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9.在$△ ABC$中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，$AB=12$，$AC=8$，$AD=6$，当AP的长度为
4或9
时，$△ ADP$和$△ ABC$相似。答案
9.4或9
解析
【分析】
本题中△ADP和△ABC有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，由于两个三角形的对应边关系不唯一，因此需要分两种情况讨论：①△ADP∽△ACB；②△ADP∽△ABC，分别根据对应边成比例列方程求解即可得到AP的长度。
【解析】
∵ ∠A是△ADP和△ABC的公共角，
∴ 分两种情况讨论：
情况1：当$△ ADP ∽ △ ACB$时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC} = \frac{AP}{AB}$
代入$AB=12$，$AC=8$，$AD=6$，得：
$\frac{6}{8} = \frac{AP}{12}$
解得：$AP = \frac{6 × 12}{8} = 9$
情况2：当$△ ADP ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AB} = \frac{AP}{AC}$
代入已知数值，得：
$\frac{6}{12} = \frac{AP}{8}$
解得：$AP = \frac{6 × 8}{12} = 4$
综上，AP的长度为4或9。
【答案】
4或9
【知识点】
相似三角形的判定；分类讨论思想；成比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形的易错题，解题关键是抓住公共角的前提，明确两组边的对应关系有两种可能，避免因漏写一种情况导致失分。
【难度系数】
0.7
本题中△ADP和△ABC有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，由于两个三角形的对应边关系不唯一，因此需要分两种情况讨论：①△ADP∽△ACB；②△ADP∽△ABC，分别根据对应边成比例列方程求解即可得到AP的长度。
【解析】
∵ ∠A是△ADP和△ABC的公共角，
∴ 分两种情况讨论：
情况1：当$△ ADP ∽ △ ACB$时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC} = \frac{AP}{AB}$
代入$AB=12$，$AC=8$，$AD=6$，得：
$\frac{6}{8} = \frac{AP}{12}$
解得：$AP = \frac{6 × 12}{8} = 9$
情况2：当$△ ADP ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AB} = \frac{AP}{AC}$
代入已知数值，得：
$\frac{6}{12} = \frac{AP}{8}$
解得：$AP = \frac{6 × 8}{12} = 4$
综上，AP的长度为4或9。
【答案】
4或9
【知识点】
相似三角形的判定；分类讨论思想；成比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形的易错题，解题关键是抓住公共角的前提，明确两组边的对应关系有两种可能，避免因漏写一种情况导致失分。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在矩形ABCO中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB'C，AB'交y轴于点D，则点B'的坐标为
$(\frac{42}{29},\frac{105}{29})$
。答案
10.$(\frac{42}{29},\frac{105}{29})$
解析
【分析】
解题可按以下步骤展开：1. 先根据矩形边长确定A、C两点的坐标；2. 利用折叠的性质得到等角，结合矩形对边平行推出AD=CD，借助勾股定理求出y轴上D点的坐标；3. 用A、D两点坐标求出直线AB'的解析式；4. 设B'的坐标，结合CB'=BC=2的条件列方程，求解即可得到B'的坐标。
【解析】
已知矩形ABCO中，OA=2，OC=AB=5，因此A点坐标为$(-2,0)$，C点坐标为$(0,5)$，BC的长度为2。
将$△ ABC$沿AC对折得到$△ AB'C$，根据折叠性质可得$∠ BAC=∠ B'AC$，$CB'=BC=2$。
因为矩形中$AB// OC$，所以$∠ BAC=∠ DCA$，因此$∠ B'AC=∠ DCA$，可得$AD=CD$。
设D点坐标为$(0,d)$，则$CD=5-d$，在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{(-2-0)^2+(0-d)^2}=\sqrt{4+d^2}$，因此：
$\sqrt{4+d^2}=5-d$
两边平方化简得：$4+d^2=25-10d+d^2$，解得$d=\frac{21}{10}$，即D点坐标为$(0,\frac{21}{10})$。
设直线$AB'$的解析式为$y=kx+b$，代入$A(-2,0)$和$D(0,\frac{21}{10})$得：
$\begin{cases}0=-2k+b \\ b=\frac{21}{10}\end{cases}$
解得$k=\frac{21}{20}$，$b=\frac{21}{10}$，因此直线$AB'$的解析式为$y=\frac{21}{20}x+\frac{21}{10}$。
设$B'(x,y)$，由B'在直线$AB'$上，且$CB'=2$，可得方程组：
$\begin{cases}y=\frac{21}{20}(x+2) \\ x^2+(y-5)^2=4\end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子，化简整理得$841x^2-2436x+1764=0$，即$(29x-42)^2=0$，解得$x=\frac{42}{29}$。
将$x=\frac{42}{29}$代入直线解析式，得$y=\frac{21}{20}×(\frac{42}{29}+2)=\frac{105}{29}$。
【答案】
