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9.山西省文旅启动“跟着悟空游山西”主题活动，山西省各大景区游客接待量实现井喷式增长，某景区某天共接待游客12.66万人次。12.66万用科学记数法表示为
$1.266×10^5$
。答案
$1.266×10^5$
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步先处理计数单位“万”，我们知道1万=10000，所以要先把12.66万换算成没有单位的普通整数。第二步回忆科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，要求满足$1≤|a|＜10$，n为整数。接下来只要把换算后的普通整数的小数点向左移动，直到得到的数在1到10之间，小数点移动的位数就是n的值，移动后得到的数就是a，组合后就是最终结果。
【解析】
解：①先进行单位换算：
因为$1\mathrm{万}=10000$，所以$12.66\mathrm{万}=12.66×10000=126600$。
②按照科学记数法的规则计算：
科学记数法的标准形式为$a×10^n$（$1≤a＜10$，n为正整数）。把126600的小数点向左移动5位，可得到$a=1.266$，满足$1≤1.266＜10$的要求，小数点一共移动了5位，因此$n=5$。
综上，12.66万用科学记数法表示为$1.266×10^5$。
【答案】
$1.266×10^5$
【知识点】
科学记数法；计数单位换算
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用，解题时需要先将带特殊计数单位的数转化为普通数字，再按照科学记数法的规则确定a和n的取值，属于基础题型，熟练掌握科学记数法的定义即可正确作答。
【难度系数】
0.8
解题可分两步思考：第一步先处理计数单位“万”，我们知道1万=10000，所以要先把12.66万换算成没有单位的普通整数。第二步回忆科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，要求满足$1≤|a|＜10$，n为整数。接下来只要把换算后的普通整数的小数点向左移动，直到得到的数在1到10之间，小数点移动的位数就是n的值，移动后得到的数就是a，组合后就是最终结果。
【解析】
解：①先进行单位换算：
因为$1\mathrm{万}=10000$，所以$12.66\mathrm{万}=12.66×10000=126600$。
②按照科学记数法的规则计算：
科学记数法的标准形式为$a×10^n$（$1≤a＜10$，n为正整数）。把126600的小数点向左移动5位，可得到$a=1.266$，满足$1≤1.266＜10$的要求，小数点一共移动了5位，因此$n=5$。
综上，12.66万用科学记数法表示为$1.266×10^5$。
【答案】
$1.266×10^5$
【知识点】
科学记数法；计数单位换算
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用，解题时需要先将带特殊计数单位的数转化为普通数字，再按照科学记数法的规则确定a和n的取值，属于基础题型，熟练掌握科学记数法的定义即可正确作答。
【难度系数】
0.8
10.【数学应用】看过《西游记》的同学一定都知道孙悟空会分身术，他摇身一变，就变成了2个孙悟空；这2个孙悟空摇身一变，又各变成2个，一共有4个孙悟空；这4个孙悟空再变，又变成了8个孙悟空……假设孙悟空一连变了80次，那么一共有
$2^{80}$
个孙悟空。答案
$2^{80}$
解析
【分析】
解题时先从简单的变化次数入手找数量规律：变1次得到2个孙悟空，变2次得到4个，变3次得到8个，观察可得每次变化后孙悟空的总数都是若干个2相乘的结果，变化次数就是相乘的2的个数，而求n个相同因数的乘积的运算就是乘方，因此可以用乘方表示变化n次后的总数量，最后代入n=80即可得到结果。
【解析】
我们先列举前几次变化后的孙悟空数量：
变1次后：共$2 = 2^1$个；
变2次后：共$2×2 = 2^2 = 4$个；
变3次后：共$2×2×2 = 2^3 = 8$个；
……
由此可归纳规律：变$n$次后，孙悟空的总数量是$n$个2相乘，也就是$2^n$个。
当$n=80$时，总数量为$2^{80}$个。
【答案】
$2^{80}$
【知识点】
1. 有理数的乘方 2. 数字规律探究
【点评】
本题结合经典名著情境设置问题，形式新颖有趣，核心考查乘方的定义以及归纳推理能力，需要学生从简单特例中总结出一般规律，再代入对应数值求解，注重对规律探究思维的锻炼。
【难度系数】
0.8
