9.如图,在$△ OEF$中,OE的长为2,过点E作$EF ⊥ OE$,且$EF=\frac{1}{2}OE$,连接OF;以点F为圆心,EF的长为半径作弧,交OF于点H;再以点O为圆心,OH的长为半径作弧,交OE于点P。
(1)由上述作图可知,图中相等的线段是;
(2)求OP的长;
(3)求证:P是线段OE的黄金分割点。

9.(1)$EF=FH,OH=OP$
(2)解:$\because EF⊥ OE$,
$\therefore ∠ OEF=90°$。
$\because OE=2$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}OE=1$。
由勾股定理,得 $OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
$\because FH=EF=1$,
$\therefore OP=OH=OF-FH=\sqrt{5}-1$。
$\therefore OP=\sqrt{5}-1$。
(3)证明:$\because OP=\sqrt{5}-1$,
$\therefore OP^2=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$。
$\because PE=OE-OP=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$,
$\therefore OE· PE=2×(3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$。
$\therefore OP^2=OE· PE$,
即 $PE:OP=OP:OE$。
$\therefore P$ 是线段 $OE$ 的黄金分割点。

【分析】
(1) 第一问根据作图特征：同圆的半径相等，以F为圆心的弧对应半径EF、FH相等，以O为圆心的弧对应半径OH、OP相等，直接可得相等线段；
(2) 第二问先根据已知求出EF的长度，再在直角三角形OEF中用勾股定理算出OF的长度，结合FH=EF，用OF减去FH得到OH的长度，最后由OP=OH求出OP的长；
(3) 第三问依据黄金分割点的判定规则：若线段上一点分得的较长线段的平方等于整条线段与较短线段的乘积，则该点为线段的黄金分割点，分别计算$OP^2$和$OE·PE$，验证二者相等即可完成证明。
【解析】
(1) 由作图可知：以F为圆心、EF为半径作弧交OF于H，故EF=FH；以O为圆心、OH为半径作弧交OE于P，故OH=OP。
(2) 解：$\because EF⊥OE$，$\therefore ∠OEF=90°$。
$\because OE=2$，$\therefore EF=\frac{1}{2}OE=1$。
由勾股定理，得 $OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
$\because FH=EF=1$，
$\therefore OP=OH=OF-FH=\sqrt{5}-1$。
(3) 证明：$\because OP=\sqrt{5}-1$，
$\therefore OP^2=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$。
$\because PE=OE-OP=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$，
$\therefore OE· PE=2×(3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$。
$\therefore OP^2=OE· PE$，
即 $PE:OP=OP:OE$。
$\therefore P$ 是线段 $OE$ 的黄金分割点。
【答案】
(1)$EF=FH,OH=OP$
(2)$OP=\sqrt{5}-1$
(3)P是线段OE的黄金分割点，证明如上。
【知识点】
同圆半径相等，勾股定理，黄金分割判定
【点评】
本题是结合尺规作图、线段计算、概念判定的基础综合题，解题核心是准确理解作图的几何含义、掌握勾股定理的应用和黄金分割的判定条件，能够有效巩固基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.7

10. 在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,AE,BF 相交于点 G,连接 CG 并延长,交 AB 于点 M。
(1)如图①,若 AB=BC,BE=CF。
①AE 与 BF 的关系为 ;
②若 M 是边 AB 的中点,求证:E 是 BC 的一个黄金分割点。
(2)如图②,若 E 是边 BC 的中点,BF⊥AE,G 是线段 CM 上的一个黄金分割点,且 CG＞GM,求$\frac{AM}{BM}$的值。

(第 10 题)

10.(1)①$AE=BF,AE⊥ BF$
②证明: $\because ∠ AGB=90°, M$ 为 $AB$ 的中点,
$\therefore AM=BM=MG$。
$\therefore ∠ MBG=∠ MGB=∠ FGC$。
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ CFB=∠ ABG$。
$\therefore ∠ CFB=∠ CGF$。
$\therefore CG=CF=BE$。
$\because ∠ CGE=∠ AGM,∠ AGM+∠ MGB=90°$,
$\therefore ∠ MGB+∠ CGE=90°$。
$\because ∠ ABG+∠ CBF=90°$,
$\therefore ∠ CGE=∠ CBG$。
$\therefore △ CGE∽△ CBG$。
$\therefore \frac{CG}{CB}=\frac{CE}{CG}$。
$\therefore CG^2=CE· CB$。
$\therefore BE^2=CE· CB$。
$\therefore E$ 是 $BC$ 的一个黄金分割点。
(2)解:如图,过点 $M$ 作 $MN// BC$,交 $AE$ 于点 $N$。