$\boldsymbol{(\frac{42}{29},\frac{105}{29})}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；一次函数解析式求解
【点评】
本题属于折叠与平面直角坐标系结合的综合题，解题核心是利用折叠的性质找到相等的角和边，先求出折痕对应直线的解析式，再结合线段长度条件列方程求解，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.35
解题可按以下步骤展开：1. 先根据矩形边长确定A、C两点的坐标；2. 利用折叠的性质得到等角，结合矩形对边平行推出AD=CD，借助勾股定理求出y轴上D点的坐标；3. 用A、D两点坐标求出直线AB'的解析式；4. 设B'的坐标，结合CB'=BC=2的条件列方程，求解即可得到B'的坐标。
【解析】
已知矩形ABCO中，OA=2，OC=AB=5，因此A点坐标为$(-2,0)$，C点坐标为$(0,5)$，BC的长度为2。
将$△ ABC$沿AC对折得到$△ AB'C$，根据折叠性质可得$∠ BAC=∠ B'AC$，$CB'=BC=2$。
因为矩形中$AB// OC$，所以$∠ BAC=∠ DCA$，因此$∠ B'AC=∠ DCA$，可得$AD=CD$。
设D点坐标为$(0,d)$，则$CD=5-d$，在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{(-2-0)^2+(0-d)^2}=\sqrt{4+d^2}$，因此：
$\sqrt{4+d^2}=5-d$
两边平方化简得：$4+d^2=25-10d+d^2$，解得$d=\frac{21}{10}$，即D点坐标为$(0,\frac{21}{10})$。
设直线$AB'$的解析式为$y=kx+b$，代入$A(-2,0)$和$D(0,\frac{21}{10})$得：
$\begin{cases}0=-2k+b \\ b=\frac{21}{10}\end{cases}$
解得$k=\frac{21}{20}$，$b=\frac{21}{10}$，因此直线$AB'$的解析式为$y=\frac{21}{20}x+\frac{21}{10}$。
设$B'(x,y)$，由B'在直线$AB'$上，且$CB'=2$，可得方程组：
$\begin{cases}y=\frac{21}{20}(x+2) \\ x^2+(y-5)^2=4\end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子，化简整理得$841x^2-2436x+1764=0$，即$(29x-42)^2=0$，解得$x=\frac{42}{29}$。
将$x=\frac{42}{29}$代入直线解析式，得$y=\frac{21}{20}×(\frac{42}{29}+2)=\frac{105}{29}$。
【答案】
$\boldsymbol{(\frac{42}{29},\frac{105}{29})}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；一次函数解析式求解
【点评】
本题属于折叠与平面直角坐标系结合的综合题，解题核心是利用折叠的性质找到相等的角和边，先求出折痕对应直线的解析式，再结合线段长度条件列方程求解，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.35
11.如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$上的点，$DC$交$BE$于点$F$，且$AD=\dfrac{1}{3}AB$，$AE=\dfrac{1}{2}EC$。
求证:(1)$△ DEF ∽ △ CBF$；
(2)$DF · BF = EF · CF$。
求证:(1)$△ DEF ∽ △ CBF$；
(2)$DF · BF = EF · CF$。
答案
11.证明:(1)$\because AE=\frac{1}{2}EC,\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
又$\because AD=\frac{1}{3}AB,$
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
又$\because ∠ A=∠ A,$
$\therefore △ ADE∽△ ABC$。
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC$。
$\therefore DE// BC$。
$\therefore ∠ EDF=∠ FCB,∠ DEF=∠ FBC$。
$\therefore △ DEF∽△ CBF$。
(2)$\because$由(1)知$△ DEF∽△ CBF,$
$\therefore \frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF}$。
$\therefore DF· BF=EF· CF$。
又$\because AD=\frac{1}{3}AB,$
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
又$\because ∠ A=∠ A,$
$\therefore △ ADE∽△ ABC$。
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC$。
$\therefore DE// BC$。
$\therefore ∠ EDF=∠ FCB,∠ DEF=∠ FBC$。
$\therefore △ DEF∽△ CBF$。
(2)$\because$由(1)知$△ DEF∽△ CBF,$
$\therefore \frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF}$。
$\therefore DF· BF=EF· CF$。
解析
【分析】
(1) 要证$△ DEF ∽ △ CBF$，需先找到两组对应角相等。首先根据已知的线段数量关系计算$\frac{AE}{AC}$的比值，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，结合公共角$∠ A$可证$△ ADE ∽ △ ABC$，得到$∠ ADE=∠ ABC$后推出$DE// BC$，再由平行线的内错角相等得到$△ DEF$和$△ CBF$的两组对应角相等，即可完成相似证明。