解题时先从简单的变化次数入手找数量规律：变1次得到2个孙悟空，变2次得到4个，变3次得到8个，观察可得每次变化后孙悟空的总数都是若干个2相乘的结果，变化次数就是相乘的2的个数，而求n个相同因数的乘积的运算就是乘方，因此可以用乘方表示变化n次后的总数量，最后代入n=80即可得到结果。
【解析】
我们先列举前几次变化后的孙悟空数量：
变1次后：共$2 = 2^1$个；
变2次后：共$2×2 = 2^2 = 4$个；
变3次后：共$2×2×2 = 2^3 = 8$个；
……
由此可归纳规律：变$n$次后，孙悟空的总数量是$n$个2相乘，也就是$2^n$个。
当$n=80$时，总数量为$2^{80}$个。
【答案】
$2^{80}$
【知识点】
1. 有理数的乘方 2. 数字规律探究
【点评】
本题结合经典名著情境设置问题，形式新颖有趣，核心考查乘方的定义以及归纳推理能力，需要学生从简单特例中总结出一般规律，再代入对应数值求解，注重对规律探究思维的锻炼。
【难度系数】
0.8
11.已知下列等式：
①$1^3=1^2$；②$1^3+2^3=3^2$；③$1^3+2^3+3^3=6^2$；
④$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$；…。由此规律知，第⑤个等式是
①$1^3=1^2$；②$1^3+2^3=3^2$；③$1^3+2^3+3^3=6^2$；
④$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$；…。由此规律知，第⑤个等式是
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
。答案
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
解析
【分析】
解决这类规律探究题，可分别观察等式左右两边与序号的对应关系：①先看左边：第n个等式的左边是从1开始连续n个正整数的立方和，因此第⑤个等式左边需要加到5的立方；②再看右边：所有等式右边都是平方数，观察平方的底数可知，第n个等式右边的底数恰好是左边n个立方项的底数之和，因此第⑤个等式右边的底数为1+2+3+4+5的和，据此就能写出完整的第⑤个等式。
【解析】
步骤1：找左边的规律
观察已知等式：第1个等式左边是1³，第2个是1³+2³，第3个是1³+2³+3³，第4个是1³+2³+3³+4³，可得第n个等式左边为$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3$，因此第⑤个（n=5）等式左边为：$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3$。
步骤2：找右边的规律
已知等式右边都是平方数，对应的底数依次为：
第1个：$1=1$
第2个：$3=1+2$
第3个：$6=1+2+3$
第4个：$10=1+2+3+4$
可得第n个等式右边的底数是前n个正整数的和，因此第⑤个等式右边的底数为：$1+2+3+4+5=15$，即右边为$15^2$。
综上，第⑤个等式为$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$。
【答案】
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
【知识点】
数字规律探究，有理数的乘方
【点评】
本题是典型的数字类规律探究题，解题核心是分别拆解等式左右两部分的变化规律，建立规律和序号的对应关系即可快速求解，重点考查归纳总结的能力。
【难度系数】
0.8
解决这类规律探究题，可分别观察等式左右两边与序号的对应关系：①先看左边：第n个等式的左边是从1开始连续n个正整数的立方和，因此第⑤个等式左边需要加到5的立方；②再看右边：所有等式右边都是平方数，观察平方的底数可知，第n个等式右边的底数恰好是左边n个立方项的底数之和，因此第⑤个等式右边的底数为1+2+3+4+5的和，据此就能写出完整的第⑤个等式。
【解析】
步骤1：找左边的规律
观察已知等式：第1个等式左边是1³，第2个是1³+2³，第3个是1³+2³+3³，第4个是1³+2³+3³+4³，可得第n个等式左边为$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3$，因此第⑤个（n=5）等式左边为：$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3$。
步骤2：找右边的规律
已知等式右边都是平方数，对应的底数依次为：
第1个：$1=1$
第2个：$3=1+2$
第3个：$6=1+2+3$
第4个：$10=1+2+3+4$
