平行线分线段成比例
内容
基本图形
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。如图，$l_1 // l_2 // l_3$，则$\frac{AB}{BC} =$ ，$\frac{AB}{AC} =$ ，$\frac{AC}{BC} =$
推论
平行于三角一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。如图，$DE // BC$，则$\frac{AD}{BD} =$ ，$\frac{AD}{AB} =$
解题策略
当题中无平行线求线段的比时，有时也需作平行线，将一条直线上的两条线段的比转化到另一条直线上求解

$\frac{DE}{EF}$、$\frac{DE}{DF}$、$\frac{DF}{EF}$、$\frac{AE}{EC}$、$\frac{AE}{AC}$

【分析】
本题考查平行线分线段成比例的基本事实及推论，解题时首先明确“对应线段成比例”的核心规则：找到被平行线所截的两条直线上，夹在同一组平行线之间的线段即为对应线段，对应线段的比值相等。
①对于基本事实的图形：两条被截直线的截点分别为A、B、C和D、E、F，其中AB与DE同夹在$l_1$、$l_2$之间，BC与EF同夹在$l_2$、$l_3$之间，AC与DF同夹在$l_1$、$l_3$之间，两两为对应线段，比值相等；
②对于推论的三角形图形：DE平行于BC，截$△ ABC$的AB、AC两边，AD与AE、BD与EC、AB与AC分别为对应线段，比值相等。
【解析】
1. 基本事实部分：
已知$l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例基本事实，对应线段成比例：
夹在$l_1$、$l_2$之间的线段$AB$、$DE$对应，夹在$l_2$、$l_3$之间的线段$BC$、$EF$对应，夹在$l_1$、$l_3$之间的线段$AC$、$DF$对应，因此：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{DF}{EF}$。
2. 推论部分：
已知$DE // BC$，根据平行线分线段成比例的推论，截得的对应线段成比例：
$AD$与$AE$对应，$BD$与$EC$对应，$AB$与$AC$对应，因此：
$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
【答案】
$\frac{DE}{EF}$；$\frac{DE}{DF}$；$\frac{DF}{EF}$；$\frac{AE}{EC}$；$\frac{AE}{AC}$
【知识点】
平行线分线段成比例基本事实；平行线分线段成比例推论；对应线段识别
【点评】
本题是对平行线分线段成比例相关基础结论的直接考察，解题关键是准确识别对应线段，切忌混淆线段的对应关系，该部分内容是后续学习相似三角形判定的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

1.如图，直线$l_1 // l_2 // l_3$，若$AB=1.6$，$BC=2.4$，$DE=1$，则$EF$的值为（）。


A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.6
D.$\frac{1}{6}$

1.B

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先观察图形特征，三条平行直线$l_1、l_2、l_3$被两条截线所截，符合平行线分线段成比例定理的适用条件；接下来定位对应线段：左侧截线被平行线截得的线段$AB、BC$，和右侧截线被平行线截得的线段$DE、EF$是对应线段，可得对应线段成比例的关系；最后将已知线段长度代入比例式求解，即可得到$EF$的长度。
【解析】
解：$\because l_1 // l_2 // l_3$
$\therefore$根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$AB=1.6$，$BC=2.4$，$DE=1$代入上式：
$\frac{1.6}{2.4}=\frac{1}{EF}$
化简得$\frac{2}{3}=\frac{1}{EF}$
交叉相乘得$2EF=3$
解得$EF=\frac{3}{2}$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理、比例式计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查平行线分线段成比例定理的直接应用，解题核心是准确识别对应线段，列出正确的比例式，再进行简单的比例运算即可得到结果。
【难度系数】
0.8

2.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（）。


A.7
B.$\frac{21}{4}$
C.$\frac{28}{3}$
D.$\frac{12}{7}$

2.B

【分析】
观察图形可知，两条直线被三条平行线所截，符合平行线分线段成比例定理的应用条件。解题时首先回忆该定理内容：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。接下来找准对应线段：第一条和第二条平行线之间，左侧截线截得的线段长为3，右侧截线截得的线段长为4；第二条和第三条平行线之间，左侧截线截得的线段长为x，右侧截线截得的线段长为7，两组对应线段的比值相等，据此列比例式即可求解x。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{3}{4}=\frac{x}{7}$
交叉相乘得：$4x = 3×7=21$
解得：$x=\frac{21}{4}$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例、解比例方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是准确判断对应线段的比例关系，避免因对应线段混淆导致出错，掌握定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.7

3. 如图，直线 $ l_1 // l_2 // l_3 // l_4 $，则下列结论正确的有（）。
① $ \frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF} $；② $ \frac{AE}{EG} = \frac{BF}{FH} $；③ $ \frac{AC}{AG} = \frac{BD}{BH} $；
④ $ \frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} $；⑤ $ \frac{AE}{BF} = \frac{AG}{BH} $。