(2) 要证等积式$DF· BF=EF· CF$，可先转化为比例式$\frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF}$，利用(1)中已经证明的$△ DEF ∽ △ CBF$，根据相似三角形对应边成比例即可得到该比例式，交叉相乘即可得证。
【解析】
(1) $\because AE=\frac{1}{2}EC$，$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
又$\because AD=\frac{1}{3}AB$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$。
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC$，
$\therefore DE// BC$，
$\therefore ∠ EDF=∠ FCB$，$∠ DEF=∠ FBC$，
$\therefore △ DEF ∽ △ CBF$。
(2) 由(1)知$△ DEF ∽ △ CBF$，
$\therefore \frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF}$，
等式两边同时乘以$BF· CF$得：$DF· BF=EF· CF$。
【答案】
(1) $△ DEF ∽ △ CBF$，证明成立；
(2) $DF· BF=EF· CF$，证明成立。
【知识点】
相似三角形判定、平行线的判定与性质、相似三角形性质
【点评】
本题是相似三角形章节的基础常考题，解题核心是先通过线段比例关系推导平行线，再利用角的等量关系证明三角形相似，进而结合相似性质推导等积式，掌握相似的判定和性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$△ DEF ∽ △ CBF$，需先找到两组对应角相等。首先根据已知的线段数量关系计算$\frac{AE}{AC}$的比值，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，结合公共角$∠ A$可证$△ ADE ∽ △ ABC$，得到$∠ ADE=∠ ABC$后推出$DE// BC$，再由平行线的内错角相等得到$△ DEF$和$△ CBF$的两组对应角相等，即可完成相似证明。
(2) 要证等积式$DF· BF=EF· CF$，可先转化为比例式$\frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF}$，利用(1)中已经证明的$△ DEF ∽ △ CBF$，根据相似三角形对应边成比例即可得到该比例式，交叉相乘即可得证。
【解析】
(1) $\because AE=\frac{1}{2}EC$，$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
又$\because AD=\frac{1}{3}AB$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$。
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC$，
$\therefore DE// BC$，
$\therefore ∠ EDF=∠ FCB$，$∠ DEF=∠ FBC$，
$\therefore △ DEF ∽ △ CBF$。
(2) 由(1)知$△ DEF ∽ △ CBF$，
$\therefore \frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF}$，
等式两边同时乘以$BF· CF$得：$DF· BF=EF· CF$。
【答案】
(1) $△ DEF ∽ △ CBF$，证明成立；
(2) $DF· BF=EF· CF$，证明成立。
【知识点】
相似三角形判定、平行线的判定与性质、相似三角形性质
【点评】
本题是相似三角形章节的基础常考题，解题核心是先通过线段比例关系推导平行线，再利用角的等量关系证明三角形相似，进而结合相似性质推导等积式，掌握相似的判定和性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
12. 在$△ ABC$中，$AB=2\sqrt{5}$，$AC=4\sqrt{5}$，$BC=6$。
(1) 如图①，$M$为$AB$的中点，在线段$AC$上取点$N$，使$△ AMN$与$△ ABC$相似，求线段$MN$的长。
(2) 图②是由100个边长为1的小正方形组成的$10×10$正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点上的三角形为格点三角形。
① 请你在所给的网格中画出格点$△ A_1B_1C_1$，使得$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$全等；(画出一个即可，不需证明)
② 试直接写出在所给的网格中与$△ ABC$相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个。(不需证明)
(1) 如图①，$M$为$AB$的中点，在线段$AC$上取点$N$，使$△ AMN$与$△ ABC$相似，求线段$MN$的长。
(2) 图②是由100个边长为1的小正方形组成的$10×10$正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点上的三角形为格点三角形。
① 请你在所给的网格中画出格点$△ A_1B_1C_1$，使得$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$全等；(画出一个即可，不需证明)
② 试直接写出在所给的网格中与$△ ABC$相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个。(不需证明)
答案
12.解:(1)当$△ AMN∽△ ACB$时,有
$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}$。
$\because M$为$AB$的中点,$AB=2\sqrt{5},$
$\therefore AM=\sqrt{5}$。