可得第n个等式右边的底数是前n个正整数的和，因此第⑤个等式右边的底数为：$1+2+3+4+5=15$，即右边为$15^2$。
综上，第⑤个等式为$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$。
【答案】
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
【知识点】
数字规律探究，有理数的乘方
【点评】
本题是典型的数字类规律探究题，解题核心是分别拆解等式左右两部分的变化规律，建立规律和序号的对应关系即可快速求解，重点考查归纳总结的能力。
【难度系数】
0.8
12.计算：
(1)$-2^2 × (-\dfrac{1}{2})^2 ÷ 0.8^3$；
(2)$(-3)^3 × (-\dfrac{32}{25}) ÷ (-4^2) × (-1)^{25}$；
(3)$4 - (-2)^2 - 3^3 ÷ (-1)^{2027} + 0 × (-2)^3$。
(1)$-2^2 × (-\dfrac{1}{2})^2 ÷ 0.8^3$；
(2)$(-3)^3 × (-\dfrac{32}{25}) ÷ (-4^2) × (-1)^{25}$；
(3)$4 - (-2)^2 - 3^3 ÷ (-1)^{2027} + 0 × (-2)^3$。
答案
解:(1)原式$=-4 × \dfrac{1}{4} ÷ (\dfrac{4}{5})^3 = -1 ÷ \dfrac{64}{125} = -1 × \dfrac{125}{64} = -\dfrac{125}{64}$。
(2)原式$=3^3 × \dfrac{32}{25} ÷ 4^2 × 1 = 27 × \dfrac{32}{25} × \dfrac{1}{16} × 1 = 27 × \dfrac{2}{25} = \dfrac{54}{25}$。
(3)原式$=4-4-27÷(-1)+0=0-27×(-1)+0=27$。
(2)原式$=3^3 × \dfrac{32}{25} ÷ 4^2 × 1 = 27 × \dfrac{32}{25} × \dfrac{1}{16} × 1 = 27 × \dfrac{2}{25} = \dfrac{54}{25}$。
(3)原式$=4-4-27÷(-1)+0=0-27×(-1)+0=27$。
解析
【分析】
这三道题均属于有理数混合运算类题目，解题需严格遵循运算规则：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算按照从左到右的顺序计算；③运算过程中优先确定符号再计算绝对值，可降低出错率。首先要注意区分易混的乘方形式：如$-2^2$是$2^2$的相反数，结果为$-4$，$(-2)^2$是2个$-2$相乘，结果为$4$；$-1$的奇数次幂为$-1$，偶数次幂为$1$。其次乘除运算时可将小数化为分数，方便约分计算；最后利用“0乘任何数都得0”的性质可直接简化相关项的计算。
【解析】
(1) 先计算各部分乘方，再按从左到右顺序计算乘除：
原式$=-4 × \dfrac{1}{4} ÷ (\dfrac{4}{5})^3 = -1 ÷ \dfrac{64}{125} = -1 × \dfrac{125}{64} = -\dfrac{125}{64}$
(2) 先计算各部分乘方，确定整体符号后再计算绝对值：
原式$=(-27) × (-\dfrac{32}{25}) ÷ (-16) × (-1) = 27 × \dfrac{32}{25} × \dfrac{1}{16} × 1 = 27 × \dfrac{2}{25} = \dfrac{54}{25}$
(3) 先计算乘方，再按顺序计算乘除、加减：
原式$=4 - 4 - 27 ÷ (-1) + 0 = 0 - 27×(-1) + 0 = 27$
【答案】
(1)$-\dfrac{125}{64}$；(2)$\dfrac{54}{25}$；(3)$27$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；符号判断法则
【点评】
本题核心考查有理数混合运算的运算顺序与符号处理能力，解题的易错点是混淆带负号的乘方的底数，运算前先确定每部分的符号，再计算绝对值能有效减少错误，合理将小数转化为分数、利用0的运算性质可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于有理数混合运算类题目，解题需严格遵循运算规则：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算按照从左到右的顺序计算；③运算过程中优先确定符号再计算绝对值，可降低出错率。首先要注意区分易混的乘方形式：如$-2^2$是$2^2$的相反数，结果为$-4$，$(-2)^2$是2个$-2$相乘，结果为$4$；$-1$的奇数次幂为$-1$，偶数次幂为$1$。其次乘除运算时可将小数化为分数，方便约分计算；最后利用“0乘任何数都得0”的性质可直接简化相关项的计算。