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

（第3题） （第4题）

3.D

【分析】
本题可依据平行线分线段成比例定理求解，该定理指出：一组平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例。我们将图中左右两条斜线看作被平行线$l_1,l_2,l_3,l_4$所截的两条直线，先确定各线段的对应关系，再结合比例的基本性质逐一判断5个结论是否成立即可。
【解析】
已知$l_1 // l_2 // l_3 // l_4$，根据平行线分线段成比例定理，左右两条斜线被平行线截得的对应线段成比例：
1. 线段$AC$对应$BD$，$CE$对应$DF$，因此$\frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF}$，结论①正确；
2. 线段$AE$对应$BF$，$EG$对应$FH$，因此$\frac{AE}{EG} = \frac{BF}{FH}$，结论②正确；
3. 线段$AC$对应$BD$，$AG$对应$BH$，因此$\frac{AC}{AG} = \frac{BD}{BH}$，结论③正确；
4. 由$\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{DF}$，根据等比性质可得$\frac{AC}{BD}=\frac{AC+CE}{BD+DF}=\frac{AE}{BF}$，即$\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD}$，结论④正确；
5. 同理，由等比性质可得$\frac{AC}{BD}=\frac{AC+CE+EG}{BD+DF+FH}=\frac{AG}{BH}$，结合④的结论可得$\frac{AE}{BF} = \frac{AG}{BH}$，结论⑤正确。
综上，5个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的性质
【点评】
本题重点考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的核心是找准平行线截得的对应线段，结合比例的基本性质做变形即可判断，是对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.7

4.如图，$AB// CD$，$AD$，$CB$相交于点$O$，且$OB=\frac{1}{2}CO$，$AD=12$，则$OA=$。

4.4

【分析】
解题时首先观察已知条件：AB//CD，AD与BC交于点O，首先根据平行线的性质可得两组内错角相等，结合对顶角相等，可判定△AOB与△DOC相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知OB=1/2 CO，可得OA与OD的比值；最后结合AD=OA+OD=12，即可求出OA的长度。
【解析】
∵ AB//CD，
∴ ∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴ △AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{CO}$，
∵ $OB=\frac{1}{2}CO$，即$\frac{OB}{CO}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{OA}{OD}=\frac{1}{2}$，即 $OD=2OA$，
又
∵ $AD=OA+OD=12$，
∴ $OA+2OA=12$，
解得 $OA=4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题核心是通过平行线得到角相等，进而判定三角形相似，再利用相似的性质得到线段比例关系，结合线段和差求解，是相似部分的常考题型。
【难度系数】
0.8

5. 如图，$DE // AF // BC$，且$AD=2\ \mathrm{cm}$，$AB=6\ \mathrm{cm}$。
(1)求$\frac{AD}{BD}$的值；
(2)若$FD=1.5\ \mathrm{cm}$，$AE=1.2\ \mathrm{cm}$，分别求出$DC$和$EC$的值。

5.解:(1)$\because AD=2\ \mathrm{cm},AB=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AD}{AB-AD}=\frac{2}{6-2}=\frac{1}{2}$。
(2)$\because DE// AF// BC$,
$\therefore \frac{FD}{DC}=\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$。
$\because FD=1.5\ \mathrm{cm},AE=1.2\ \mathrm{cm}$,
$\therefore DC=2FD=3\ \mathrm{cm},EC=2AE=2.4\ \mathrm{cm}$。

【分析】
(1) 要求$\frac{AD}{BD}$的值，已知$AD$和$AB$的长度，先根据线段和差关系得到$BD=AB-AD$，求出$BD$的长度后代入比值计算即可。
(2) 已知$DE// AF// BC$，可依据平行线分线段成比例定理，得到对应线段的比值相等，即$\frac{FD}{DC}=\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BD}$，再结合第一问求出的比值和已知的$FD$、$AE$长度，即可分别求出$DC$和$EC$的长度。
【解析】
(1) $\because AD=2\ \mathrm{cm},AB=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BD=AB-AD=6-2=4\ \mathrm{cm}$,
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) $\because DE// AF// BC$,
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{FD}{DC}=\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$。
$\because FD=1.5\ \mathrm{cm},AE=1.2\ \mathrm{cm}$,
$\therefore DC=2FD=2×1.5=3\ \mathrm{cm}$，$EC=2AE=2×1.2=2.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $DC=3\ \mathrm{cm}$，$EC=2.4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段和差计算，平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握平行线分线段成比例定理，找准成比例的对应线段，同时可以利用前一问的结论简化后续计算，避免重复运算。
【难度系数】
0.8