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1. （2025·盐城月考）如图，二次函数的图象与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点，交y轴于点C(0,3)，连结AC.
(1)求二次函数表达式；
(2)如图，点P为抛物线第二象限上一个动点，过点P作y轴的平行线交AC于点D，求线段PD的最大值.
(1)求二次函数表达式；
(2)如图，点P为抛物线第二象限上一个动点，过点P作y轴的平行线交AC于点D，求线段PD的最大值.
答案
(1)
∵ 二次函数的图象与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点，
∴ 设二次函数的表达式为y=a(x+3)(x-1)(a≠0)，将点C(0,3)代入二次函数表达式可得a(0+3)×(0-1)=3，解得a=-1，
∴ 二次函数表达式为y=-1×(x+3)(x-1)=-x²-2x+3。
(2)设直线AC的表达式为y=kx+b(k≠0)，将点A(-3,0),C(0,3)代入表达式可得$\begin{cases}-3k+b=0,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=3,\end{cases}$
∴ 直线AC的表达式为y=x+3，设点P(m,-m²-2m+3)，则点D(m,m+3)，
∴ PD=-m²-2m+3-(m+3)=-m²-3m=$-(m+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$。
∵ -1＜0，
∴ 当m=-$\dfrac{3}{2}$时，PD有最大值为$\dfrac{9}{4}$。
∵ 二次函数的图象与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点，
∴ 设二次函数的表达式为y=a(x+3)(x-1)(a≠0)，将点C(0,3)代入二次函数表达式可得a(0+3)×(0-1)=3，解得a=-1，
∴ 二次函数表达式为y=-1×(x+3)(x-1)=-x²-2x+3。
(2)设直线AC的表达式为y=kx+b(k≠0)，将点A(-3,0),C(0,3)代入表达式可得$\begin{cases}-3k+b=0,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=3,\end{cases}$
∴ 直线AC的表达式为y=x+3，设点P(m,-m²-2m+3)，则点D(m,m+3)，
∴ PD=-m²-2m+3-(m+3)=-m²-3m=$-(m+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$。
∵ -1＜0，
∴ 当m=-$\dfrac{3}{2}$时，PD有最大值为$\dfrac{9}{4}$。
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象与x轴交于A、B两个交点，因此优先选择交点式设函数解析式，再代入y轴交点C的坐标求出参数a，整理即可得到二次函数的表达式。
(2) 先利用待定系数法求出直线AC的解析式，由于PD平行于y轴，P、D两点横坐标相同，设P点横坐标为m，可分别表示出P、D两点的纵坐标，用P点纵坐标减去D点纵坐标即可得到PD长度关于m的二次函数，再根据二次函数的性质求最大值即可，经验证二次函数顶点横坐标在P点的取值范围内，顶点的函数值即为PD的最大值。
【解析】
(1)
∵ 二次函数的图象与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点，
∴ 设二次函数的表达式为$y=a(x+3)(x-1)(a≠0)$，
将点C(0,3)代入表达式得：$a(0+3)×(0-1)=3$，
解得$a=-1$，
∴ 二次函数表达式为$y=-(x+3)(x-1)=-x^2-2x+3$。
(2) 设直线AC的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点A(-3,0)、C(0,3)代入表达式得：
$\begin{cases}-3k+b=0\\b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=3\end{cases}$，
∴ 直线AC的表达式为$y=x+3$，
设点P的坐标为$(m,-m^2-2m+3)$，
∵ PD平行于y轴且交AC于点D，
∴ 点D的坐标为$(m,m+3)$，
∴ $PD=(-m^2-2m+3)-(m+3)=-m^2-3m=-(m+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$，
∵ $-1＜0$，且$-3＜-\dfrac{3}{2}＜0$，符合P在第二象限的取值范围，
∴ 当$m=-\dfrac{3}{2}$时，PD取得最大值，最大值为$\dfrac{9}{4}$。
【答案】
(1) $y=-x^2-2x+3$；(2) $\dfrac{9}{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，线段的坐标表示
