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1. 抛物线$y=x^2+bx+c$交$x$轴于点$A(1,0),B(-3,0)$。
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，直线$l$过点$B,C(0,4)$，点$H$为抛物线第四象限上的一点，过点$H$作$HP// y$轴，交直线$l$于点$P$.若$BP=PH$，求点$H$的坐标。
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，直线$l$过点$B,C(0,4)$，点$H$为抛物线第四象限上的一点，过点$H$作$HP// y$轴，交直线$l$于点$P$.若$BP=PH$，求点$H$的坐标。
答案
(1)
∵抛物线$y=x^2+bx+c$交$x$轴于点$A(1,0),B(-3,0)$,
∴抛物线的表达式为$y=(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$.
(2)设直线$l$的表达式为$y=mx+n$,将点$B(-3,0),C(0,4)$代入,得
$\begin{cases}-3m+n=0,\\n=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\dfrac{4}{3},\\n=4,\end{cases}$
∴直线$l$的表达式为$y=\dfrac{4}{3}x+4$.设点
$P(x,\dfrac{4}{3}x+4)(0＜x＜1)$,而$PH// y$轴,
∴点$H(x,x^2+2x-3)$,
∴$PB=$
$\sqrt{(x+3)^2+(\dfrac{4}{3}x+4)^2}=\dfrac{5}{3}x+5$,$PH=\dfrac{4}{3}x+4-x^2-2x+3=-x^2-\dfrac{2}{3}x+$
7.
∵$BP=PH$,
∴$\dfrac{5}{3}x+5=-x^2-\dfrac{2}{3}x+7$,即$x^2+\dfrac{7}{3}x-2=0$,解得$x_1=\dfrac{2}{3}$,
$x_2=-3$(不符合题意,舍去),
∴$y=(\dfrac{2}{3})^2+2×\dfrac{2}{3}-3=-\dfrac{11}{9}$,
∴点
$H(\dfrac{2}{3},-\dfrac{11}{9})$.
∵抛物线$y=x^2+bx+c$交$x$轴于点$A(1,0),B(-3,0)$,
∴抛物线的表达式为$y=(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$.
(2)设直线$l$的表达式为$y=mx+n$,将点$B(-3,0),C(0,4)$代入,得
$\begin{cases}-3m+n=0,\\n=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\dfrac{4}{3},\\n=4,\end{cases}$
∴直线$l$的表达式为$y=\dfrac{4}{3}x+4$.设点
$P(x,\dfrac{4}{3}x+4)(0＜x＜1)$,而$PH// y$轴,
∴点$H(x,x^2+2x-3)$,
∴$PB=$
$\sqrt{(x+3)^2+(\dfrac{4}{3}x+4)^2}=\dfrac{5}{3}x+5$,$PH=\dfrac{4}{3}x+4-x^2-2x+3=-x^2-\dfrac{2}{3}x+$
7.
∵$BP=PH$,
∴$\dfrac{5}{3}x+5=-x^2-\dfrac{2}{3}x+7$,即$x^2+\dfrac{7}{3}x-2=0$,解得$x_1=\dfrac{2}{3}$,
$x_2=-3$(不符合题意,舍去),
∴$y=(\dfrac{2}{3})^2+2×\dfrac{2}{3}-3=-\dfrac{11}{9}$,
∴点
$H(\dfrac{2}{3},-\dfrac{11}{9})$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可直接用交点式写出抛物线表达式，再整理为一般式即可，也可将两点代入一般式列方程组求解系数。
(2) 首先用待定系数法求出直线l的表达式；由于HP平行于y轴，因此P、H横坐标相同，可设横坐标为x，用含x的代数式分别表示两点坐标；再结合两点间距离公式求BP长度，利用竖直线段长度等于上下点纵坐标之差求PH长度；根据BP=PH的等量关系列一元二次方程，求解后结合H在第四象限的位置对解进行取舍，最终得到H的坐标。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=x^2+bx+c$交$x$轴于点$A(1,0),B(-3,0)$，
∴抛物线的表达式为$y=(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$。
(2) 设直线$l$的表达式为$y=mx+n$，将点$B(-3,0),C(0,4)$代入，得
$\begin{cases}-3m+n=0\\n=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\dfrac{4}{3}\\n=4\end{cases}$