【解析】
(1) 先计算各部分乘方，再按从左到右顺序计算乘除：
原式$=-4 × \dfrac{1}{4} ÷ (\dfrac{4}{5})^3 = -1 ÷ \dfrac{64}{125} = -1 × \dfrac{125}{64} = -\dfrac{125}{64}$
(2) 先计算各部分乘方，确定整体符号后再计算绝对值：
原式$=(-27) × (-\dfrac{32}{25}) ÷ (-16) × (-1) = 27 × \dfrac{32}{25} × \dfrac{1}{16} × 1 = 27 × \dfrac{2}{25} = \dfrac{54}{25}$
(3) 先计算乘方，再按顺序计算乘除、加减：
原式$=4 - 4 - 27 ÷ (-1) + 0 = 0 - 27×(-1) + 0 = 27$
【答案】
(1)$-\dfrac{125}{64}$；(2)$\dfrac{54}{25}$；(3)$27$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；符号判断法则
【点评】
本题核心考查有理数混合运算的运算顺序与符号处理能力，解题的易错点是混淆带负号的乘方的底数，运算前先确定每部分的符号，再计算绝对值能有效减少错误，合理将小数转化为分数、利用0的运算性质可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
13.【数学应用】科学家研究发现，每公顷森林每天可以吸收二氧化碳约1 500 kg，某人造林累计面积达48 000 000公顷，那么该人造林每天可以吸收二氧化碳多少吨？（用科学记数法表示）
答案
解:$1\ 500×48\ 000\ 000=7.2×10^{10}(\mathrm{kg})=7.2×10^7(\mathrm{t})$。
解析
【分析】
解题首先要明确数量关系：人造林每天吸收二氧化碳的总质量=每公顷森林每天吸收的二氧化碳质量×人造林总面积。第一步先计算总质量的千克数，第二步要注意单位换算，将千克换算为吨（1吨=1000千克），最后将结果整理为符合要求的科学记数法形式即可，需注意科学记数法中a要满足1≤a＜10的要求。
【解析】
先计算人造林每天吸收二氧化碳的总质量（单位：kg）：
$1500 × 48000000 = 72000000000 = 7.2 × 10^{10} (\mathrm{kg})$
再进行单位换算，因为$1\mathrm{t}=1000\mathrm{kg}=10^3\mathrm{kg}$，所以：
$7.2 × 10^{10} \mathrm{kg} = 7.2 × 10^{10} ÷ 10^3 \mathrm{t} = 7.2 × 10^7 (\mathrm{t})$
【答案】
$7.2×10^7\ \mathrm{t}$
【知识点】
科学记数法；有理数乘法；质量单位换算
【点评】
本题结合生态环保的实际场景命题，重点考查科学记数法的实际应用，解题时需注意理清数量关系，同时要格外注意单位的统一，避免因忽略单位换算出现错误。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确数量关系：人造林每天吸收二氧化碳的总质量=每公顷森林每天吸收的二氧化碳质量×人造林总面积。第一步先计算总质量的千克数，第二步要注意单位换算，将千克换算为吨（1吨=1000千克），最后将结果整理为符合要求的科学记数法形式即可，需注意科学记数法中a要满足1≤a＜10的要求。
【解析】
先计算人造林每天吸收二氧化碳的总质量（单位：kg）：
$1500 × 48000000 = 72000000000 = 7.2 × 10^{10} (\mathrm{kg})$
再进行单位换算，因为$1\mathrm{t}=1000\mathrm{kg}=10^3\mathrm{kg}$，所以：
$7.2 × 10^{10} \mathrm{kg} = 7.2 × 10^{10} ÷ 10^3 \mathrm{t} = 7.2 × 10^7 (\mathrm{t})$
【答案】
$7.2×10^7\ \mathrm{t}$
【知识点】
科学记数法；有理数乘法；质量单位换算
【点评】
本题结合生态环保的实际场景命题，重点考查科学记数法的实际应用，解题时需注意理清数量关系，同时要格外注意单位的统一，避免因忽略单位换算出现错误。
【难度系数】
0.7