【点评】
本题是二次函数与线段最值结合的典型基础题，解题时合理选择解析式的形式可简化计算，将竖直线段长度转化为两点纵坐标差、进而转化为二次函数最值问题是这类题的通用解法，掌握该方法可快速解决同类型的线段最值问题。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数图象与x轴交于A、B两个交点，因此优先选择交点式设函数解析式，再代入y轴交点C的坐标求出参数a，整理即可得到二次函数的表达式。
(2) 先利用待定系数法求出直线AC的解析式，由于PD平行于y轴，P、D两点横坐标相同，设P点横坐标为m，可分别表示出P、D两点的纵坐标，用P点纵坐标减去D点纵坐标即可得到PD长度关于m的二次函数，再根据二次函数的性质求最大值即可，经验证二次函数顶点横坐标在P点的取值范围内，顶点的函数值即为PD的最大值。
【解析】
(1)
∵ 二次函数的图象与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点，
∴ 设二次函数的表达式为$y=a(x+3)(x-1)(a≠0)$，
将点C(0,3)代入表达式得：$a(0+3)×(0-1)=3$，
解得$a=-1$，
∴ 二次函数表达式为$y=-(x+3)(x-1)=-x^2-2x+3$。
(2) 设直线AC的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点A(-3,0)、C(0,3)代入表达式得：
$\begin{cases}-3k+b=0\\b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=3\end{cases}$，
∴ 直线AC的表达式为$y=x+3$，
设点P的坐标为$(m,-m^2-2m+3)$，
∵ PD平行于y轴且交AC于点D，
∴ 点D的坐标为$(m,m+3)$，
∴ $PD=(-m^2-2m+3)-(m+3)=-m^2-3m=-(m+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$，
∵ $-1＜0$，且$-3＜-\dfrac{3}{2}＜0$，符合P在第二象限的取值范围，
∴ 当$m=-\dfrac{3}{2}$时，PD取得最大值，最大值为$\dfrac{9}{4}$。
【答案】
(1) $y=-x^2-2x+3$；(2) $\dfrac{9}{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，线段的坐标表示
【点评】
本题是二次函数与线段最值结合的典型基础题，解题时合理选择解析式的形式可简化计算，将竖直线段长度转化为两点纵坐标差、进而转化为二次函数最值问题是这类题的通用解法，掌握该方法可快速解决同类型的线段最值问题。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=-x^2+2x+3$的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点P在线段BC上.
(1)求出点A,B,C的坐标;
(2)求$PA+PO$的最小值.
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P30 专题28
(1)求出点A,B,C的坐标;
(2)求$PA+PO$的最小值.
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P30 专题28
答案
(1)在y=-x²+2x+3中，当x=0时，y=3，
∴ C(0,3)，当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴ B(3,0)，A(-1,0)。
(2)由(1)知OC=3，OB=3，OA=1。过点B,C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连结PT，
，∴ CT⊥OC，BT⊥OB，
∵ OB⊥OC，OB=OC=3，
∴ 四边形OBTC是正方形，且T(3,3)，
∴ 点O与点T关于直线BC对称，
∴ PO=PT，
∴ PA+PO=PA+PT，
∴ 当A,P,T三点共线时PA+PT最小，即PA+PO最小，最小值为AT的长，
∵ A(-1,0),T(3,3)，
∴ AT=$\sqrt{(3+1)^2+(3-0)^2}$=5，
∴ PA+PO的最小值是5。
解析
【分析】
(1) 求二次函数与坐标轴的交点坐标：求与y轴交点时，令x=0代入解析式计算对应的y值，即可得到点C的坐标；求与x轴交点时，令y=0，解所得的一元二次方程，得到的两个根对应A、B两点的横坐标，结合图象位置即可确定A、B的坐标。
(2) 求PA+PO的最小值属于将军饮马类最短路径问题，解题核心是利用轴对称将两条共端点的线段转化为连接两个定点的折线，再根据“两点之间线段最短”，当三点共线时线段和最小。观察可得BC是正方形的对角线，点O关于直线BC的对称点为T，因此PO=PT，PA+PO可转化为PA+PT，当A、P、T三点共线时和最小，最后用两点间距离公式计算AT的长度即可得到最小值。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=-x^2+2x+3$：