∴直线$l$的表达式为$y=\dfrac{4}{3}x+4$。
设点$P(x,\dfrac{4}{3}x+4)(0＜x＜1)$，
∵$HP// y$轴，
∴点$H(x,x^2+2x-3)$，
∴$PB=\sqrt{(x+3)^2+(\dfrac{4}{3}x+4)^2}=\dfrac{5}{3}x+5$，
$PH=\dfrac{4}{3}x+4-(x^2+2x-3)=-x^2-\dfrac{2}{3}x+7$。
∵$BP=PH$，
∴$\dfrac{5}{3}x+5=-x^2-\dfrac{2}{3}x+7$，即$3x^2+7x-6=0$，
解得$x_1=\dfrac{2}{3}$，$x_2=-3$（不符合题意，舍去），
∴$y=(\dfrac{2}{3})^2+2×\dfrac{2}{3}-3=-\dfrac{11}{9}$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-3$
(2) $H(\dfrac{2}{3},-\dfrac{11}{9})$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数图象性质
3. 线段等量关系应用
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的常规题型，核心考查函数解析式求解、坐标与线段长度的转化、一元二次方程的求解，解题时需注意结合点所在位置对解进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可直接用交点式写出抛物线表达式，再整理为一般式即可，也可将两点代入一般式列方程组求解系数。
(2) 首先用待定系数法求出直线l的表达式；由于HP平行于y轴，因此P、H横坐标相同，可设横坐标为x，用含x的代数式分别表示两点坐标；再结合两点间距离公式求BP长度，利用竖直线段长度等于上下点纵坐标之差求PH长度；根据BP=PH的等量关系列一元二次方程，求解后结合H在第四象限的位置对解进行取舍，最终得到H的坐标。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=x^2+bx+c$交$x$轴于点$A(1,0),B(-3,0)$，
∴抛物线的表达式为$y=(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$。
(2) 设直线$l$的表达式为$y=mx+n$，将点$B(-3,0),C(0,4)$代入，得
$\begin{cases}-3m+n=0\\n=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\dfrac{4}{3}\\n=4\end{cases}$
∴直线$l$的表达式为$y=\dfrac{4}{3}x+4$。
设点$P(x,\dfrac{4}{3}x+4)(0＜x＜1)$，
∵$HP// y$轴，
∴点$H(x,x^2+2x-3)$，
∴$PB=\sqrt{(x+3)^2+(\dfrac{4}{3}x+4)^2}=\dfrac{5}{3}x+5$，
$PH=\dfrac{4}{3}x+4-(x^2+2x-3)=-x^2-\dfrac{2}{3}x+7$。
∵$BP=PH$，
∴$\dfrac{5}{3}x+5=-x^2-\dfrac{2}{3}x+7$，即$3x^2+7x-6=0$，
解得$x_1=\dfrac{2}{3}$，$x_2=-3$（不符合题意，舍去），
∴$y=(\dfrac{2}{3})^2+2×\dfrac{2}{3}-3=-\dfrac{11}{9}$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-3$
(2) $H(\dfrac{2}{3},-\dfrac{11}{9})$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数图象性质
3. 线段等量关系应用
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的常规题型，核心考查函数解析式求解、坐标与线段长度的转化、一元二次方程的求解，解题时需注意结合点所在位置对解进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
2. ★★(2026·重庆月考)如图,抛物线$y=ax^2+\frac{2}{3}x+c$过A,B(6,0),C(0,8)三点,点P是抛物线第一象限上的动点.
(1)试求抛物线的表达式;
(2)如图,当P在抛物线对称轴右侧时,过点P作$PN// y$轴并交BC于点N,作$PM// x$轴并交抛物线的对称轴于点M,若$PM=\frac{2}{3}PN$,求点P的坐标.
＞＞进一步挑战进阶专题:P26 专题24
(1)试求抛物线的表达式;
(2)如图,当P在抛物线对称轴右侧时,过点P作$PN// y$轴并交BC于点N,作$PM// x$轴并交抛物线的对称轴于点M,若$PM=\frac{2}{3}PN$,求点P的坐标.
