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1. （2025·珠海期中）如图，在平面直角坐标系中，直线$y=x+2$与坐标轴交于$A$，$B$两点，点$A$在$x$轴上，点$B$在$y$轴上，点$C$的坐标为$(1,0)$，抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A$，$B$，$C$.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点$P$是抛物线上一动点，且在直线$AB$上方，过点$P$作$AB$的垂线段，垂足为点$Q$.当$PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，求点$P$的坐标.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点$P$是抛物线上一动点，且在直线$AB$上方，过点$P$作$AB$的垂线段，垂足为点$Q$.当$PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，求点$P$的坐标.
答案
(1)当x=0时,y=0+2=2,当y=0时,x+2=0,解得x=-2,
∴ 点A(-2,0),B(0,2).把点A(-2,0),B(0,2),C(1,0)代入抛物线的表达式,得$\begin{cases}4a-2b+c=0,\\a+b+c=0,\\c=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=-1,\\c=2,\end{cases}$该抛物线的表达式为$y=-x^2-x+2$.
(2)作$PE⊥ x$轴于点E,交AB于点D,
,当点P在直线AB上方时,在$\mathrm{Rt}△ OAB$中,$\because OA=OB=2$,$\therefore ∠ ABO=45°$,
$\therefore ∠ PDQ=∠ ADE=∠ ABO=45°$.在$\mathrm{Rt}△ PDQ$中,$∠ DPQ=∠ PDQ=45°$,
$\therefore PQ=DQ=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore PD=\sqrt{PQ^2+DQ^2}=1$,设点$P(x,-x^2-x+2)$,则点$D(x,x+2)$,$\therefore PD=-x^2-x+2-(x+2)=-x^2-2x$,即$-x^2-2x=1$,解得$x=-1$,$\therefore -x^2-x+2=2$,$\therefore$ 点P的坐标为$(-1,2)$.
解析
【分析】
（1）求解抛物线表达式，需要先获取抛物线上3个已知点的坐标：先根据直线$y=x+2$与坐标轴的交点特征，分别令$x=0$、$y=0$求出点$B$、$A$的坐标，再结合已知的点$C$坐标，将三点代入抛物线一般式，解三元一次方程组即可求得系数$a,b,c$，得到抛物线解析式。
（2）求解点$P$坐标，已知$PQ⊥ AB$且$PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，先由$OA=OB=2$得$△ OAB$是等腰直角三角形，$∠ OAB=45°$；过$P$作$PE⊥ x$轴交$AB$于$D$，可得$△ PDQ$也是等腰直角三角形，由此将斜线段$PQ$的长度转化为竖直线段$PD$的长度，可得$PD=1$；再设点$P$横坐标为$x$，分别表示出$P$和$D$的纵坐标，根据$PD$的长度列方程求解即可得到点$P$坐标。
【解析】
（1）求$A,B$两点坐标：
对于直线$y=x+2$，当$x=0$时，$y=0+2=2$，即$B(0,2)$；当$y=0$时，$x+2=0$，解得$x=-2$，即$A(-2,0)$。
将$A(-2,0)$、$B(0,2)$、$C(1,0)$代入抛物线$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}4a-2b+c=0\\a+b+c=0\\c=2\end{cases}$
将$c=2$代入前两个方程，解得$\begin{cases}a=-1\\b=-1\\c=2\end{cases}$，因此抛物线表达式为$y=-x^2-x+2$。
（2）作$PE⊥ x$轴于点$E$，交$AB$于点$D$，
$\because OA=OB=2$，$∠ AOB=90°$，$\therefore ∠ OAB=45°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ PDQ=45°$，
又$\because PQ⊥ AB$，$\therefore △ PDQ$是等腰直角三角形，
已知$PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$DQ=PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由勾股定理得$PD=\sqrt{PQ^2+DQ^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=1$。
设点$P$的坐标为$(x,-x^2-x+2)$，$\because D$在$AB$上且横坐标与$P$相同，$\therefore D(x,x+2)$，
$\because P$在直线$AB$上方，$\therefore PD=(-x^2-x+2)-(x+2)=-x^2-2x$，
令$-x^2-2x=1$，整理得$x^2+2x+1=0$，解得$x=-1$，
将$x=-1$代入抛物线解析式得$y=-(-1)^2-(-1)+2=2$，即点$P$坐标为$(-1,2)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2-x+2}$；
(2) 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-1,2)}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数动点计算
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的基础综合题，第一问是待定系数法求解析式的基础考法，属于容易得分的内容；第二问通过构造竖直辅助线，将斜线段的长度转化为竖直线段长度求解，简化了运算过程，体现了数形结合思想和转化思想的应用，是二次函数线段类问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）求解抛物线表达式，需要先获取抛物线上3个已知点的坐标：先根据直线$y=x+2$与坐标轴的交点特征，分别令$x=0$、$y=0$求出点$B$、$A$的坐标，再结合已知的点$C$坐标，将三点代入抛物线一般式，解三元一次方程组即可求得系数$a,b,c$，得到抛物线解析式。