令$x=0$，代入得$y=3$，故点$C$的坐标为$(0,3)$；
令$y=0$，代入得$-x^2+2x+3=0$，因式分解得$-(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，结合图象可知点$A$在x轴负半轴，点$B$在x轴正半轴，故$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
(2) 由(1)得$OC=3$，$OB=3$。过点B作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两线交于点T，连接PT，。
可得$CT⊥ OC$，$BT⊥ OB$，又$∠ COB=90°$，且$OB=OC=3$，因此四边形$OBTC$是正方形，$T$点坐标为$(3,3)$。
因为正方形的对角线$BC$是其对称轴，所以点$O$与点$T$关于直线$BC$对称，因此对线段$BC$上任意一点$P$，都有$PO=PT$。
则$PA+PO=PA+PT$，根据两点之间线段最短，当$A$、$P$、$T$三点共线时，$PA+PT$取得最小值，即$PA+PO$取得最小值，最小值为线段$AT$的长度。
已知$A(-1,0)$，$T(3,3)$，由两点间距离公式：
$AT=\sqrt{(3-(-1))^2+(3-0)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
(1) $A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$；
(2) $PA+PO$的最小值是$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
二次函数交点求法，轴对称性质，最短路径问题
【点评】
本题第一问是二次函数的基础考点，难度较低；第二问结合轴对称性质考查最短路径模型，需要学生灵活运用转化思想，将线段和转化为两点间的距离求解，对学生的几何分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求二次函数与坐标轴的交点坐标：求与y轴交点时，令x=0代入解析式计算对应的y值，即可得到点C的坐标；求与x轴交点时，令y=0，解所得的一元二次方程，得到的两个根对应A、B两点的横坐标，结合图象位置即可确定A、B的坐标。
(2) 求PA+PO的最小值属于将军饮马类最短路径问题，解题核心是利用轴对称将两条共端点的线段转化为连接两个定点的折线，再根据“两点之间线段最短”，当三点共线时线段和最小。观察可得BC是正方形的对角线，点O关于直线BC的对称点为T，因此PO=PT，PA+PO可转化为PA+PT，当A、P、T三点共线时和最小，最后用两点间距离公式计算AT的长度即可得到最小值。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=-x^2+2x+3$：
令$x=0$，代入得$y=3$，故点$C$的坐标为$(0,3)$；
令$y=0$，代入得$-x^2+2x+3=0$，因式分解得$-(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，结合图象可知点$A$在x轴负半轴，点$B$在x轴正半轴，故$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
(2) 由(1)得$OC=3$，$OB=3$。过点B作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两线交于点T，连接PT，
。可得$CT⊥ OC$，$BT⊥ OB$，又$∠ COB=90°$，且$OB=OC=3$，因此四边形$OBTC$是正方形，$T$点坐标为$(3,3)$。
因为正方形的对角线$BC$是其对称轴，所以点$O$与点$T$关于直线$BC$对称，因此对线段$BC$上任意一点$P$，都有$PO=PT$。
则$PA+PO=PA+PT$，根据两点之间线段最短，当$A$、$P$、$T$三点共线时，$PA+PT$取得最小值，即$PA+PO$取得最小值，最小值为线段$AT$的长度。
已知$A(-1,0)$，$T(3,3)$，由两点间距离公式：
$AT=\sqrt{(3-(-1))^2+(3-0)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
(1) $A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$；
(2) $PA+PO$的最小值是$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
二次函数交点求法，轴对称性质，最短路径问题
【点评】
本题第一问是二次函数的基础考点，难度较低；第二问结合轴对称性质考查最短路径模型，需要学生灵活运用转化思想，将线段和转化为两点间的距离求解，对学生的几何分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