＞＞进一步挑战进阶专题:P26 专题24
答案
(1)
∵抛物线$y=ax^2+\dfrac{2}{3}x+c$过点$B(6,0),C(0,8)$,
∴$\begin{cases}36a+\dfrac{2}{3}×6+c=0,\\c=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{3},\\c=8,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2+$
$\dfrac{2}{3}x+8$.
(2)
∵$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+8=-\dfrac{1}{3}(x-1)^2+\dfrac{25}{3}$,
∴抛物线的对称轴为直
线$x=1$.设直线$BC:y=kx+b(k≠0)$,
∵$B(6,0),C(0,8)$在$y=kx+$
$b(k≠0)$上,
∴$\begin{cases}b=8,\\6k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=8,\\k=-\dfrac{4}{3},\end{cases}$
∴直线$BC$的表达式为$y=$
$-\dfrac{4}{3}x+8$.由点P是第一象限内抛物线$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+8$上的动点,
且在抛物线对称轴的右侧,设点P的横坐标是m,且$1＜m＜6$,则
$P(m,-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8)$.
∵$PN// y$轴,$PM// x$轴,抛物线的对称轴为
直线$x=1$,直线$BC$为$y=-\dfrac{4}{3}x+8$,
∴$M(1,-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8)$,
$N(m,-\dfrac{4}{3}m+8)$,
∴$PN=-\dfrac{1}{3}m^2+2m$,$PM=m-1$,
∵$PM=\dfrac{2}{3}PN$,
∴$m-1=\dfrac{2}{3}(-\dfrac{1}{3}m^2+2m)$,当$1＜m＜6$时,解得$m_1=3$,$m_2=-\dfrac{3}{2}$(舍
去),当$m=3$时,$-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8=7$,
∴$P(3,7)$.
∵抛物线$y=ax^2+\dfrac{2}{3}x+c$过点$B(6,0),C(0,8)$,
∴$\begin{cases}36a+\dfrac{2}{3}×6+c=0,\\c=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{3},\\c=8,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2+$
$\dfrac{2}{3}x+8$.
(2)
∵$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+8=-\dfrac{1}{3}(x-1)^2+\dfrac{25}{3}$,
∴抛物线的对称轴为直
线$x=1$.设直线$BC:y=kx+b(k≠0)$,
∵$B(6,0),C(0,8)$在$y=kx+$
$b(k≠0)$上,
∴$\begin{cases}b=8,\\6k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=8,\\k=-\dfrac{4}{3},\end{cases}$
∴直线$BC$的表达式为$y=$
$-\dfrac{4}{3}x+8$.由点P是第一象限内抛物线$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+8$上的动点,
且在抛物线对称轴的右侧,设点P的横坐标是m,且$1＜m＜6$,则
$P(m,-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8)$.
∵$PN// y$轴,$PM// x$轴,抛物线的对称轴为
直线$x=1$,直线$BC$为$y=-\dfrac{4}{3}x+8$,
∴$M(1,-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8)$,
$N(m,-\dfrac{4}{3}m+8)$,
∴$PN=-\dfrac{1}{3}m^2+2m$,$PM=m-1$,
∵$PM=\dfrac{2}{3}PN$,
∴$m-1=\dfrac{2}{3}(-\dfrac{1}{3}m^2+2m)$,当$1＜m＜6$时,解得$m_1=3$,$m_2=-\dfrac{3}{2}$(舍
去),当$m=3$时,$-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8=7$,
∴$P(3,7)$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线过B(6,0)、C(0,8)两点，解析式仅含a、c两个未知参数，因此将两点坐标代入解析式，建立关于a、c的二元一次方程组，求解即可得到参数值，确定抛物线表达式。
(2) 先将抛物线解析式化为顶点式得到对称轴，再用待定系数法求出直线BC的解析式；设点P的横坐标为m，结合P的位置确定m的取值范围，用含m的代数式表示P的坐标；根据PM//x轴、PN//y轴的性质，分别写出M、N的坐标，进而表示出PM、PN的长度；最后根据PM=2/3 PN的等量关系列方程，取符合取值范围的解即可得到P的坐标。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=ax^2+\dfrac{2}{3}x+c$过点$B(6,0),C(0,8)$，
∴代入得$\begin{cases}36a+\dfrac{2}{3}×6+c=0,\\c=8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{3},\\c=8,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+8$。
(2) 将抛物线解析式配方得：