（2）求解点$P$坐标，已知$PQ⊥ AB$且$PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，先由$OA=OB=2$得$△ OAB$是等腰直角三角形，$∠ OAB=45°$；过$P$作$PE⊥ x$轴交$AB$于$D$，可得$△ PDQ$也是等腰直角三角形，由此将斜线段$PQ$的长度转化为竖直线段$PD$的长度，可得$PD=1$；再设点$P$横坐标为$x$，分别表示出$P$和$D$的纵坐标，根据$PD$的长度列方程求解即可得到点$P$坐标。
【解析】
（1）求$A,B$两点坐标：
对于直线$y=x+2$，当$x=0$时，$y=0+2=2$，即$B(0,2)$；当$y=0$时，$x+2=0$，解得$x=-2$，即$A(-2,0)$。
将$A(-2,0)$、$B(0,2)$、$C(1,0)$代入抛物线$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}4a-2b+c=0\\a+b+c=0\\c=2\end{cases}$
将$c=2$代入前两个方程，解得$\begin{cases}a=-1\\b=-1\\c=2\end{cases}$，因此抛物线表达式为$y=-x^2-x+2$。
（2）作$PE⊥ x$轴于点$E$，交$AB$于点$D$，
$\because OA=OB=2$，$∠ AOB=90°$，$\therefore ∠ OAB=45°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ PDQ=45°$，
又$\because PQ⊥ AB$，$\therefore △ PDQ$是等腰直角三角形，
已知$PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$DQ=PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由勾股定理得$PD=\sqrt{PQ^2+DQ^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=1$。
设点$P$的坐标为$(x,-x^2-x+2)$，$\because D$在$AB$上且横坐标与$P$相同，$\therefore D(x,x+2)$，
$\because P$在直线$AB$上方，$\therefore PD=(-x^2-x+2)-(x+2)=-x^2-2x$，
令$-x^2-2x=1$，整理得$x^2+2x+1=0$，解得$x=-1$，
将$x=-1$代入抛物线解析式得$y=-(-1)^2-(-1)+2=2$，即点$P$坐标为$(-1,2)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2-x+2}$；
(2) 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-1,2)}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数动点计算
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的基础综合题，第一问是待定系数法求解析式的基础考法，属于容易得分的内容；第二问通过构造竖直辅助线，将斜线段的长度转化为竖直线段长度求解，简化了运算过程，体现了数形结合思想和转化思想的应用，是二次函数线段类问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
2. (2026·孝感月考)如图,抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$ 与x轴交于点A和点$B(4,0)$,与y轴交于点$C(0,4)$,点E在抛物线上.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点E在第一象限内,过点E作$EF// y$轴,交BC于点F,作$EH// x$轴,交抛物线于点H,点H在点E的左侧,以线段$EF$,$EH$为邻边作矩形$EFGH$,当矩形$EFGH$的周长为11时,求线段$EH$的长.
$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P25 专题23,P26 专题24
(1)求抛物线的表达式;
(2)点E在第一象限内,过点E作$EF// y$轴,交BC于点F,作$EH// x$轴,交抛物线于点H,点H在点E的左侧,以线段$EF$,$EH$为邻边作矩形$EFGH$,当矩形$EFGH$的周长为11时,求线段$EH$的长.
$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P25 专题23,P26 专题24
答案
(1)$\because$ 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$经过点$B(4,0)$和$C(0,4)$,$\therefore$ 将点B,C坐标代入,得$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}×4^2+4b+c=0,\\c=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=1,\\c=4,\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+x+4$.
(2)$\because$ 点$B(4,0)$和$C(0,4)$,设直线BC的表达式为$y=kx+4$,则$0=4k+4$,解得$k=-1$,$\therefore$ 直线BC的表达式为$y=-x+4$,设点$E(x,-\frac{1}{2}x^2+x+4)$,且$0＜x＜4$,则点$F(x,-x+4)$,$\therefore GH=EF=-\frac{1}{2}x^2+x+4-(-x+4)=-\frac{1}{2}x^2+2x$.$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{1}{2×(-\dfrac{1}{2})}=1$,
$\therefore$ 点$H(2-x,-\frac{1}{2}x^2+x+4)$,$\therefore GF=EH=x-(2-x)=2x-2$,依题意得$2(-\frac{1}{2}x^2+2x+2x-2)=11$,解得$x=5$(舍去)或$x=3$,$\therefore EH=4$.