设 $AM=k,MB=1$。
$\because G$ 是线段 $CM$ 的一个黄金分割点,且 $CG＞GM$,
$\therefore CG^2=CM· GM$。
$\therefore \frac{CG}{CM}=\frac{GM}{CG}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\because MN// BE$,
$\therefore \frac{MN}{BE}=\frac{AM}{AB},\frac{MN}{CE}=\frac{GM}{CG}$。
$\because E$ 是边 $BC$ 的中点,
$\therefore BE=CE$。
$\therefore \frac{AM}{AB}=\frac{GM}{CG}$, 即 $\frac{k}{k+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\therefore k=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。 $\therefore \frac{AM}{BM}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。

【分析】
(1)①由AB=BC可知矩形ABCD是正方形，结合已知BE=CF，可通过SAS证明△ABE≌△BCF，得到AE=BF，再通过角的互余关系推导可得AE⊥BF；
②要证E是BC的黄金分割点，需证$BE^2=CE· BC$。先由①得AE⊥BF，利用直角三角形斜边中线的性质得$BM=MG$，导角可得$CG=CF=BE$，再证明△CGE∽△CBG，得到$CG^2=CE· CB$，代换为BE的关系式即可得证；
(2)求$\frac{AM}{BM}$的值可采用设参数的方法，过M作$MN// BC$交AE于点N，利用平行线分线段成比例得到两个含MN的比例式，结合E是BC中点（$BE=CE$）和黄金分割的比例关系列方程，求解即可得到比值。
【解析】
(1)① 解：
∵四边形ABCD是矩形，且$AB=BC$，
∴四边形ABCD是正方形，
∴$AB=BC$，$∠ ABE=∠ BCF=90°$，
在$△ ABE$和$△ BCF$中，$\begin{cases}AB=BC\\∠ ABE=∠ BCF\\BE=CF\end{cases}$，
∴$△ ABE≌△ BCF(\mathrm{SAS})$，
∴$AE=BF$，$∠ BAE=∠ CBF$，
∵$∠ BAE+∠ AEB=90°$，
∴$∠ CBF+∠ AEB=90°$，
∴$∠ BGE=90°$，即$AE⊥ BF$。
综上，$AE=BF$且$AE⊥ BF$。
② 证明: $\because ∠ AGB=90°$, M 为 $AB$ 的中点,
$\therefore AM=BM=MG$。
$\therefore ∠ MBG=∠ MGB=∠ FGC$。
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ CFB=∠ ABG$。
$\therefore ∠ CFB=∠ CGF$。
$\therefore CG=CF=BE$。
$\because ∠ CGE=∠ AGM,∠ AGM+∠ MGB=90°$,
$\therefore ∠ MGB+∠ CGE=90°$。
$\because ∠ ABG+∠ CBF=90°$,
$\therefore ∠ CGE=∠ CBG$。
又$∠ GCE=∠ BCG$，
$\therefore △ CGE∽△ CBG$。
$\therefore \frac{CG}{CB}=\frac{CE}{CG}$。
$\therefore CG^2=CE· CB$。
$\therefore BE^2=CE· CB$。
$\therefore E$ 是 $BC$ 的一个黄金分割点。
(2)解:如图,过点 $M$ 作 $MN// BC$,交 $AE$ 于点 $N$。

设 $AM=k,MB=1$。
$\because G$ 是线段 $CM$ 的一个黄金分割点,且 $CG＞GM$,
$\therefore CG^2=CM· GM$，即$\frac{CG}{CM}=\frac{GM}{CG}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\because MN// BE$,
$\therefore \frac{MN}{BE}=\frac{AM}{AB}$，
$\because MN// CE$,
$\therefore \frac{MN}{CE}=\frac{GM}{CG}$。
$\because E$ 是边 $BC$ 的中点,
$\therefore BE=CE$。
$\therefore \frac{AM}{AB}=\frac{GM}{CG}$, 即 $\frac{k}{k+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
解得$k=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
$\therefore \frac{AM}{BM}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
【答案】
(1)①$AE=BF,AE⊥ BF$
②证明见上述解析
(2)$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，辅助线如图：
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 黄金分割
【点评】
本题综合了特殊四边形的性质、三角形全等和相似的判定、黄金分割的定义等知识点，解题时需要灵活进行角的等量代换，合理构造辅助线得到比例关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4