$\because BC=6,AC=4\sqrt{5},\therefore MN=\frac{3}{2}$。
当$△ AMN∽△ ABC$时,
有$\frac{MN}{BC}=\frac{MA}{BA}=\frac{1}{2},\therefore MN=\frac{1}{2}BC=3$。
$\therefore$线段$MN$的长为$\frac{3}{2}$或$3$。
(2)①如图①。(答案不唯一)
②8个,如图②。(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 求MN的长度时，题干仅说明△AMN与△ABC相似，未指定对应顶点，因此需要分两种对应情况讨论：一是△AMN∽△ACB，二是△AMN∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例的性质分别列式计算即可。
(2) ① 画与△ABC全等的格点三角形，先确定△ABC三边长度特征，在网格中选取满足三边长度相等的格点连接即可。② 相似三角形面积比等于相似比的平方，要找面积最大的相似格点三角形，需先确定网格中能容纳的最大相似比的格点三角形，再统计符合条件的三角形个数即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论相似三角形的对应关系：
① 当$△ AMN ∽ △ ACB$时，由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}$。
$\because$ M是AB的中点，$AB=2\sqrt{5}$，$\therefore AM=\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$。
将$AM=\sqrt{5}$，$AC=4\sqrt{5}$，$BC=6$代入比例式：
$\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{MN}{6}$，解得$MN=\frac{3}{2}$。
② 当$△ AMN ∽ △ ABC$时，由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$。
$\because$ M是AB的中点，$\therefore \frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}$，代入$BC=6$得：
$MN=\frac{1}{2} × 6=3$。
综上，MN的长度为$\frac{3}{2}$或3。
(2) ① 依据全等三角形三边对应相等的性质，在网格中选取格点$A_1$、$B_1$、$C_1$，使得$A_1B_1=2\sqrt{5}$，$B_1C_1=6$，$A_1C_1=4\sqrt{5}$，顺次连接三点即可得到$△ A_1B_1C_1$。
② 结合10×10网格的边长限制，经统计符合条件的格点三角形共有8个，选取任意一个画出即可。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$或$3$；
(2) ① 如图①（答案不唯一）；
② 8个，如图②（答案不唯一）。
【知识点】
相似三角形的性质，全等三角形的判定，格点作图
【点评】
本题既考查了相似三角形的分类讨论计算，又结合格点考查了全等、相似三角形的作图和计数，解题时要注意相似三角形无对应顶点说明时需分类讨论，格点作图要先确定边长特征再找对应点。
【难度系数】
0.65
(1) 求MN的长度时，题干仅说明△AMN与△ABC相似，未指定对应顶点，因此需要分两种对应情况讨论：一是△AMN∽△ACB，二是△AMN∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例的性质分别列式计算即可。
(2) ① 画与△ABC全等的格点三角形，先确定△ABC三边长度特征，在网格中选取满足三边长度相等的格点连接即可。② 相似三角形面积比等于相似比的平方，要找面积最大的相似格点三角形，需先确定网格中能容纳的最大相似比的格点三角形，再统计符合条件的三角形个数即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论相似三角形的对应关系：
① 当$△ AMN ∽ △ ACB$时，由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}$。
$\because$ M是AB的中点，$AB=2\sqrt{5}$，$\therefore AM=\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$。
将$AM=\sqrt{5}$，$AC=4\sqrt{5}$，$BC=6$代入比例式：
$\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{MN}{6}$，解得$MN=\frac{3}{2}$。
② 当$△ AMN ∽ △ ABC$时，由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$。
$\because$ M是AB的中点，$\therefore \frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}$，代入$BC=6$得：
$MN=\frac{1}{2} × 6=3$。
综上，MN的长度为$\frac{3}{2}$或3。
(2) ① 依据全等三角形三边对应相等的性质，在网格中选取格点$A_1$、$B_1$、$C_1$，使得$A_1B_1=2\sqrt{5}$，$B_1C_1=6$，$A_1C_1=4\sqrt{5}$，顺次连接三点即可得到$△ A_1B_1C_1$。
② 结合10×10网格的边长限制，经统计符合条件的格点三角形共有8个，选取任意一个画出即可。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$或$3$；
(2) ① 如图①（答案不唯一）
；② 8个，如图②（答案不唯一）
。【知识点】
相似三角形的性质，全等三角形的判定，格点作图
【点评】
本题既考查了相似三角形的分类讨论计算，又结合格点考查了全等、相似三角形的作图和计数，解题时要注意相似三角形无对应顶点说明时需分类讨论，格点作图要先确定边长特征再找对应点。
【难度系数】
0.65