(2)$\because$ 点$B(4,0)$和$C(0,4)$,设直线BC的表达式为$y=kx+4$,则$0=4k+4$,解得$k=-1$,$\therefore$ 直线BC的表达式为$y=-x+4$,设点$E(x,-\frac{1}{2}x^2+x+4)$,且$0＜x＜4$,则点$F(x,-x+4)$,$\therefore GH=EF=-\frac{1}{2}x^2+x+4-(-x+4)=-\frac{1}{2}x^2+2x$.$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{1}{2×(-\dfrac{1}{2})}=1$,
$\therefore$ 点$H(2-x,-\frac{1}{2}x^2+x+4)$,$\therefore GF=EH=x-(2-x)=2x-2$,依题意得$2(-\frac{1}{2}x^2+2x+2x-2)=11$,解得$x=5$(舍去)或$x=3$,$\therefore EH=4$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式可采用待定系数法：已知抛物线过B(4,0)、C(0,4)两个定点，将两点坐标代入抛物线一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出未知系数，得到抛物线解析式。
(2) 第一步先求直线BC的解析式，同样用待定系数法代入B、C坐标求解；第二步设点E的横坐标为x（0＜x＜4，符合E在第一象限的要求），结合EF//y轴可得F点横坐标与E相同，代入直线BC解析式得到F点坐标，两点纵坐标差即为EF的长度；第三步根据抛物线对称轴公式求出对称轴，由EH//x轴可知H、E关于对称轴对称，进而得到H点坐标，两点横坐标差即为EH的长度；第四步根据矩形周长公式列方程求解x，舍去不符合取值范围的解后，代入EH的表达式即可得到结果。
【解析】
(1) 将$B(4,0)$、$C(0,4)$代入抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}×4^2+4b+c=0\\c=4\end{cases}$
将$c=4$代入第一个方程，解得$b=1$，因此抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4$。
(2) 设直线BC的解析式为$y=kx+4$，将$B(4,0)$代入得$0=4k+4$，解得$k=-1$，即直线BC的解析式为$y=-x+4$。
设点E的横坐标为$x$（$0＜x＜4$），则$E(x,-\dfrac{1}{2}x^2+x+4)$。
因为$EF// y$轴，F在BC上，所以$F(x,-x+4)$，因此：
$EF=(-\dfrac{1}{2}x^2+x+4)-(-x+4)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x$
抛物线的对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{2})}=1$，因为$EH// x$轴，H、E关于对称轴对称，所以$H(2-x,-\dfrac{1}{2}x^2+x+4)$，因此：
$EH=x-(2-x)=2x-2$
由矩形周长为11得：$2(EF+EH)=11$，代入得：
$2(-\dfrac{1}{2}x^2+2x+2x-2)=11$
化简得$x^2-8x+15=0$，解得$x=3$或$x=5$。
因为$0＜x＜4$，故舍去$x=5$，取$x=3$，则$EH=2×3-2=4$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4$
(2) $4$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的对称性
3. 矩形的性质
【点评】
本题属于二次函数与几何结合的基础综合题，核心考查用坐标表示线段长度的方法以及方程思想的应用，解题时需注意结合自变量的取值范围对解进行筛选，避免出现错解。
【难度系数】
0.65
(1) 求抛物线表达式可采用待定系数法：已知抛物线过B(4,0)、C(0,4)两个定点，将两点坐标代入抛物线一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出未知系数，得到抛物线解析式。
(2) 第一步先求直线BC的解析式，同样用待定系数法代入B、C坐标求解；第二步设点E的横坐标为x（0＜x＜4，符合E在第一象限的要求），结合EF//y轴可得F点横坐标与E相同，代入直线BC解析式得到F点坐标，两点纵坐标差即为EF的长度；第三步根据抛物线对称轴公式求出对称轴，由EH//x轴可知H、E关于对称轴对称，进而得到H点坐标，两点横坐标差即为EH的长度；第四步根据矩形周长公式列方程求解x，舍去不符合取值范围的解后，代入EH的表达式即可得到结果。
【解析】
(1) 将$B(4,0)$、$C(0,4)$代入抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}×4^2+4b+c=0\\c=4\end{cases}$
将$c=4$代入第一个方程，解得$b=1$，因此抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4$。
(2) 设直线BC的解析式为$y=kx+4$，将$B(4,0)$代入得$0=4k+4$，解得$k=-1$，即直线BC的解析式为$y=-x+4$。
设点E的横坐标为$x$（$0＜x＜4$），则$E(x,-\dfrac{1}{2}x^2+x+4)$。
因为$EF// y$轴，F在BC上，所以$F(x,-x+4)$，因此：
$EF=(-\dfrac{1}{2}x^2+x+4)-(-x+4)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x$
抛物线的对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{2})}=1$，因为$EH// x$轴，H、E关于对称轴对称，所以$H(2-x,-\dfrac{1}{2}x^2+x+4)$，因此：
$EH=x-(2-x)=2x-2$
由矩形周长为11得：$2(EF+EH)=11$，代入得：
$2(-\dfrac{1}{2}x^2+2x+2x-2)=11$
化简得$x^2-8x+15=0$，解得$x=3$或$x=5$。
因为$0＜x＜4$，故舍去$x=5$，取$x=3$，则$EH=2×3-2=4$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4$
(2) $4$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的对称性
3. 矩形的性质
【点评】
本题属于二次函数与几何结合的基础综合题，核心考查用坐标表示线段长度的方法以及方程思想的应用，解题时需注意结合自变量的取值范围对解进行筛选，避免出现错解。
【难度系数】
0.65