$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+8=-\dfrac{1}{3}(x-1)^2+\dfrac{25}{3}$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(6,0),C(0,8)$代入得：
$\begin{cases}b=8,\\6k+b=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=8,\\k=-\dfrac{4}{3},\end{cases}$
∴直线$BC$的表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x+8$。
设点P的横坐标为$m$，
∵P在第一象限且在对称轴右侧，
∴$1＜m＜6$，则$P(m,-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8)$。
∵$PN// y$轴，$PM// x$轴，对称轴为直线$x=1$，
∴$M(1,-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8)$，$N(m,-\dfrac{4}{3}m+8)$，
∴$PM=m-1$，$PN=(-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8)-(-\dfrac{4}{3}m+8)=-\dfrac{1}{3}m^2+2m$。
根据$PM=\dfrac{2}{3}PN$，列方程得：
$m-1=\dfrac{2}{3}(-\dfrac{1}{3}m^2+2m)$，
整理得$2m^2-3m-9=0$，
解得$m_1=3$，$m_2=-\dfrac{3}{2}$，
∵$1＜m＜6$，
∴$m=-\dfrac{3}{2}$舍去，
将$m=3$代入P的纵坐标得：$-\dfrac{1}{3}×3^2+\dfrac{2}{3}×3+8=7$，
∴$P(3,7)$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+8$
(2) $P(3,7)$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的性质
3. 坐标与线段长度转化
【点评】
本题是二次函数的常规综合题，考查了函数解析式的求解、坐标与平行于坐标轴线段的长度转化、方程思想的应用，是二次函数线段类问题的典型考法，掌握坐标与线段的转化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线过B(6,0)、C(0,8)两点，解析式仅含a、c两个未知参数，因此将两点坐标代入解析式，建立关于a、c的二元一次方程组，求解即可得到参数值，确定抛物线表达式。
(2) 先将抛物线解析式化为顶点式得到对称轴，再用待定系数法求出直线BC的解析式；设点P的横坐标为m，结合P的位置确定m的取值范围，用含m的代数式表示P的坐标；根据PM//x轴、PN//y轴的性质，分别写出M、N的坐标，进而表示出PM、PN的长度；最后根据PM=2/3 PN的等量关系列方程，取符合取值范围的解即可得到P的坐标。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=ax^2+\dfrac{2}{3}x+c$过点$B(6,0),C(0,8)$，
∴代入得$\begin{cases}36a+\dfrac{2}{3}×6+c=0,\\c=8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{3},\\c=8,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+8$。
(2) 将抛物线解析式配方得：
$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+8=-\dfrac{1}{3}(x-1)^2+\dfrac{25}{3}$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(6,0),C(0,8)$代入得：
$\begin{cases}b=8,\\6k+b=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=8,\\k=-\dfrac{4}{3},\end{cases}$
∴直线$BC$的表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x+8$。
设点P的横坐标为$m$，
∵P在第一象限且在对称轴右侧，
∴$1＜m＜6$，则$P(m,-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8)$。
∵$PN// y$轴，$PM// x$轴，对称轴为直线$x=1$，
∴$M(1,-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8)$，$N(m,-\dfrac{4}{3}m+8)$，
∴$PM=m-1$，$PN=(-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8)-(-\dfrac{4}{3}m+8)=-\dfrac{1}{3}m^2+2m$。
根据$PM=\dfrac{2}{3}PN$，列方程得：
$m-1=\dfrac{2}{3}(-\dfrac{1}{3}m^2+2m)$，
整理得$2m^2-3m-9=0$，
解得$m_1=3$，$m_2=-\dfrac{3}{2}$，
∵$1＜m＜6$，
∴$m=-\dfrac{3}{2}$舍去，
将$m=3$代入P的纵坐标得：$-\dfrac{1}{3}×3^2+\dfrac{2}{3}×3+8=7$，
∴$P(3,7)$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+8$
(2) $P(3,7)$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的性质
3. 坐标与线段长度转化
【点评】
本题是二次函数的常规综合题，考查了函数解析式的求解、坐标与平行于坐标轴线段的长度转化、方程思想的应用，是二次函数线段类问题的典型考法，掌握坐标与线段的转化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
