therefore △ NFD ∽ △ MEC$。
$\therefore ∠ ECM=∠ FDN$。
$\because ∠ FDB=∠ ECD,$
$\therefore ∠ MCD=∠ NDB$。
$\therefore MC// ND$。
$\therefore S_{△ MNC}=S_{△ MDC}$（同底等高的三角形面积相等）。
$\because DM=2ME,$
$\therefore S_{△ MEC}=\frac{1}{2}S_{△ DMC}=\frac{1}{2}S_{△ MNC}$。
$\therefore S_{△ DCE}=S_{△ DMC}+S_{△ MEC}=\frac{3}{2}S_{△ CMN}$。
$\therefore$若已知$△ CMN$的面积，则一定能求出$△ DCE$的面积，故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将相似三角形、平行线性质和三角形面积转化相结合，解题的关键是合理构造辅助线，通过相似三角形的边角关系推导线段平行，实现面积的等量转化，能够有效考查对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.4